積分第一中值定理的推廣研究

摘 要：伴隨時(shí)代的不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)同樣在快速進(jìn)步。積分中值定理對于微積分的學(xué)習(xí)有著非常重要的作用。本文就積分第一中值定理的推廣進(jìn)行深入地研究。

關(guān)鍵詞：積分第一中值定理；推廣；應(yīng)用

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.13.197

1 積分第一中值定理

定理1 如果在上連續(xù)，那么至少有一點(diǎn)，使得：

證 因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以其有最小值與最大值。由：

運(yùn)用積分不等式性質(zhì)可得：

根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值性可知，至少有一點(diǎn)，使得：

定理2 如果在上連續(xù)，那么至少有一點(diǎn)，使得：

證 因?yàn)樵谏线B續(xù)，繼而在上可積。將其原函數(shù)定位，那么按照存在定理便能夠獲悉，在上連續(xù)，同時(shí)在上可導(dǎo)，依據(jù)拉格朗日中值定理可知存在一點(diǎn)使得：

可得：

2 積分第一中值定理的推廣

2.1 積分第一中值定理的改進(jìn)

定理3 如果在上連續(xù)，那么至少有一點(diǎn)，使得：

成立。

證明：令，由于在上連續(xù)，因此在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，同時(shí)可得，對在內(nèi)由拉格朗日微分中值定理得：至少有一點(diǎn)，使得：

即

例1 若上連續(xù)，非負(fù)，嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)，證明：

證明：根據(jù)定3可得：

（2-1）

（2-2）

根據(jù)公式（2-1）、（2-2）兩邊乘以得：

由于，因此，又因在內(nèi)連續(xù)，非負(fù)函數(shù)，

因此 。

2.2 推廣的積分第一中值定理的改進(jìn)

定理4 如果、在內(nèi)連續(xù)，同時(shí)在內(nèi)不變號(hào)，那么至少有一點(diǎn)，使得：

證明：假設(shè)滿足，則：

（1） 在時(shí)，以上等式成立。

（2）在不恒等于0時(shí)，那么至少有一點(diǎn)，使得，由連續(xù)性知。

又因在內(nèi)連續(xù)，進(jìn)而必然存在著最小值與最大值，即：

進(jìn)而 （2-3）

1）假設(shè)公式（2-3）中左邊等號(hào)成立，也就是：

（2-4）

或者

在內(nèi)連續(xù)，同時(shí)，那么在內(nèi)便有。

由于不恒等于0，因此必然有一點(diǎn)，使得，即，那么在上至少有一點(diǎn)使。

依據(jù)公式（2-4）得。

2）假設(shè)（2-3）右邊等號(hào)成立，同理也可證得結(jié)論成立。

3）假設(shè)（2-3）嚴(yán)格不等式成立， 即：

因?yàn)?，則有：

由連續(xù)函數(shù)的介質(zhì)性定理知在上至少存在一點(diǎn)使得：

或

因此能夠證明定理2成立。

3 結(jié)論

綜上所述，本文針對積分第一中值定理的定義、改進(jìn)以及推廣等進(jìn)行了詳細(xì)的研究，使得人們對積分第一中值定理有了大概的了解。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭權(quán).積分第一中值定理中間點(diǎn)的一般漸近性質(zhì)與求積公式[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2004（12）.

[2]楊雅迪.關(guān)于積分第一中值定理推廣的探討[J].科技信息，2010

（10）.

作者簡介：黃瑞芳（1980-），女，河南新鄭人，碩士研究生，講師，研究方向：數(shù)學(xué)。