余旭紅

圓的切線的性質(zhì)定理與判定定理是圓的重要內(nèi)容，也是各地中考的必考知識(shí)。下面結(jié)合2018年相關(guān)中考試題，歸納與圓的切線有關(guān)的考點(diǎn)，以期和同學(xué)們共同探討交流。

考點(diǎn)一 切線的判定定理

切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

例1 （2018·湖南邵陽(yáng)）如圖1所示，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥CD，垂足為點(diǎn)D，連接BC。BC平分∠ABD。求證：CD為⊙O的切線。

圖1

【分析】先利用BC平分∠ABD，得到∠OBC=∠DBC，再證明OC∥BD，從而得到OC⊥CD，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論。

證明：∵BC平分∠ABD，

∴∠OBC=∠DBC，

∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，

∴∠OCB=∠DBC，∴OC∥BD，

∵BD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴CD為⊙O的切線。

【點(diǎn)評(píng)】從已知條件中可知直線過(guò)圓上一個(gè)已知點(diǎn)，如果原圖中沒(méi)有連接OC，則需作輔助線：連接已知點(diǎn)和圓心，得到半徑，然后證明半徑與直線垂直，利用切線判定定理就能說(shuō)明直線是圓的切線。這種方法簡(jiǎn)稱“連半徑，證垂直”。

例2 （2018·貴州安順）如圖2，在△ABC中，AB=AC，O為BC的中點(diǎn)，AC與半圓O相切于點(diǎn)D。

求證：AB是半圓O所在圓的切線。

圖2

【解析】先判斷出∠CAO=∠BAO，進(jìn)而判斷出OD=OE，即可得出結(jié)論。

證明：如圖2，作OE⊥AB于E，連接OD、OA，

∵AB=AC，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，

∴∠CAO=∠BAO，

∵AC與半圓O相切于D，

∴OD⊥AC，

∵OE⊥AB，

∴OD=OE，

∵AB經(jīng)過(guò)半圓O的半徑的外端點(diǎn)，

∴AB是半圓O所在圓的切線。

【點(diǎn)評(píng)】從已知條件中不能判斷直線與圓有公共點(diǎn)，輔助線作法是：過(guò)圓心作直線的垂線，然后證明垂線段與半徑相等，就能說(shuō)明直線是圓的切線。這種方法簡(jiǎn)稱“作垂直，證半徑”。

考點(diǎn)二 切線的性質(zhì)定理

切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)其切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò)半徑的非圓心一端，并且垂直于這條半徑的直線，就是這個(gè)圓的一條切線。

例3 （2018·貴州銅仁）如圖3，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)G，直線DF是⊙O的切線，D為切點(diǎn)，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：DF⊥AC。

圖3

【解析】如圖3，連接OD、CD，根據(jù)圓周角定理得∠BDC=90°，由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，得D為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)D是中位線，由三角形中位線性質(zhì)，得OD∥AC，再根據(jù)切線的性質(zhì)可得結(jié)論。

證明：如圖3，連接OD、CD，

∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDC=90°，

∴CD⊥AB，∵AC=BC，∴AD=BD，

∵OB=OC，

∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，

∵DF為⊙O的切線，

∴OD⊥DF，∴DF⊥AC。

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)、平行線的判定、三角形中位線性質(zhì)以及等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵。

考點(diǎn)三 切線的判定與性質(zhì)綜合應(yīng)用

例4 （2018·云南曲靖）如圖4，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，將弧BC沿直線BC翻折，使弧BC的中點(diǎn)D恰好與圓心O重合，連接OC、CD、BD，過(guò)點(diǎn)C的切線與線段BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，連接AD，在PB的另一側(cè)作∠MPB=∠ADC。

判斷PM與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。

圖4

【解析】如圖4，連接DO并延長(zhǎng)，交PM于E，利用折疊的性質(zhì)得OC=DC，BO=BD，則可判斷四邊形OBDC為菱形，所以O(shè)D⊥BC，△OCD和△OBD都是等邊三角形。從而計(jì)算出∠COP=∠EOP=60°，接著證明PM∥BC，得到OE⊥PM，再證明OE的長(zhǎng)等于⊙O的半徑，從而可判定PM是⊙O的切線。解題步驟略。

【點(diǎn)評(píng)】此類(lèi)問(wèn)題需要同學(xué)們熟練掌握切線的判定和性質(zhì)，并加以靈活應(yīng)用。

（作者單位：浙江省紹興市柯橋區(qū)錢(qián)清鎮(zhèn)中學(xué)）