何天磊， 朱其新

（1.蘇州科技大學(xué) 環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.蘇州科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

在空調(diào)溫度控制過程中，在一定的條件下，其被控對象可以看成一個具有時滯的一階環(huán)節(jié)[1-3]，該時滯的存在增加了系統(tǒng)的控制難度，降低了系統(tǒng)的控制品質(zhì)。傳統(tǒng)PID 控制作為最常用的一種控制方式，由于其參數(shù)易整定等特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用。但對于具有時滯的對象，PID 控制常常得不到令人滿意的控制效果。

Smith 預(yù)估補(bǔ)償控制是最早應(yīng)用于時滯系統(tǒng)控制的方法，其通過引入一個補(bǔ)償器，以削弱時滯對系統(tǒng)性能的影響。但由于Smith 預(yù)估補(bǔ)償控制太過于依賴精確的數(shù)學(xué)模型，在預(yù)測模型存在一定的誤差時，控制效果將大大下降[4-6]。后來提出的達(dá)林算法特點(diǎn)是將期望的閉環(huán)響應(yīng)設(shè)計成一階慣性加純延遲，然后反過來得到滿足這種閉環(huán)響應(yīng)的控制器，其優(yōu)點(diǎn)是結(jié)構(gòu)簡單，控制系統(tǒng)的魯棒性好，但其實際應(yīng)用效果較差[7-8]。自適應(yīng)控制通過修正控制參數(shù)以適應(yīng)對象和擾動的動態(tài)特性的變化，所以自適應(yīng)控制對系統(tǒng)參數(shù)有良好的適應(yīng)能力，但其依賴被控對象的數(shù)學(xué)模型，也較難以實際應(yīng)用[9-11]。

筆者提出的基于極點(diǎn)配置和Pade近似的空調(diào)溫度控制器的新設(shè)計，一方面利用極點(diǎn)的分布和系統(tǒng)性能的密切關(guān)系，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在期望的位置，從而使空調(diào)溫度控制系統(tǒng)具有優(yōu)良的動態(tài)性能[12-15]；另一方面利用Pade近似算法將空調(diào)溫度控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的模型簡化。Pade近似往往比泰勒級數(shù)準(zhǔn)確，所以其具有適應(yīng)范圍廣，更容易實現(xiàn)的優(yōu)勢[16-18]。仿真結(jié)果證明，文中提出的基于極點(diǎn)配置和Pade近似的PID控制比傳統(tǒng)的PID 控制和Smith 預(yù)估補(bǔ)償控制具有更好的控制效果。

1 空調(diào)系統(tǒng)溫度控制的對象模型

在滿足一定控制精度的情況下，空調(diào)系統(tǒng)的實際溫度控制對象可以采用一個一階的模型來描述被控對象的動態(tài)特性，考慮到溫度對象的滯后性，空調(diào)系統(tǒng)溫度控制模型可表示為[19]

其中，G1（s）表示被控對象的傳遞函數(shù)，T 為被控對象的時間常數(shù)，K 為放大系數(shù)，τ 為溫度對象的延遲時間。

2 基于極點(diǎn)配置和Pade近似的控制器設(shè)計

2.1 Pade近似算法

e-τs是一個無理函數(shù)，在系統(tǒng)中直接分析會比較困難，所以通常用有理函數(shù)近似來代替延時環(huán)節(jié)e-τs，以簡化設(shè)計過程。文中采用Pade近似算法，其表達(dá)式為

其中，l，k 的值越大，近似就越精確。當(dāng)l＝k 時，一階的表達(dá)式為

由（1）式和（3）式可得被控對象的傳遞函數(shù)

控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1 所示。

圖1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

其中，G1（s）表示被控對象的傳遞函數(shù)，G2（s）表示設(shè)計的控制器。用Gp（s）表示控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，顯然有

2.2 極點(diǎn)配置的控制器設(shè)計

由（4）式可知被控對象的傳遞函數(shù)為一個二階模型，擬采用的控制器為PID 控制器，用G2（s）表示

根據(jù)公式（4）和公式（6）可得

根據(jù)公式（5）和公式（7）易得

閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

由于系統(tǒng)的性能主要由系統(tǒng)的特征根確定，對于三階系統(tǒng)而言，比較理想的情況是其兩個特征根中有一對共軛極點(diǎn)和在負(fù)半軸上有一個實極點(diǎn)，即希望系統(tǒng)的特征方程為

其中，ωn為系統(tǒng)的無阻尼振蕩頻率，ξ 為阻尼比，ω0為第三個實數(shù)極點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離。

整理得

即希望

由公式（12）可以得

由公式（12）和公式（13），得

由公式（12）、（13）和（14），得

在ωn、ξ、T、K 等參數(shù)都已知的情況下，由公式（14）、（15）和（16）可以得到參數(shù)Kp、Ki和Kd的值。ωn的大小決定了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，ωn越大，系統(tǒng)響應(yīng)越快，但ωn太大會導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。為了使系統(tǒng)具有較大的穩(wěn)定裕度，同時又具有較快的響應(yīng)進(jìn)度，ξ 一般在0.6 到0.8 之間取值，通常取0.707。

3 控制系統(tǒng)仿真

為了驗證文中提出的控制器的控制效果，用MATLAB 進(jìn)行模擬仿真。根據(jù)公式（1），一般空調(diào)系統(tǒng)溫度控制中常取時間常數(shù)為T＝200，延遲時間取τ＝10，增益系數(shù)K＝1，所以空調(diào)系統(tǒng)溫度控制的模型為

空調(diào)系統(tǒng)溫度控制的Simulink 仿真模型如圖2 所示。

圖2 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

其中輸入信號為階躍信號。

圖3 是傳統(tǒng)PID 控制的響應(yīng)曲線圖，傳統(tǒng)PID控制器的三個控制參數(shù)是按BTN 公式整定得到[20]，且Kp＝21.6，Ki＝1.03，Kd＝103。從圖3 中可以看出傳統(tǒng)PID 控制不僅超調(diào)較大，而且響應(yīng)時間較長。圖4 是Smith 預(yù)估補(bǔ)償控制的響應(yīng)曲線圖，Smith 預(yù)估補(bǔ)償控制的系統(tǒng)中PID 控制器的控制參數(shù)即傳統(tǒng)PID 控制中利用BTN 公式整定出的參數(shù)值。由圖4分析，雖然系統(tǒng)震蕩比用傳統(tǒng)PID 控制器控制小很多，但是仍然有較大的超調(diào)。圖5 是基于極點(diǎn)配置和Pade近似算法的PID 控制仿真波形圖， 其PID控制參數(shù)是利用極點(diǎn)配置方法計算得到，三個控制參數(shù)值為：Kp＝9.23，Ki＝0.05，Kd＝11.0。由圖5 可知，應(yīng)用極點(diǎn)配置和Pade近似的新型PID 控制器的系統(tǒng)響應(yīng)無超調(diào)且運(yùn)行平穩(wěn)，而且系統(tǒng)在60 s 就可以達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，響應(yīng)時間比傳統(tǒng)PID 控制和Smith 預(yù)估補(bǔ)償控制短很多。所以基于極點(diǎn)配置和Pade近似的PID 控制比傳統(tǒng)PID 控制和Smith 預(yù)估補(bǔ)償控制具有更好的動態(tài)特性。

圖3 PID 控制系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)曲線

圖4 Smith 預(yù)估補(bǔ)償控制系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)曲線

圖5 應(yīng)用文中控制器的系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)曲線

為了驗證文中提出的基于極點(diǎn)配置和Pade近似的PID 控制器的魯棒性，文中對空調(diào)系統(tǒng)溫度預(yù)估模型和實際溫度控制模型存在誤差時的三種控制方法的控制效果進(jìn)行仿真，即在預(yù)估模型不做任何改變情況下，將實際模型的增益系數(shù)由1 調(diào)整為0.5，實際模型的其他參數(shù)不變。預(yù)估模型存在誤差的空調(diào)溫度控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，如圖6 所示。

圖6 預(yù)估模型存在誤差時系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

三種控制方法中PID 控制器的三個參數(shù)都與預(yù)測模型存在誤差前一樣。圖7、8、9 是傳統(tǒng)PID 控制器、Smith 預(yù)估補(bǔ)償控制器和基于極點(diǎn)配置和Pade近似法控制器在預(yù)測模型和實際存在偏差情況下， 仿真出的系統(tǒng)響應(yīng)曲線圖。由圖7、8 看出，當(dāng)預(yù)估模型出現(xiàn)誤差時，傳統(tǒng)PID 控制和Smith 預(yù)估補(bǔ)償控制系統(tǒng)響應(yīng)穩(wěn)定時間和預(yù)估模型沒有誤差時響應(yīng)時間明顯加長很多，震蕩也在一定程度上加大，說明傳統(tǒng)PID 控制器和Smith 預(yù)估補(bǔ)償控制器對模型的依賴性較大。由圖9 看出，基于極點(diǎn)配置和Pade近似法的控制運(yùn)行響應(yīng)時間也加長了較多， 但是響應(yīng)過程很平穩(wěn)， 表明該控制器具有較強(qiáng)的魯棒性。所以文中提出的基于極點(diǎn)配置和Pade近似法的控制比傳統(tǒng)PID 控制和Smith 預(yù)估補(bǔ)償控制具有更好的控制性能。

圖7 模型存在誤差時傳統(tǒng)PID 控制器的閉環(huán)響應(yīng)曲線

圖8 模型存在誤差時Smith 預(yù)估補(bǔ)償控制器的閉環(huán)響應(yīng)曲線

4 結(jié)語

筆者提出了一種基于極點(diǎn)配置和Pade近似的空調(diào)溫度控制器設(shè)計的新方法，該方法結(jié)合了極點(diǎn)配置和Pade近似算法兩者的優(yōu)點(diǎn)， 有效解決了時滯對空調(diào)系統(tǒng)溫度控制的影響。仿真結(jié)果證明，相比于傳統(tǒng)PID 控制和Smith 預(yù)估補(bǔ)償控制， 文中提出的基于極點(diǎn)配置和Pade近似的控制器具有更好的動態(tài)性能和更強(qiáng)的魯棒性。文中的方法也適用于具有時滯的其他被控對象，具有一定的應(yīng)用和推廣價值。

圖9 模型存在誤差時文中提出的控制器的閉環(huán)響應(yīng)曲線