☉江蘇省儀征市第二中學(xué) 俞仁宗
“試卷評(píng)析”是每個(gè)數(shù)學(xué)教師都必須完成的一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié),幫助學(xué)生總結(jié)得失并根據(jù)學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行尋根思底是試卷評(píng)析最基本的任務(wù),除此以外,教師還應(yīng)在試題研析的基礎(chǔ)上進(jìn)行專題的開發(fā),使學(xué)生能夠在有意義的試題拓展和延伸中得到能力的發(fā)展.
以下面的典型試題為例進(jìn)行試題評(píng)析如下:
題目:若不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,則滿足條件的實(shí)數(shù)a組成的集合為_____.
測試評(píng)析:
考查統(tǒng)計(jì):528名考生中答對(duì)的僅有31人,得分率在6%以下.
錯(cuò)因分析:①時(shí)間緊迫而放棄此題的解答;②存在根據(jù)絕對(duì)值的意義求解的思路,但最終在系數(shù)問題上止步而無法求解;③分類討論時(shí)覺得煩瑣而欠缺條理致使解題半途而廢.
教學(xué)反思:①教學(xué)趨于常態(tài),對(duì)歸納、提煉、經(jīng)驗(yàn)積累等環(huán)節(jié)較為忽略;②教學(xué)中未對(duì)學(xué)生進(jìn)行探究的策略引導(dǎo),致使學(xué)生的思維在低層次的訓(xùn)練中未能達(dá)到應(yīng)有的深度;③對(duì)“通性通法”過于重視而忽略了“技巧”訓(xùn)練.
評(píng)析教學(xué)預(yù)設(shè):①從最簡單的入手并逐步深入,引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)“區(qū)間套”的探索與思考中獲得“最優(yōu)點(diǎn)”;②引導(dǎo)學(xué)生在此題的評(píng)析、探索與反思中獲得對(duì)此類題目的解題領(lǐng)悟,并因此獲得經(jīng)驗(yàn)的積累和持久的掌握.
教學(xué)過程:
教師:研究|x-1|+|x-3|的最小值有哪些方法呢?
學(xué)生2:借助數(shù)軸來研究也行得通,如圖1,當(dāng)x2∈[1,3]時(shí),|x2-1|+|x2-3|是最小的.
圖1
教師:大家能對(duì)其中的一般性結(jié)論進(jìn)行總結(jié)嗎?
學(xué)生3:(|x-a|+|x-b|)min=|a-b|.
教師:不錯(cuò),事實(shí)上,閉區(qū)間[1,3]上所有的點(diǎn)都能令其取得最小值.那么如果我們將絕對(duì)值增加至3個(gè),如|x-1|+|x-2|+|x-5|,是否還能得出一個(gè)結(jié)論呢?
學(xué)生討論……
學(xué)生4:觀察發(fā)現(xiàn)|x-1|+|x-2|+|x-5|=|x-1|+|x-5|+|x-2|,經(jīng)過這樣的調(diào)整,我們?nèi)菀椎贸觯▅x-1|+|x-5|)min=4,2也正好在區(qū)間[1,5]之內(nèi),若把x=2代入即可獲得最小值4.
學(xué)生鼓掌.
教師:若是4個(gè)呢?比如|x-m1|+|x-m2|+|x-m3|+|x-m4|?
學(xué)生5:從圖2的觀察中可以得出,閉區(qū)間[m2,m3]上的點(diǎn)既能令|x-m2|+|x-m3|取得最小值,同時(shí)也能令|x-m1|+|x-m4|最小.因此可得出以下結(jié)論:若是2n(n∈N*)個(gè)絕對(duì)值相加,當(dāng)x=mn或x=mn+1時(shí),均能取得最小值.
圖2
圖3
學(xué)生6:可以發(fā)現(xiàn)x∈[mn,mn+1]時(shí)能取得最小值.
教師:若是奇數(shù)個(gè)絕對(duì)值相加又會(huì)怎樣?
教師:還有其他一般性的結(jié)論嗎?
學(xué)生進(jìn)入再次的探究中…
學(xué)生8:從分析中可以得出,取閉區(qū)間上的點(diǎn)和取中間點(diǎn)均能歸結(jié)為“特征點(diǎn)”問題,也就是說對(duì)于K個(gè)絕對(duì)值相加,第即為需要的“特征點(diǎn)”.
教師:非常好!我們在線性規(guī)劃問題中曾經(jīng)探尋過“尖點(diǎn)”來解決最值問題,這一“以點(diǎn)帶面”的經(jīng)典范例也是處理數(shù)學(xué)問題的重要舉措.那么,絕對(duì)值前面的系數(shù)不是“1”的問題又應(yīng)該怎樣解決呢?例如:求3|x-1|+5|x-3|的最小值.
學(xué)生9:可以將3|x-1|+5|x-3|轉(zhuǎn)化成3(|x-1|+|x-3|)+2|x-3|,從前面看,只要x∈[1,3],|x-1|+|x-3|總有最小值,|x-3|最小能令整個(gè)式子取得最小值,則令x=3即可,其最小值是2.
學(xué)生10:化歸到上面的研究中也是可行的,將3|x-1|+5|x-3|拆成|x-1|+|x-1|+|x-1|+|x-3|+|x-3|+|x-3|+|x-3|+|x-3|,將前面3個(gè)“1”看成不同的點(diǎn),原問題即轉(zhuǎn)化成了“8個(gè)點(diǎn)”的問題,中間一個(gè)即為|x-3|,把3代入就解決問題了.
學(xué)生鼓掌.
教師:大家再來看看以下兩個(gè)式子,大家能否以最快的速度求出其最小值呢?
①6|x-1|+5|x-2|+17|x-3|;
②|x+1|+2|x+2|+|x-1|+4|x-7|.
學(xué)生11:①(6|x-1|+5|x-2|+17|x-3|)min=6|3-1|+5|3-2|+17|3-3|=17.
學(xué)生12:②(|x+1|+2|x+2|+|x-1|+5|x-7|)min=|7+1|+2|7+2|+|7-1|+5|7-7|=32.
教師:大家在探究的過程中有什么體會(huì)?
學(xué)生13:我在探究時(shí)感受到了“重心”的味道.
教師:為什么呢?
學(xué)生13:我感覺在系數(shù)不同的情況下,系數(shù)較大能占據(jù)較大的主動(dòng)權(quán).
教師:太棒了!其他同學(xué)可有什么看法?
學(xué)生14:我的看法跟他不同,對(duì)于6|x-1|+5|x-2|+17|x-3|,三點(diǎn)的“重心”應(yīng)該為:如果以2.5來代入運(yùn)算,結(jié)果為20,還是比17大啊.
教師:大家能對(duì)其中的緣由進(jìn)行解釋嗎?
學(xué)生15:“區(qū)間套”的最小子區(qū)間與“重心”并不一定是同一回事,略有“傾斜”的現(xiàn)象也不影響我們的判斷.
教師:那么,在“區(qū)間套”和“重心”這兩者之間,我們應(yīng)看好哪個(gè)呢?
學(xué)生15:區(qū)間套.
教師:那么我最后作一下總結(jié)吧.
學(xué)生16:如果有2n-1(n∈N*)個(gè)絕對(duì)值相加,最中間的一個(gè)即為“特征點(diǎn)”;如果有2n個(gè)絕對(duì)值相加,將區(qū)域[mn,mn+1]的右端點(diǎn)作為“特征點(diǎn)”.
學(xué)生17:對(duì)于k1|x-m1|+k2|x-m2|+…+kn|x-mn|,首先求出k1+k2+…+kn,假如k1+k2+…+kn是奇數(shù),選擇第個(gè)點(diǎn)代入運(yùn)算;假如k1+k2+…+kn是偶數(shù),選擇第+1個(gè)點(diǎn)代入運(yùn)算.
學(xué)生19:絕對(duì)值內(nèi)x的系數(shù)不是1又該怎么辦呢?
學(xué)生20:將系數(shù)從絕對(duì)值里提出來就沒有問題了.
教師:這一探究正好是華羅庚教授的一個(gè)觀點(diǎn)的印證,我們在解決復(fù)雜問題時(shí)要能夠“退”并“退”到最原始且又不失重要性的地方,這種足夠的“退”也是解決數(shù)學(xué)問題的一個(gè)訣竅.正確的“退”有利于我們探尋問題的出處,不僅如此,合理的“退”還能對(duì)命題者的心理與意圖進(jìn)行準(zhǔn)確的揣摩并因此在解題中順利搭建思維臺(tái)階,最終發(fā)現(xiàn)題目中的基本原理而令問題順利得解.大家要懂得復(fù)雜源于簡單、抽象源于具體,并因此在解決問題時(shí)對(duì)問題進(jìn)行拆解、類比、圖示、列舉并最終順利獲得解題的突破.
(多媒體投影)
解:由題意可得|2x-a|+|3x-2a|≥a2恒成立?(|2x-a|+|3x-2a|)min≥a2.問題立即轉(zhuǎn)化成了求(|2x-a|+|3x-2a|)min問題.由
大家在上述探究之后還會(huì)一五一十地進(jìn)行分類討論嗎?大家對(duì)于此題有沒有感覺這甚至是一條心算口答題呢?我相信很多同學(xué)都能脫口而出,給一答案.W