初中二次函數(shù)三角形面積問題研究

王達海

【摘 要】數(shù)學(xué)作為一門重要學(xué)科，在當下初中教學(xué)中占據(jù)著重要的地位。其中二次函數(shù)中三角形面積問題，作為幾何與代數(shù)的有機結(jié)合，是一個重要的考核要點，亦是對學(xué)生在函數(shù)綜合能力方面的提升。而二次函數(shù)在教學(xué)過程中存在多種教學(xué)思想與解題方法，因此在實際教學(xué)過程中，教師應(yīng)對教學(xué)深度與教學(xué)方式進行精準的把握，以便層層漸進的對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維進行構(gòu)建，對函數(shù)知識進行學(xué)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);二次函數(shù);三角形面積問題

【中圖分類號】G633.6 ??????【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）11-0056-02

隨著數(shù)學(xué)教學(xué)進程的不斷深化，函數(shù)教學(xué)的深度與難度也在不斷提升，初中數(shù)學(xué)階段，作為幾何與代數(shù)的有機結(jié)合，二次函數(shù)中三角形的面積問題，因其可滲透的解題思路以及教學(xué)思想比較多，而成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一大重點。對于學(xué)生來說該類題型的難度較大，因此在教學(xué)過程中教師應(yīng)該加強教學(xué)設(shè)計，由淺入深的對其進行講解，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維以及解題習(xí)慣進行培養(yǎng)。確保學(xué)生掌握二次函數(shù)三角形面積這一基礎(chǔ)知識點的同時，進一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。

一、課堂導(dǎo)入

首先在課堂中通過向?qū)W生提出一個較為開放的課題，來引導(dǎo)學(xué)生進行自主探索，如，教師可以給出“根據(jù)直角坐標系中三點坐標B（3，0），C（0，3），D（1，4），并將其順次進行連接，求其所組成的三角形的面積”這一問題[1]，然后引導(dǎo)學(xué)生自主動手在平面直角坐標系中畫出△DCB的形狀，并引導(dǎo)學(xué)生對所畫圖形的三角形面積進行換算。而當學(xué)生在解答過程中遇到困難時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試割補法來對三角形的面積進行計算，并鼓勵學(xué)生自主嘗試不同的方式對三角形進行分割。在教學(xué)過程中教師應(yīng)該盡可能多的引導(dǎo)學(xué)生嘗試對三角形進行不同方式的分割，引導(dǎo)學(xué)生深刻掌握三角形不同的分割計算方式的同時。為二次函數(shù)三角形面積計算打下相應(yīng)的基礎(chǔ)。

二、例題講解

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圖1

如上圖1所示，已知拋物線過坐標系中的A（-1，0），C（0，3）亮點，且坐標系的對稱軸為X=1的直線。求：（1），拋物線的解析式，以及拋物線與X軸的另一交點B與頂點D的坐標。（2），△DCB的面積[2]。

通過以上例題的提出，教師需要引導(dǎo)學(xué)生主動思考求二次函數(shù)的解析式主要有哪三種，在該例題中使用哪一種解析方式比較簡單、方面。同時還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生積極完成求△DCB的面積的準備工作，并思考怎樣根據(jù)B、C、D這三個點的坐標進行三角形面積的計算。同時通過與課堂導(dǎo)入內(nèi)容向結(jié)合，激發(fā)學(xué)生主動去尋找該例題與課堂導(dǎo)入中所出題目的異同點。從而加深印象，使學(xué)生能夠更加直觀對平面直角坐標系中三角形面積的分割方式進行掌握，同時對二次函數(shù)解析式的三種不同方法進一步加深印象，促進學(xué)生了解與掌握。

三、多題練習(xí)與鞏固

1.變式題1。

通過在對例題講解的基礎(chǔ)上，教師還可以進一步延伸，已知拋物線與坐標軸曉教育C、B兩點，而D是直線BC上方二次函數(shù)圖像上的一個動點，求點D到什么位置時△DCB的面積最大，而此時D點的坐標是？三角形面積的最大值是[3]？

教師需要引導(dǎo)學(xué)生去思考兩者之間存在什么差異。同時教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)所學(xué)的二次函數(shù)解析式對B、C兩點的坐標以及BC間的長度進行求取。同時教師還可以引導(dǎo)學(xué)生思考是否是當D點與直線BC間的距離最大時△DCB的面積最大，并引導(dǎo)學(xué)生去D點的幾個坐標與D點具直線BC最大距離的坐標，依次對△DCB的面積進行計算[4]，以此來對所拋出的問題進行解答與印證。而在解題過程中，D點到BC的最大距離成為此題的攔路虎，教師可以以此為契機，引導(dǎo)學(xué)生對如何求出D點到BC的最大距離進行思考，并引導(dǎo)其嘗試用不同的方法解決這一問題。進而通過環(huán)環(huán)相扣的不走來引導(dǎo)學(xué)生建立起△DCB面積關(guān)于D點坐標的函數(shù)關(guān)系式。最后教師可以通過提問或者是分享的形式來一到學(xué)生談?wù)勛陨碓谠撟兪筋}學(xué)習(xí)過程中對三角形分割法應(yīng)用的感受，使之進一步加深學(xué)生的學(xué)習(xí)印象。

2.變式題2。

將例題進一步延伸，在其基礎(chǔ)上做出假設(shè)，已知拋物線y=x2+2x+3與直線y=-x+1相交于B、D兩點，而D是直線BC上方拋物線上的一個動點（D點與C、B不重合）。求當D點運動到哪個位置時△DCB的面積是最大的？當△DCB的面積最大時，D點的坐標是多少，△DCB的最大面積值是多少[5]。

在教學(xué)過程中，教師可以應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生積極思考變式題2與變式題1、例題之間存在什么樣的聯(lián)系，又存在什么樣的區(qū)別。引導(dǎo)學(xué)生對其存在的異同點進行總結(jié)。當學(xué)生了解三道題目中的異同點之后，教師應(yīng)該進一步加深引導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生既然變式題2與例題、變式題1均有一定的相似之處，那么是否可以用上述所學(xué)的解題方法對變式題2進行解答，并積極引導(dǎo)學(xué)生將自身的猜想付諸實踐，用實際行動驗證自身的猜想。同時通過引導(dǎo)學(xué)生對幾種解題方式的實際運用后，鼓勵學(xué)生對幾種解題方法的看法進行發(fā)表，詢問學(xué)生這幾種解題方法中更喜歡哪一種解題方法，哪一種方法比較簡便？從而增強學(xué)生學(xué)習(xí)的參與感與主動性。同時引導(dǎo)學(xué)生對變式題2進行解答。

四、結(jié)語

在本次的二次函數(shù)三角形面積問題學(xué)習(xí)過程中，教師應(yīng)該充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，積極引導(dǎo)學(xué)生主動對該知識點進行學(xué)習(xí)。而教師則應(yīng)該做好課堂教學(xué)的備課工作，從構(gòu)造平面直角三角形坐標系中三角形面積計算出發(fā)，層層遞進，對多種三角形分割法進行講解，并運用相應(yīng)的題目鍛煉學(xué)生對二次函數(shù)三角形面積問題的理解與掌握，進一步加深學(xué)生的學(xué)習(xí)印象。在本文的教學(xué)設(shè)計中，教師應(yīng)充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，以二次函數(shù)三角形面積問題教學(xué)為切入點，進一步激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識。為今學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

參考文獻

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[2]陳占彪.初中二次函數(shù)三角形面積問題探究[J].青海教育，2016（12）：39-40.

[3]王海燕，原歡春.二次函數(shù)中三角形面積問題的三種求解方法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（09）：48-49.

[4]唐祥龍.初中二次函數(shù)三角形面積問題透析[J].科學(xué)大眾（科學(xué)教育），2012（10）：35.

[5]陸文娟.二次函數(shù)圖象中三角形面積計算問題[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2012（19）：14-15.