滿足某些條件的有限單群的分類

王玲麗, 張良才

(1. 中北大學(xué) 理學(xué)院，山西 太原 030051； 2. 重慶大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 401331)

0 引 言

滿足某些條件的有限群的分類問題是研究有限群論的重要課題之一，利用圖研究有限群的性質(zhì)是目前國內(nèi)外群論學(xué)者的研究熱點(diǎn)之一. 對(duì)于群G, 用πe(G)表示群G的元素的階的集合, 用π(n)表示n的素因子的集合, 其中n是自然數(shù)，用π(G)表示|G|的素因子的集合.

與πe(G)有關(guān)的圖稱為G的素圖Γ(G). 定義如下: 頂點(diǎn)集合是π(G), 如果pq∈πe(G)，兩個(gè)點(diǎn)p,q相連，記為p～q[1]. 用t(G)表示Γ(G) 的連通分支數(shù), 用πi=πi(G)(i=1,2,…,t(G))表示Γ(G)的連通分支. 當(dāng)|G|是偶數(shù)時(shí), 記2∈π1(G). 設(shè)p∈π(G), 在Γ(G)中, 與頂點(diǎn)p相連的邊數(shù)稱為p的度數(shù)，記為dG(p). 本文所涉及的群均指有限群, 單群均指有限非交換單群, 所用到的其他概念是標(biāo)準(zhǔn)的，可參見文獻(xiàn)[2-3].

近年來，國內(nèi)外群論學(xué)者大量研究了利用素圖研究有限群方面的問題. Lucido等[4-5]研究了素圖是樹的群的分類，以及素圖分支是完全圖的群的分類. 2005年，Moghaddamfar等[6]研究了用素圖的頂點(diǎn)度數(shù)刻畫有限單群. Vasil’ev等[7-8]研究了素圖性質(zhì)與有限群結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，有限單群的素圖的連接標(biāo)準(zhǔn)，這些結(jié)論為研究素圖連通的有限單群開辟了新的方法. 同時(shí)Vasll’ev等[9]在2011年給出了有限單群的素圖的極大長度的團(tuán)數(shù). 2013年，Zvedina[10]給出了與交錯(cuò)群的素圖相同的有限非交換單群. 這部分研究大都是利用素圖性質(zhì)研究有限非交換單群. 近年來，群論學(xué)者也利用素圖性質(zhì)研究有限群. 2013年，Zinovéva等[11]研究了素圖非連通的有限群，Zavarnitsine[12]研究了素圖含有一個(gè)5-分支的有限群. 2015年，Alexander[13]給出了可解群的素圖刻畫. 2017年，郝才攀[14]給出了5個(gè)頂點(diǎn)的有限群的素圖分類. 2017年，包奕等[15]給出了某些具有完全素圖的有限單群的分類.

綜上所述，對(duì)于借助素圖性質(zhì)研究有限群方面的問題，主要集中在兩方面，一是刻畫問題，二是分類問題. 本文考慮了滿足某些條件的有限非交換單群的分類，得到了7∈π(G),dG(7)=1且|G|<1010, 且素圖每個(gè)分支都是完全圖的有限單群的分類.

以下給出本文用到的重要結(jié)論.

引理1[5]令G是有限非交換單群, 則G的素圖每個(gè)分支是完全圖當(dāng)且僅當(dāng)G為下列群之一：

1) 交錯(cuò)群A5,A6,A7,A9,A12,A13.

2) 李型單群A1(q)(q>2),2B2(q)(q=22m+1),A2(4),2A2(9),C3(2),2A3(3),2A5(2),3D4(2),D4(2),C2(q),G2(3k),A2(q)(q是Mersenne素?cái)?shù)),2A2(q)(q是Fermat素?cái)?shù)).

3) 散在單群M11,M22,J1,J2,J3,HS.

為了討論方便，給出如下和數(shù)論有關(guān)的結(jié)論.

引理21) 令r是個(gè)位數(shù)為9的素?cái)?shù)，則5|(2·r·7-1)且 2·r·7-1≠5k.

2) 令r是個(gè)位數(shù)為1的素?cái)?shù)，則5|(2·r·7+1)且 2·r·7+1≠5k.

證明1) 當(dāng)r是個(gè)位數(shù)為9的素?cái)?shù)時(shí), 2·r·7-1 的個(gè)位數(shù)是5. 因此5|(2·r·7-1). 又因?yàn)?的方冪后兩位數(shù)(十位和個(gè)位數(shù))一定是25. 而2·r·7乘積的后兩位數(shù)的值完全由r的后兩位決定. 通過計(jì)算*9(其中*=1,2,…，9)與14的乘積, 可以得到*9·14后兩位除了*9=59外都不是25. 而2·59·7-1=825不是5的方冪.

2) 同上述方法，可以類似得到結(jié)論.

1 主要結(jié)論

定理1設(shè)G是一個(gè)有限非交換單群, 滿足

1)G的素圖分支均為完全圖，

2) 7∈π(G)且dG(7)=1，

3) |G|≤1010，

則G為下列群之一：A1(449),A1(113),A1(29),A1(197),A1(1 373),A1(41),A1(181),A1(433),A1(601),A1(853),A1(937),A1(1 021),A1(1 777),A1(2 113),A1(53),A1(349),A1(1 693),A1(293),A1(881),A1(223),A1(27),A1(1 567),A1(43),A1(71),A1(239),A1(659),A1(743),A1(827),A1(1 163),A1(1 499),A1(1 583),A1(2 087),A1(127),A1(379),A1(491),A1(883),A1(26),A1(29),2A2(17).

證明按上述引理1中的三部分進(jìn)行分類討論.

Ⅰ. 若G為交錯(cuò)群A5,A6,A7,A9,A12,A13.

由于 7∈π(G)且dG(7)= 1,G不可能是A5,A6,A7,A9. 當(dāng)G=An,n≥12時(shí), 設(shè)x=(1,2,3,4,5,6,7)(8,9)(10,11),y=(1,2,3,4,5,6,7)(8,9,10,11,12), 則x,y∈G, 且|x|=14, |y|=35. 從而有2～7, 5～7. 所以，dG(7)≥2.

故G不是交錯(cuò)群.

Ⅱ. 若G為李型單群A1(q)(q>2),2B2(q)(q=22m+1),A2(4),2A2(9),C3(2),2A3(3),2A5(2),3D4(2),D4(2),C2(q),G2(3k),A2(q)(q是Mersenne素?cái)?shù)),2A2(q)(q是Fermat素?cái)?shù)).

下面分別進(jìn)行討論：

1) 若G為李型單群A1(q)(q>2).

|A1(q)|=q(q2-1). 對(duì)于q分q≡1(mod 4),q≡-1(mod 4)及q≡0(mod 2)三種情況討論.

a.q≡1(mod 4)

由文獻(xiàn)[1]知,π1=π(q-1),π2=π(q),π3=π((q+1)/2). 由于7∈π(G)且dG(7)= 1, 有7∈π1或7∈π3兩種情況.

情況17∈π1, 即q-1=2t·7s. 令q=2t·7s+1=4k+1. 由于|A1(q)|=q(q2-1)≤1010, 有1≤s<4,t≥2.

當(dāng)s=1時(shí),t<8. 當(dāng)s=1,t=7時(shí),q=27·7+1=897=3·299，不是素?cái)?shù)冪. 當(dāng)s=1,t=6時(shí),q=26·7+1=449，是素?cái)?shù). 此時(shí)|A1(q)|=q(q2-1)=90 518 400=27·32·52·7·449<1010. 當(dāng)s=1,t=5時(shí),q=25·7+1=225=32·52不是素?cái)?shù)冪. 當(dāng)s=1,t=4時(shí),q=24·7+1=113，是素?cái)?shù). 此時(shí)|A1(q)|=q(q2-1)=1 442 784=25·3·7·19·113<1010. 當(dāng)s=1,t=3 時(shí),q=23·7+1=57=3·19不是素?cái)?shù). 當(dāng)s=1,t=2時(shí),q=22·7+1=29是素?cái)?shù). 此時(shí)|A1(q)|=q(q2-1)=7 645 176=25·3·7·19·113<1010.

當(dāng)s=2時(shí),t<6. 當(dāng)s=2,t=5時(shí),q=25·72+1=1 569=3·523，不是素?cái)?shù)冪. 當(dāng)s=2,t=4時(shí),q=24·72+1=785=5·157，不是素?cái)?shù)冪. 當(dāng)s=2,t=3時(shí),q=23·72+1=393=3·131，不是素?cái)?shù)冪. 當(dāng)s=2,t=2時(shí),q=22·72+1=197，是素?cái)?shù). 此時(shí)|A1(q)|=q(q2-1)=24 360=23·32·72·11·197<1010.

當(dāng)s=3時(shí),t=2.q=22·73+1=1 373，是素?cái)?shù). 此時(shí)|A1(q)|=q(q2-1)=2 588 280 744=23·3·73·229·1 373<1010.

情況27∈π3, 由于dG(7)= 1, 則|π(π3)|=2. 設(shè)(q+1)/2=rt·7s, 其中r≠2, 7，則q=2·rt·7s-1. 由于|A1(q)|=q(q2-1)<(q+1)3=23·r3t·73s≤1010, 有s=1,t=1時(shí),r<153; 不超過153的素?cái)?shù)有r=3,5,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151.s=1,t=2時(shí),r<12, 即r=3,5,11；s=1,t=3時(shí),r=3;s=2,t=1時(shí),r<10, 即r=3,5；s=2,t=2時(shí),r=3.

下面分別進(jìn)行計(jì)算：

令s=1,t=1. 由引理2中1得, 當(dāng)r=19,29,59,79,89,109,139,149時(shí),q=2·r·7-1，不是素?cái)?shù)冪.

當(dāng)r=3時(shí),q=2·3·7-1=41, 此時(shí)|A1(q)|=q(q2-1)=68 880=24·3·5·7·41<1010.r=5時(shí),q=2·5·7-1=69, 不是素?cái)?shù)冪.r=11時(shí),q=2·11·7-1=153, 不是素?cái)?shù)冪.r=13時(shí),q=2·13·7-1=181, 此時(shí)|A1(q)|=q(q2-1)=5 929 560=23·32·5·7·13 ·181<1010.r=17時(shí),q=2·17·7-1=237, 不是素?cái)?shù)冪.r=23時(shí),q=2·23·7-1=321, 不是素?cái)?shù)冪.r=31時(shí),q=2·31·7-1=433, 此時(shí)|A1(q)|=q(q2-1)=81 182 304=25·33·7·31 ·433<1010.r=37時(shí),q=2·37·7-1=517=11·47, 不是素?cái)?shù)冪.r=41時(shí),q=2·41·7-1=573=3·191, 不是素?cái)?shù)冪.r=43時(shí),q=2·43·7-1=601, 此時(shí)|A1(q)|=q(q2-1)=217 081 200=24·3·55·7·43 ·601<1010.r=47時(shí),q=2·47·7-1=657=32·73, 不是素?cái)?shù)冪.r=53時(shí),q=2·53·7-1=741=32·13·19, 不是素?cái)?shù)冪.r=61時(shí),q=2·61·7-1=853, 此時(shí)|A1(q)|=q(q2-1)=620 649 624=23·3·55·7·61·71 ·853<1010.r=67時(shí),q=2·67·7-1=937, 此時(shí)|A1(q)|=q(q2-1)=822 656 016=24·32·7 ·13·67·937<1010.r=71時(shí),q=2·71·7-1=993, 不是素?cái)?shù)冪.r=73時(shí),q=2·73·7-1=1 021, 此時(shí)|A1(q)|=q(q2-1)=1 064 331 240=23·3·5 ·7·17·73·1 021<1010.r=83時(shí),q=2·83·7-1=1 161=33·43, 不是素?cái)?shù)冪.r=97時(shí),q=2·97·7-1=1 357=23·59, 不是素?cái)?shù)冪.r=101時(shí),q=2·101·7-1=1 413=32·157, 不是素?cái)?shù)冪.r=103時(shí),q=2·103·7-1=1 441=11·131, 不是素?cái)?shù)冪.r=107時(shí),q=2·107·7-1=1 497=3·499, 不是素?cái)?shù)冪.r=113時(shí),q=2·113·7-1=1 581=3·527, 不是素?cái)?shù)冪.r=127時(shí),q=2·127·7-1=1 777, 此時(shí)|A1(q)|=q(q2-1)=5 611 282 656=25·3 ·7·37·127·1 777<1010.r=131時(shí),q=2·131·7-1=3·611, 不是素?cái)?shù)冪.r=137時(shí),q=2·137·7-1=1 917=33·71, 不是素?cái)?shù)冪.r=151時(shí),q=2·151·7-1=2 113, 此時(shí)|A1(q)|=q(q2-1)=9 434 054 784=27·3 ·7·11·151·2 113<1010.

令s=1,t=2.

r=3時(shí),q=2·32·7-1=125=53, 此時(shí)|A1(q)|=q(q2-1)=1 953 000=23·32·53·7·31<1010.r=5時(shí),q=2·52·7-1=349, 此時(shí)|A1(q)|=q(q2-1)=42 508 200=23·3·52·7·29 ·349<1010.r=11時(shí),q=2·112·7-1=1 693, 此時(shí)|A1(q)|=q(q2-1)=4 852 557 864=23·32·52·7·112·47 ·349<1010.

當(dāng)s=1,t=3時(shí),r=3,q=2·33·7-1=377=13·29, 不是素?cái)?shù).

令s=2,t=1.

r=3時(shí),q=2·3·72-1=293, 是素?cái)?shù). 此時(shí)|A1(q)|=q(q2-1)=25 153 464=23·3 ·72·73 ·293<1010.r=5時(shí),q=2·5·72-1=489=3·163, 不是素?cái)?shù).

s=2,t=2,r=3時(shí),q=2·32·72-1=881, 是素?cái)?shù). 此時(shí)|A1(q)|=q(q2-1)=683 796 960=25·32·5·72·11 ·881<1010.

b.q≡-1(mod 4).

由文獻(xiàn)[1]知, π1=π(q+1),π2=π(q),π3=π((q-1)/2). 由于 7∈π(G)且dG(7)= 1, 此處討論與a類似, 因此省去計(jì)算, 只給出結(jié)論.

情況37∈π1, 即q+1=2t·7s. 令q=2t·7s-1=4k-1. 可以得到G為A1(223),A1(27),A1(1 567).

情況47∈π3, 由于dG(7)= 1, 則|π(π3)|=2. 設(shè)(q-1)/2=rt·7s, 其中r≠2,7. 則q=2·rt·7s+1. 得到滿足條件的群有：A1(43),A1(71),A1(239),A1(659),A1(743),A1(827),A1(1 163),A1(1 499),A1(1 583),A1(2 087),A1(127),A1(379),A1(491),A1(883).

c.q≡0(mod 2).

令q=2m. 由文獻(xiàn)[1]知,π1={2},π2=π(q-1),π3=π(q+1). 由|A1(q)|=q(q2-1)<23m≤1010, 有m<12. 由于 7∈π(G), 得到m=3,6,9.

當(dāng)m=3時(shí),q-1=7. 當(dāng)m=6時(shí),q-1=26-1=32·7. 滿足dG(7)= 1.m=9時(shí),q-1=29-1=7·73, 滿足dG(7)= 1.

3) 若G為李型單群A2(4),2A2(9),C3(2),2A3(3),2A5(2),3D4(2),D4(2).

若G=A2(4), 此時(shí),|G|=26·32·5·7, 由文獻(xiàn)[3]知,π1={2,3,7},π2={5}. 不合題意.

若G=2A2(9), 此時(shí),|G|=25·36·52·73. 不合題意.

若G=C3(2), 此時(shí),|G|=29·34·5·7, 由文獻(xiàn)[3]知,π1={2,3,5}, π2={7}. 不合題意.

若G=2A3(3), 此時(shí),|G|=26·32·5·7, 由文獻(xiàn)[3]知,π1={2,3,7},π2={5}. 不合題意.

若G=2A5(2), 此時(shí),|G|=215·36·5·7·11, 由文獻(xiàn)[3]知,π1={2,3,5},π2={7},π3={11}. 不合題意.

若G=3D4(2), 此時(shí),|G|=212·34·72·13, 由文獻(xiàn)[3]知,π1={2,3,7},π2={13}. 不合題意.

若G=D4(2), 此時(shí),|G|=212·35·52·7, 由文獻(xiàn)[3]知,π1={2,3,5},π2={7}. 不合題意.

4) 若G為李型單群C2(q), |C2(q)|=q4(q2-1)(q4-1)

5) 若G為李型單群G2(3k), |G2(3k)|=q6(q6-1)(q2-1)<314k<1010, 有k=1. 此時(shí), 由文獻(xiàn)[1]知,π1={2,3,7},π2={5}.dG(7)=2, 不合題意.

6) 若G為李型單群A2(q)(q是Mersenne素?cái)?shù)), 即q=2p-1均為素?cái)?shù). |A2(q)|=q3(q3-1)(q2-1)<28p<1010, 有p=2,3. 此時(shí)q=3,7. 當(dāng)q=3時(shí), 7?π(A2(q)). 當(dāng)q=7時(shí), |A2(7)|=73(73-1)(72-1)=25·33·73·19. 此時(shí), 由文獻(xiàn)[1]知,π1={2,3,7},π2={19}.dG(7)=2, 不合題意.

7) 若G為李型單群2A2(q)(q是Fermat素?cái)?shù)). 即q=22n+1為素?cái)?shù). 由|2A2(q)|=q3(q3+1)(q2-1)

Ⅲ. 若G為散在單群M11,M22,J1,J2,J3,HS.

為方便, 下面列出這幾個(gè)散在單群的連通分支，如表 1 所示.

表 1 某些散在單群的連通分支

從表 1 可以看出,這幾個(gè)群都不滿足要求.

故G不是散在單群.