白 慧*，田 敏，馮 敏，劉鵬程，王海濤

1.中國石油長慶油田分公司勘探開發(fā)研究院，陜西 西安 710018

2.低滲透油氣田勘探開發(fā)國家工程實驗室，陜西 西安 710018

3.“油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程”國家重點實驗室·西南石油大學，四川成都610500

引 言

對于低滲透氣藏，僅采用單一水平井或壓裂垂直井開發(fā)往往達不到理想的單井產(chǎn)能和預(yù)期的開發(fā)效果。水平井多級分段壓裂技術(shù)能大幅度提高低滲氣藏的單井產(chǎn)能，因此，近年來被越來越多地運用于低滲氣藏、致密氣藏、頁巖氣藏的開發(fā)，并取得了良好的開發(fā)效益。

1978年，Cinco-Ley等建立了壓裂垂直井的滲流模型，并采用裂縫單元離散的方法對模型進行了求解[1]，該模型能準確地刻畫壓裂垂直井的壓力和產(chǎn)量動態(tài)，但模型僅考慮了單條壓裂縫的影響。1993年，Raghavan和Joshi給出了一種多級壓裂水平井產(chǎn)能的計算方法，但該模型未嚴格考慮壓裂縫中的流動[2]。1994年，郎兆新利用位勢理論和疊加原理對油藏中的多級壓裂水平井（MFHW）產(chǎn)能進行了研究，并推導出了產(chǎn)能計算公式，不過該公式未考慮壓裂縫導流能力的影響，只適用于無限導流縫的情形[3]。2002年，寧正福等在郎兆新研究基礎(chǔ)上對MFHW產(chǎn)能計算公式進行了改進，該公式進一步考慮了壓裂縫導流能力的影響，能較好地用于MFHW產(chǎn)能的計算，不過，該模型對流體在壓裂縫中的流動進行了較大的簡化處理，與實際情況偏差較大[4]。2007年，曾凡輝等利用點匯解和疊加原理為MFHW建立了一種產(chǎn)能計算模型，該模型既考慮了壓裂縫引起的勢的相互干擾，也考慮了壓裂縫導流能力的影響[5]，不過，采用個數(shù)有限的點匯的疊加來代替連續(xù)延伸壓裂縫的方法不可避免地導致較大的偏差。2009年，王海濤等建立了多級壓裂水平井不穩(wěn)定滲流模型，計算并分析了MFHW井底壓力動態(tài)及流量分布規(guī)律[6]，但該模型未考慮壓裂縫導流能力的影響。同年，Brown將壓裂水平井分為3個線狀流動區(qū)，建立了三線性流模型，分析了MFHW的壓力動態(tài)，并利用Mukherjee和Economides提出的表皮系數(shù)表達式考慮了壓裂縫中的流體向水平井筒徑向匯聚的影響，但文中未對產(chǎn)量動態(tài)進行分析[7-8]。2010年，曾保全等借助Eclipse軟件，利用流線模擬方法，研究了壓裂水平井流線分布特征、裂縫產(chǎn)能分布規(guī)律、裂縫長度對開發(fā)效果的影響[9]。2014年，張芮菡等基于壓裂水平井三線性流模型，結(jié)合沃倫-茹特模型，建立了低滲透裂縫性氣藏壓裂水平井不穩(wěn)定滲流數(shù)學模型，分析了其產(chǎn)量變化動態(tài)[10]，該模型較好地考慮了流體在地層及壓裂縫中的流動，但僅適合于早中期的線性流階段，對晚期流線形態(tài)發(fā)生變化后則不太適用。2016年，張德良基于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，采用有限元-有限體積法研究了頁巖氣藏MFHW水平井產(chǎn)能動態(tài)[11]，模型功能較強，能考慮很多復雜情況，但計算量大、計算耗時。同年，魏明強、段永剛等基于PEBI網(wǎng)格，引入塵氣模型建立并推導了綜合考慮頁多重運移機制下的壓裂水平井產(chǎn)量遞減數(shù)學模型，計算獲得了頁巖氣藏無限導流壓裂水平井Blasingame產(chǎn)量遞減典型曲線，討論了相關(guān)參數(shù)對典型曲線的影響[12]，但未考慮壓裂縫導流能力的影響。此外，還有不少學者對多級壓裂水平井產(chǎn)能計算問題作了研究[13-21]。

由此可見，目前低滲氣藏MFHW產(chǎn)能計算方面仍存在一些不足，為此，本文綜合利用多種數(shù)學方法，建立了一個嚴格的產(chǎn)能計算數(shù)學模型。

1 物理模型

如圖1所示，低滲氣藏中有一口多級壓裂水平井（MFHW），圖中只畫了6條壓裂縫，但為了不失一般性，在推導時假設(shè)壓裂縫條數(shù)為M，壓裂縫半長為xf，水平井長度為Lh。

圖1 低滲氣藏MFHW物理模型Fig.1 Schematic of a MFHW in a low-permeability gas reservoir

其他基本假設(shè)如下：

（1）氣藏水平等厚，原始地層壓力為pi；

（2）考慮水力壓裂縫的導流能力；

（3）忽略重力和毛細管力；

（4）氣藏中為等溫滲流。

2 產(chǎn)能計算的數(shù)學模型

該產(chǎn)能計算模型由氣藏滲流模型和壓裂縫滲流模型組成。為了在推導中不產(chǎn)生太多冗長的數(shù)值常數(shù)，本文模型在推導時采用SI國際單位制。

2.1 氣藏滲流模型

由于多級壓裂水平井內(nèi)邊界條件的復雜性，直接構(gòu)建其滲流數(shù)學模型時很難準確給出內(nèi)邊界條件，故先從最簡單的線匯模型出發(fā)，再利用疊加原理獲得MFHW在氣藏中引起的壓力分布表達式。

2.1.1 線匯模型

線匯模型是滲流力學中最基本的滲流模型之一，此處考慮以恒定的井底壓力pw生產(chǎn)，則無因次線匯模型如下[22]

滲流微分方程

式中：ψD—地層無因次擬壓力，

rD—無因次徑向距離，

tD—無因次時間，

ψi—原始地層壓力pi對應(yīng)的擬壓力，Pa/s，

ψw井底壓力pw對應(yīng)的擬壓力，Pa/s，

ψ-任一壓力p對應(yīng)的擬壓力，Pa/s，

p0—參考壓力，常取為0或一個大氣壓，Pa；

r—徑向距離，m；

rw—井筒半徑，m；

K—氣藏滲透率，D；

φ—氣藏孔隙度，無因次；

μi—原始條件下的天然氣黏度，Pa·s；

Ci—原始條件下天然氣的壓縮系數(shù)，Pa-1；

psc—地面大氣壓力，Pa；

T—氣藏溫度，K；

h—氣藏厚度，m；

Tsc—地面溫度，K；

式（1）～式（4）構(gòu)成了最基本的定井底壓力生產(chǎn)下的線匯模型。

利用Laplace變換可求得上述線匯模型在Laplace空間的解為

式中：

K0—0階虛宗量貝塞爾函數(shù)；

s—Laplace變量。

2.1.2 MFHW在氣藏中引起的無因次擬壓降的表達

由求和形式和積分形式這兩種形式的疊加原理，可得M條裂縫在氣藏中引起的無因次擬壓降為

式中：qfDl第l條壓裂縫的無因次線密度流量，

qfl—第l條壓裂縫的線密度流量，m3（/s·m）；

xD—氣藏中任一點的無因次x坐標，

yD—氣藏中任一點的無因次y坐標，

xwD—壓裂縫的無因次x坐標，

ywDl—第l條壓裂縫的無因次y坐標，ywDl=第l條壓裂縫的y坐標；

xfDl—第l條縫的無因次縫半長，

xfl—第l條縫的縫半長，m。

2.2 多壓裂縫滲流模型

沿用Cinco等建立雙翼壓裂縫滲流模型時的建模思想[23-25]，可建立第 （jj=1，2，...M）條壓裂縫的滲流模型如下

式中：

ψfDj—第j條壓裂縫的無因次擬壓力；

CFDj—第j條壓裂縫的無因次導壓系數(shù)，

Kfj—第j條壓裂縫的滲透率，D；

WfDj—第j條壓裂縫的無因次裂縫寬度，

WfDj=Wfj/rw；

Wfj—第j條壓裂縫的裂縫寬度，m。

式（7）～式（9）就構(gòu)成了壓裂縫滲流模型，利用Laplace變換、二重積分可得

式中：

ψwD—無因次井底壓力，根據(jù)其定義，有

qDj—第j條壓裂縫的無因次產(chǎn)量；

2.3 氣藏滲流模型與多壓裂縫滲流模型聯(lián)立

聯(lián)立式（6）和式（10），得

式（11）為Fredholm積分方程，可通過對內(nèi)邊界進行單元離散來進行求解。

如圖2所示，假設(shè)第j條壓裂縫上第i個單元上的中點坐標為(Dj,i,ywDj)，第j條壓裂縫上第i個單元的兩個端點坐標分別為(xDj,i,ywDj)和(xDj,i+1,ywDj)。

圖2 第 j條壓裂縫離散圖Fig.2 Schematic of discretization of the j hydraulic fracture

離散后的方程為

其中：

此外，對于第j條壓裂縫，還存在如下流量關(guān)系

當i、j變化時，由式（12）和式（14）可得到N×M+M個線性代數(shù)方程，未知數(shù)（qfDl,v、qDj）的個數(shù)也為N×M+M個，方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等，可以封閉求解，此外，在將Laplace空間解反演到真實時間域時可采用Stehfest數(shù)值反演[26]。

求出各壓裂縫無因次產(chǎn)量qDj之后，利用其無因次定義，可求得各壓裂縫的有因次產(chǎn)量qj，而氣井產(chǎn)量q則為各壓裂縫產(chǎn)量qj之和

3 產(chǎn)能影響因素定量計算及分析

以某低滲透氣田T2區(qū)塊典型儲層物性參數(shù)為例，定量分析多級壓裂水平井產(chǎn)能影響因素。參數(shù)情況如下：壓裂縫條數(shù)M=6，壓裂縫半長xf=40 m，水平井長度Lh=600 m，rw=0.1 m，地面大氣壓力psc=0.101 MPa，地面溫度Tsc=20°C，氣藏溫度T=102°C，氣藏厚度h=12 m，原始地層壓力pi=30.5 MPa，井底壓力pw=22 MPa，氣藏滲透率K=0.001 D，裂縫滲透率Kf=20 D，氣藏孔隙度φ=0.13，天然氣黏度 μ=0.025 mPa·s，天然氣的壓縮系數(shù)Ct=0.033 MPa-1，井筒半徑rw=0.1 m，裂縫寬度Wf=0.002 m。

經(jīng)單位轉(zhuǎn)換后，可利用本文模型進行產(chǎn)能計算分析。討論某一參數(shù)的影響時，只令該參數(shù)變化，其他參數(shù)除非在圖上標注，否則，取上述給定值。

3.1 氣層有效厚度h

圖3是氣層有效厚度對MFHW產(chǎn)量的影響圖。從圖可以看出，隨氣層有效厚度的增大，氣井產(chǎn)量幾乎呈線性增加，故氣層有效厚度是影響氣井產(chǎn)能的主要因素之一。

圖3 氣層厚度對氣井產(chǎn)量的影響圖Fig.3 Effect of formation thickness on production rate

3.2 氣藏滲透率K

圖4是氣藏滲透率K對氣井產(chǎn)量的影響圖?？梢钥闯?，隨滲透率K的增大，氣井產(chǎn)量也幾乎呈線性增加。故氣藏滲透率也是影響氣井產(chǎn)能的主要因素之一。

3.3 壓裂縫條數(shù)M

圖5是壓裂縫條數(shù)M對氣井產(chǎn)量的影響圖。從圖上可以看出，當裂縫條數(shù)M增加時，氣井產(chǎn)量qsc相應(yīng)增大，但它們并不成線性增長關(guān)系，在裂縫條數(shù)較少時，產(chǎn)量增大的幅度很明顯（如圖5所示，壓裂縫條數(shù)從2條增加至4條時，產(chǎn)能增幅很大），但隨著裂縫條數(shù)的增加，產(chǎn)量增大的幅度逐漸減小。因此，對于水平井分段多級壓裂來說，雖然可通過增加壓裂縫條數(shù)來增大氣井產(chǎn)量，但也不能一味地增加壓裂縫條數(shù)。

圖4 氣藏滲透率對氣井產(chǎn)量的影響圖Fig.4 Effect of reservoir permeability on production rate

圖5 壓裂縫條數(shù)M對氣井產(chǎn)量的影響圖Fig.5 Effect of number of hydraulic fractures,M,on production rate

3.4 壓裂縫半長xf

圖6是壓裂縫半長xf對氣井產(chǎn)量的影響圖。從圖上可以看出，壓裂縫半長xf在較短時，隨它的增加，產(chǎn)量增大的幅度較大；壓裂縫半長xf較長時，隨它的增加，產(chǎn)量增大的幅度下降。早期xf對流量的影響大于晚期。

圖6 壓裂縫半長xf對氣井產(chǎn)量的影響圖Fig.6 Effect of half-length of hydraulic fracture,xf,on production rate

3.5 壓裂縫導流能力KfWf

圖7是壓裂縫導流能力KfWf對氣井產(chǎn)量的影響圖?？梢钥闯?，當KfWf較小時，隨KfWf的增加，產(chǎn)量增加較大；但當KfWf增加到一定值（例如，在T2區(qū)塊典型參數(shù)條件下，當KfWf增大到40 D·mm）后，產(chǎn)量增大的幅度很小。說明可以通過注入高品質(zhì)、足夠數(shù)量支撐劑等方法提高壓裂縫導流能力（實際上是提高了壓裂縫的Kf、Wf），從而提高氣井產(chǎn)能；另外，要綜合考慮氣井產(chǎn)能的增加幅度與提高KfWf時所花費的成本，而不要一味追求過于高的導流能力。

圖7 壓裂縫導流能力KfWf對氣井產(chǎn)量的影響圖Fig.7 Effect of hydraulic fracture conductivity,KfWf,on production rate

從以上對壓裂縫條數(shù)M、壓裂縫半長xf、壓裂縫導流能力KfWf的分析可看出，三者對產(chǎn)能影響的規(guī)律比較相似，均是隨其增大，產(chǎn)量增大，但前期增速快，后期增速慢。

3.6 各壓裂縫流量分布規(guī)律

圖8是壓裂縫條數(shù)M=6時，在不同生產(chǎn)時間從地層流入各條壓裂縫的流量大小分布圖。圖中對壓裂縫的編號見圖1。

圖8 各壓裂縫產(chǎn)量大小分布圖Fig.8 Flux distribution in different hydraulic fractures

從圖8可以看出，在早期，地層流入各條壓裂縫的流量近似相等，但隨著生產(chǎn)時間的推移，從地層流入兩端壓裂縫的流量逐漸大于從地層流入中部壓裂縫的流量，即呈現(xiàn)“兩端高、中部低”的特點。

4 結(jié) 論

（1）為多級壓裂水平氣井產(chǎn)能計算提供了一個嚴格的數(shù)學模型，并對模型成功地進行了求解，然后以此為基礎(chǔ)，對不同因素影響下的多級壓裂水平氣井產(chǎn)能進行了定量計算和分析。

（2）隨氣層有效厚度h的增大，氣井產(chǎn)量q幾乎呈線性增大；隨氣藏滲透率K的增大，氣井產(chǎn)量q也幾乎呈線性增大。

（3）壓裂縫條數(shù)M、壓裂縫半長xf、壓裂縫導流能力KfWf對產(chǎn)能影響的規(guī)律相似：當M、xf、KfWf值較小時，隨它們的增大，產(chǎn)量增大幅度較大，當它們值較大時，產(chǎn)量增大幅度變小。故不能一味地靠增加M、xf、KfWf的大小來增加氣井產(chǎn)能，應(yīng)綜合考慮氣井產(chǎn)能的增加幅度與增大M、xf、KfWf時所花費的成本。

（4）在早期，地層流入各條壓裂縫的流量近似相等，隨生產(chǎn)時間的推移，地層流入端部壓裂縫的流量逐漸大于流入中部壓裂縫的流量，即呈現(xiàn)“兩端高、中部低”的特點。