等時(shí)曲線(xiàn)是擺線(xiàn)的證明

邢家省， 楊義川， 王擁軍

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 北京100191;2. 數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京100191)

引言

等時(shí)曲線(xiàn)問(wèn)題是歷史上著名的問(wèn)題。擺線(xiàn)是一條等時(shí)曲線(xiàn)[1-2]，這個(gè)性質(zhì)已被發(fā)現(xiàn)。然而，具有等時(shí)性的曲線(xiàn)一定是擺線(xiàn)嗎？文獻(xiàn)[1-5]中對(duì)此均無(wú)涉及，本文試圖解決這一問(wèn)題。利用文獻(xiàn)[1-5]中質(zhì)點(diǎn)沿光滑曲線(xiàn)從一定高度下滑所需時(shí)間的計(jì)算公式，將該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)積分方程求解的問(wèn)題。對(duì)等時(shí)常數(shù)的積分方程，利用拉普拉斯變換方法[6-8]和廣義積分的計(jì)算[9-21]給出了求解方法，得到了積分方程解的解析表達(dá)式，然后歸結(jié)為一個(gè)常微分方程的求解問(wèn)題。通過(guò)求解常微分方程，得到等時(shí)曲線(xiàn)解的解析表達(dá)式，這正是擺線(xiàn)的方程形式，從而給出了具有等時(shí)性的曲線(xiàn)一定是擺線(xiàn)的證明過(guò)程，由此對(duì)等時(shí)曲線(xiàn)的問(wèn)題給予了完整的解決。

1 質(zhì)點(diǎn)沿光滑軌道下滑所需的時(shí)間公式

建立xOy坐標(biāo)標(biāo)系，Ox軸正向水平向右，Oy軸豎直向上。設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(x2,y2)，x1

設(shè)曲線(xiàn)L經(jīng)過(guò)A點(diǎn)和B點(diǎn)，其方程為y=y(x)，或者為x=x(y)。質(zhì)點(diǎn)沿曲線(xiàn)L由點(diǎn)A無(wú)摩擦地滑動(dòng)到點(diǎn)B，所需的時(shí)間是[1-4]：

(1)

(2)

設(shè)曲線(xiàn)L的最低點(diǎn)在Ox軸上，質(zhì)點(diǎn)在曲線(xiàn)L上高度為h的點(diǎn)處從靜止開(kāi)始下滑到最低點(diǎn)處所需時(shí)間為[1-4]：

(3)

式(3)導(dǎo)致出現(xiàn)積分方程的問(wèn)題[1]。

文獻(xiàn)[2]中指出擺線(xiàn)具有等時(shí)性，那么，具有等時(shí)性的曲線(xiàn)一定是擺線(xiàn)嗎？現(xiàn)對(duì)此問(wèn)題給予肯定解答。

2 積分方程的拉普拉斯變換求解方法

(4)

積分方程的問(wèn)題[1]具體轉(zhuǎn)化為給定函數(shù)T(h)，尋找函數(shù)f(y)，使得滿(mǎn)足方程(4)?，F(xiàn)對(duì)等時(shí)曲線(xiàn)問(wèn)題給予求解，即對(duì)T(h)為常數(shù)T時(shí)進(jìn)行求解。

積分方程為：

(5)

式(5)兩邊作拉普拉斯變換，利用拉普拉斯變換的卷積性質(zhì)[6-8]，可得到：

(6)

利用廣義積分的計(jì)算[9-21]，易知：

所以有

于是:

由拉普拉斯變換的逆變換[6-8]，得到：

故積分方程(5)的解為：

3 有限區(qū)間上積分方程的求解

對(duì)有限區(qū)間上的積分方程，文獻(xiàn)[22]中給出了如下結(jié)果的證明。

證明(i)

當(dāng)0

由于當(dāng)0

證明(ii)

對(duì)于0

利用(i)的結(jié)果，可得：

再令：

于是可以證明[22]：

h(x)=g(x)，0

現(xiàn)計(jì)算：

因：

于是有：

故有：

于是，定理1的結(jié)果得證。

現(xiàn)利用定理1，給出等時(shí)曲線(xiàn)引出的積分方程的求解。

設(shè)H>0為某一常數(shù)，實(shí)際的等時(shí)曲線(xiàn)問(wèn)題歸結(jié)為如下的積分方程問(wèn)題：

(7)

積分方程的問(wèn)題[1]是給定函數(shù)T(h)，尋找函數(shù)f(y)，使得滿(mǎn)足方程(7)。

現(xiàn)對(duì)等時(shí)曲線(xiàn)問(wèn)題給予求解，即對(duì)T(h)為常數(shù)T時(shí)進(jìn)行求解。

積分方程為：

(8)

對(duì)式(8)兩邊在[0,x]上積分，得到：

經(jīng)過(guò)積分交換次序和分部積分，可得：

(9)

利用定理1的結(jié)果，可得：

于是有：

(10)

這就是積分方程(8)的解。

4 等時(shí)曲線(xiàn)是倒擺線(xiàn)的證明

在等時(shí)曲線(xiàn)情況下， 利用積分方程(8)的解和式(10)，成立如下的常微分方程：

(11)

(12)

采用文獻(xiàn)[2]中的方法，對(duì)式(12)給出直接自然的解法過(guò)程如下：

令w=ccosθ，則有：

令t=2θ，則有：

這正是倒擺線(xiàn)的方程形式，由此得到等時(shí)曲線(xiàn)是倒擺線(xiàn)[1-6]的證明，對(duì)等時(shí)曲線(xiàn)的問(wèn)題給予了完整的解決。

5 擺線(xiàn)具有等時(shí)性的驗(yàn)證

文獻(xiàn) [2]中對(duì)倒擺線(xiàn)具有等時(shí)性給出了計(jì)算驗(yàn)證。

考查一質(zhì)點(diǎn)沿曲線(xiàn)L由點(diǎn)(x(θ0),y(θ0))處無(wú)摩擦地滑動(dòng)到點(diǎn)(x(π),y(π))處，所需的滑動(dòng)時(shí)間為T(mén)。質(zhì)點(diǎn)沿曲線(xiàn)L滑動(dòng)到最低端所需的時(shí)間是：

將曲線(xiàn)L的參數(shù)方程代入，則得：