從二元一次方程與一次函數(shù)的聯(lián)系說起

肖亞萱 吳佐紀

若新命題與原認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識具有一定的聯(lián)系，但既非上位關(guān)系，也非下位關(guān)系，則稱這種命題與原有命題之間是并列關(guān)系，這種命題的學(xué)習(xí)稱為并列學(xué)習(xí)。這是孫道斌先生在《初中數(shù)學(xué)課型教學(xué)研究》一書中的闡述。下面就以北師大版八年級上冊第五章第7節(jié)《二元一次方程與一次函數(shù)》的學(xué)習(xí)感受來說一說。

1. 課例概述

環(huán)節(jié)1：作出一次函數(shù)y=x+5的圖象

這里我們從畫一次函數(shù)的圖象開始，再次感受函數(shù)的三種表達式之間的緊密關(guān)系：從關(guān)系式、到列表、到圖象。再說一說我們是怎么畫出函數(shù)圖象的，其中老師特別追問如何從列表到描點的，是如何將x＼y對應(yīng)取值寫成點的坐標。因為畫函數(shù)圖象時有四步作圖法：列表、寫點坐標、描點坐標、連線。這里比書上多一個步驟，讓我們的思維可以從以前得到連續(xù)。我們再次經(jīng)歷這個作圖過程，借以學(xué)生的體驗活動助力本節(jié)的中心內(nèi)容學(xué)習(xí)：以關(guān)系式為中心的取值，又把取值寫坐標，又可把坐標化為方程的解x=y=。

環(huán)節(jié)2：合作探究

（1） 方程x+y=5的解有多少個？寫出一些。

（2） 在直角坐標系內(nèi)分別描出以這些解為坐標的點，它們在一次函數(shù)y=5-x的圖象上嗎？

（3） 在一次函數(shù)圖象上任取一點，它的坐標適合方程x+y=5嗎？

（4） 以方程x+y=5的解為坐標的所有點組成的圖象與一次函數(shù)y=5-x的圖象相同嗎？

我們緊緊圍繞這些問題進行探究活動，在小組中展開學(xué)習(xí)互助。在剛才自己作圖的基礎(chǔ)上與同學(xué)合作共同討論求解以上問題，然后在老師的帶領(lǐng)下完成合作探究。

環(huán)節(jié)3：合作探究

學(xué)生在小組里進行探究、討論和學(xué)習(xí)，在相互的討論中預(yù)設(shè)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)以下問題：（1） 一些x與y取值一樣；（2） 若把解寫成點坐標的形式后，與圖象上的點坐標一樣。

接著老師與學(xué)生一起提煉它們之間的關(guān)系。從一次函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)=-x+5與二元一次方程y+x=5的等式來看，同學(xué)們看到什么，學(xué)生：把-x移項，那么它們就是一樣的方程了。教師說，從列表取值上看，你們發(fā)現(xiàn)什么？學(xué)生：它們的取值一樣。教師追問道：這是為什么？學(xué)生：它們都是從關(guān)系式y(tǒng)=-2x+1或y+2x=1算出的，教師：你們還有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生：方程的解，寫成實數(shù)對后，是點的坐標，或是把點的坐標寫成解的形式，那它就是二元一次方程的解。教師再追問道：還有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生：它們是一樣的。教師重述道：一樣的，你們認為呢？他說的有道理嗎？

環(huán)節(jié)4：歸納總結(jié)

一次函數(shù)y=-2x+1與二元一次方程y+2x=1是一樣的。

是真的一樣的嗎？教師再次發(fā)問，引發(fā)思考。教師引導(dǎo)學(xué)生再次從列表中找其它對應(yīng)關(guān)系，如對于方程，當(dāng)x=20時，y=-39，當(dāng)x=-10時y=-21，那么把它們寫成實數(shù)對（20，-39）、（-10， -21），這些坐標會在一次函數(shù)y=-2x+1的圖象上嗎？你怎么驗證？學(xué)生：可以代入函數(shù)關(guān)系式中。而對于一次函數(shù)y=-2x+1圖象上的點，是否會是二元一次方程y+2x=1的解呢？學(xué)生：會，因為都是從同樣的等式算出的。

環(huán)節(jié)5：合作探究

利用教材P123頁的“做一做”，進行達標訓(xùn)練。

環(huán)節(jié)6：課堂檢測（略）

2. 課例分析

函數(shù)的概念及其三種表達方式是初中學(xué)習(xí)函數(shù)的基礎(chǔ)，它處于總的位置，是處在上位上，而一次函數(shù)是它的一個特例。方程是一個含有未知數(shù)的等式，是綱，而二元一次方程是方程的一種。把握住總屬的辯證關(guān)系，有利于我們的學(xué)習(xí)生成。

第一，把握教材前后的聯(lián)系，學(xué)習(xí)時把思維放在最近發(fā)展區(qū)，放在最能引發(fā)聯(lián)系和沖突的地方，使教材前后呈現(xiàn)出承上啟下的特性，教材各章節(jié)之間不是斷裂的，可以激發(fā)我們的另類空間想象。

第二，知識的發(fā)散與整體的結(jié)合，其中利用坐標是一組有序?qū)崝?shù)對，而方程的解也是一組實數(shù)對，這是聯(lián)系的，是集中地，是各區(qū)塊鏈之間的神經(jīng)元。運用這個神經(jīng)元，發(fā)散到一次函數(shù)圖象是坐標點，發(fā)散到二元一次方程是方程的解。

第三，以函數(shù)的三種表達方式為抓手，再創(chuàng)新地運用列表中的數(shù)據(jù)，對其中的數(shù)據(jù)進行有理有力地分析和概括，列表時，我們利用函數(shù)關(guān)系式進行計算，求方程的解時我們也是利用方程這個等式進行計算。然而，關(guān)系式與方程是一樣的。這個“一樣”，一經(jīng)發(fā)現(xiàn)，那么學(xué)習(xí)函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系就只剩下融會貫通，只差實踐鍛煉了。

第四，在教學(xué)中加入了數(shù)據(jù)的收集和整理的處理理念，使各模塊的知識進行了融合。

《望岳》中有：會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小。利用函數(shù)關(guān)系式，畫出圖象，在制作圖象的過程中，我們感受到了，取一個x值，就會有一個對應(yīng)的y值，而取值過程是通過函數(shù)關(guān)系式來進行計算的，關(guān)系式是什么？是二元一次方程嗎？這里是這堂課的關(guān)鍵節(jié)點。如何把方程與函數(shù)聯(lián)系在一起？函數(shù)關(guān)系式可以是二元一次方程嗎？老師的設(shè)計，站在探究的角度，引領(lǐng)學(xué)生感受到這種“水到渠成”的學(xué)法，那就是列表求值和方程求解，是它們連接的地方，是學(xué)生在計算的地方，這是問題所在和解決問題的根本。