具有擬周期結(jié)構(gòu)的兩點(diǎn)邊值問題的漸近展開法

舒 祥，何文明

(溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

復(fù)合材料的靜彈性分析、非均勻介質(zhì)中的力學(xué)性能的評價(jià)等問題在數(shù)學(xué)上可以描述為區(qū)域上具有劇烈震蕩系數(shù)的微分方程邊值問題.在使用傳統(tǒng)的有限元法和有限差分法求解該類問題時(shí)，由于ε很小，較難得到數(shù)值結(jié)果，且有可能破壞有限元方法的性能[1].針對復(fù)合材料彈性體的物理參數(shù)具有小周期結(jié)構(gòu)的情況，文獻(xiàn)[2-6]提出了一種稱為均勻化的應(yīng)用數(shù)學(xué)方法.考慮到實(shí)際問題，由于復(fù)合材料受到濕熱和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的影響，在許多情形下彈性體在整體上并不具有周期結(jié)構(gòu)，而僅僅具有局部的小周期結(jié)構(gòu)，因此本文將要對具有局部小周期結(jié)構(gòu)的橢圓問題展開研究.為簡單起見，本文僅考慮如下的具有擬周期結(jié)構(gòu)的一維Dirichlet問題.

1 方程（1）的數(shù)值解法

利用漸近展開法本文得到了問題（1）的數(shù)值求解方法.首先我們將求解區(qū)間[c,d]均勻剖分為其中故對方程（1）按如下步驟求解：

b）得到方程（1）在任意點(diǎn)的數(shù)值解.

先來考慮a）.我們注意到存在參數(shù)αi,βi,fi使得其中無關(guān).下面先來考慮如何計(jì)算αi,βi.

由（2）式和（3）式得：

將（6）式代入（5）式得到：

對任意的j≥0，令由（7）式得到：

引理1 當(dāng)f≡0時(shí)有：

下面考慮如何計(jì)算fi.

將（6）式帶入（14）式得到：

對任意的j≥0，n≥0，令

由（15）式得到：

引理2 當(dāng)f≠0時(shí)，αi,βi,fi由上文定義有：

則有AU=F，顯然A不可約且對角占優(yōu)，故A可逆，U有唯一解.這樣即可求得方程（1）在節(jié)點(diǎn)處的數(shù)值解.

對（17）式在區(qū)間[0,y]上對積分得到：

將（23）式帶入（22）式得到：

令

利用上述方法，可以得到方程（1）任意點(diǎn)的數(shù)值解.

2 數(shù)值算例

為驗(yàn)證算法正確性，給出如下算例結(jié)果.考慮方程：

表1 本文算法與有限元法的最大絕對誤差Table 1 Maximum Absolute Error of the Proposed Algorithm and the Finite Element Method