隋 鑫，丁 千,2

(1.天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300350；2.天津市非線性動(dòng)力學(xué)與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300350)

近年來(lái)，對(duì)摩擦耦合系統(tǒng)的失穩(wěn)和制動(dòng)尖叫的研究主要集中在黏滑自激振動(dòng)機(jī)理和結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定振動(dòng)機(jī)理[1]。針對(duì)摩擦自激振動(dòng)問(wèn)題，劉麗蘭等[2]介紹了機(jī)械系統(tǒng)中黏滑摩擦振動(dòng)的研究情況；黃毅等[3]針對(duì)一類雙質(zhì)體-傳輸帶干摩擦系統(tǒng)，分析內(nèi)共振條件下的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象；丁千等[4]總結(jié)機(jī)械系統(tǒng)中的摩擦模型與特性，對(duì)制動(dòng)噪聲、摩擦耗能等摩擦動(dòng)力學(xué)研究進(jìn)展進(jìn)行綜述；對(duì)于不同系統(tǒng)，摩擦力模型的選取將影響系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的分析。

作為最典型的摩擦系統(tǒng)，車輛制動(dòng)系統(tǒng)摩擦塊與制動(dòng)盤(pán)的耦合振動(dòng)受到重視，分析模型和方法也很多。如Zhao等[5]采用伽遼金方法對(duì)剛?cè)狁詈夏Ｐ瓦M(jìn)行降維求解；Beloiu等[6]應(yīng)用時(shí)域和頻域的分析方法分析柔性耦合振動(dòng)；李金錄等[7]采用非光滑基函數(shù)方法，分析簡(jiǎn)化成局部約束梁模型的摩擦盤(pán)的模態(tài)；楊鳳紅等[8]建立兩自由度非光滑動(dòng)力學(xué)模型，研究制動(dòng)盤(pán)轉(zhuǎn)速對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為影響。

由于摩擦塊在制動(dòng)盤(pán)的相對(duì)位置隨時(shí)間變化，因此可以認(rèn)為制動(dòng)盤(pán)振動(dòng)是受到移動(dòng)載荷作用而產(chǎn)生的。YanmeniWayou等[9]通過(guò)模態(tài)分析方法，研究梁在移動(dòng)載荷下的橫向振動(dòng)響應(yīng)；李慧樂(lè)等[10]用有限元法，分析移動(dòng)荷載作用下，簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)的共振、消振機(jī)理；Chen等[11]采用多尺度法分析存在一定軸向速度的黏彈性梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。移動(dòng)載荷可能會(huì)激勵(lì)出系統(tǒng)的多階模態(tài)，而且模態(tài)的移動(dòng)對(duì)相互的作用有一定影響。通過(guò)特征根分析也可以得到各階模態(tài)的動(dòng)力學(xué)失穩(wěn)現(xiàn)象[12]。然而，采用移動(dòng)載荷法對(duì)制動(dòng)器摩擦動(dòng)力學(xué)的研究還不多。Li等[13]建立柔性制動(dòng)盤(pán)模型，研究移動(dòng)載荷下的制動(dòng)盤(pán)摩擦塊分離、再接觸問(wèn)題。

針對(duì)摩擦塊Stick-slip運(yùn)動(dòng)，接觸表面的變化將影響系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。文獻(xiàn)[14-15]的動(dòng)力學(xué)模型均考慮了接觸面的剛度特性；文獻(xiàn)[16]指出，接觸面的耦合剛度隨表面的變形和磨損，及制動(dòng)力大小的不同有所變化；文獻(xiàn)[17-18]也提出，接觸面變化對(duì)剛度和摩擦特性有影響。

目前，學(xué)者認(rèn)識(shí)到接觸面剛度的影響，但論文中仍缺少剛度變化對(duì)摩擦動(dòng)力學(xué)影響的定量分析。據(jù)此，本文考慮摩擦塊-制動(dòng)盤(pán)耦合結(jié)構(gòu)，研究接觸剛度比的不同導(dǎo)致的動(dòng)力學(xué)特性的變化，在數(shù)值計(jì)算中采用移動(dòng)載荷法模擬盤(pán)-塊的相互作用，分析摩擦塊與制動(dòng)盤(pán)接觸剛度比對(duì)制動(dòng)減速過(guò)程中的摩擦塊動(dòng)力失穩(wěn)的影響。研究中發(fā)現(xiàn)的非完全黏滯現(xiàn)象與李博等的研究類似。

1 系統(tǒng)模型

研究圖1中的摩擦塊-制動(dòng)盤(pán)耦合動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。本文參數(shù)如表1所示。

表1 參數(shù)及取值Tab.1 Parameters and values

將摩擦塊視為剛體，由牛頓定律推導(dǎo)其三個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)微分方程為

(1)

而制動(dòng)盤(pán)面外周向振動(dòng)方程為

(2)

圖1 摩擦塊-制動(dòng)盤(pán)耦合模型Fig.1 The model of pad-disc coupling system

(3)

式中：P，F(xiàn)分別為摩擦塊受到的壓力和摩擦力；Fc=(kt2X-αF)為制動(dòng)盤(pán)與摩擦塊接觸范圍的切向力合力。二者的相對(duì)位置實(shí)時(shí)變化且與速度Ω有關(guān)，可以寫(xiě)成σ=Ωt，V=RcΩ，Rc為摩擦合力作用點(diǎn)半徑，則摩擦盤(pán)外緣線速度為Vouter=Ωb，α=kt2/kt1為摩擦塊與制動(dòng)盤(pán)之間的接觸剛度比；αF為盤(pán)-塊摩擦力產(chǎn)生的表面切向約束力。

采用差分法對(duì)摩擦盤(pán)進(jìn)行求解，將接觸力進(jìn)行離散

(4)

式中：i為制動(dòng)盤(pán)徑向第i個(gè)節(jié)點(diǎn)；m為總節(jié)點(diǎn)數(shù)；j為周向第j個(gè)節(jié)點(diǎn)；n為總節(jié)點(diǎn)數(shù)。

引入無(wú)量綱變量

(5)

將式(1)和式(2)無(wú)量綱化，得到

(6)

摩擦力分為靜態(tài)摩擦力和動(dòng)態(tài)摩擦力。根據(jù)所研究問(wèn)題的不同，需要選擇合適的摩擦力模型，如庫(kù)倫摩擦、靜摩擦、Stribeck模型等。

Stribeck效應(yīng)是指在低速下摩擦因數(shù)先隨速度增加而減小，然后上升，出現(xiàn)負(fù)斜率摩擦現(xiàn)象?？紤]其Stribeck效應(yīng)的摩擦力因數(shù)可以表達(dá)為

μ(v)=μssgn(vr)-k1vr+k3vr3

(7)

式中：μ(v)為摩擦因數(shù)；μm為最小動(dòng)摩擦因數(shù)；μs為最大靜摩擦因數(shù)；vm為最小動(dòng)摩擦因數(shù)對(duì)應(yīng)速度；vr為相對(duì)速度；如圖2所示。

圖2 Stribeck效應(yīng)摩擦模型Fig.2 The model of Stribeck-type friction

圖3 移動(dòng)載荷分析Fig.3 Simulation of moving interactions

2 Hopf分岔

運(yùn)動(dòng)方程式(5)包含摩擦塊振動(dòng)常微分方程和制動(dòng)盤(pán)振動(dòng)偏微分方程。分別采用Runge-Kutta方法和有限差分法進(jìn)行數(shù)值模擬，用移動(dòng)載荷法處理其相互作用(壓力和摩擦力)。本文主要分析摩擦塊的水平運(yùn)動(dòng)。通過(guò)調(diào)節(jié)摩擦塊與制動(dòng)盤(pán)表面接觸剛度比α，計(jì)算得到制動(dòng)盤(pán)減速過(guò)程(稱為速度正向變化)中的分岔類型，分岔圖如圖4所示。由于考慮制動(dòng)盤(pán)在摩擦塊持續(xù)作用下的面外振動(dòng)，摩擦塊的平衡始終受到其影響，稱為相對(duì)平衡點(diǎn)。隨著速度減小至某個(gè)臨界速度(失穩(wěn)點(diǎn))，摩擦塊的穩(wěn)定相對(duì)平衡點(diǎn)失穩(wěn)，切向產(chǎn)生Hopf分岔。計(jì)算發(fā)現(xiàn)，盡管剛度比不同，在α=3.0～0.6，均產(chǎn)生超臨界Hopf分岔。

α=3.0時(shí)，臨界速度為2.94。摩擦塊切向運(yùn)動(dòng)快速變?yōu)檩^大幅值的穩(wěn)定極限環(huán)振動(dòng)，直至速度減小至Ω=2.62。在速度為2.94～2.62，極限環(huán)是純滑動(dòng)的。隨后，極限環(huán)幅值隨著速度繼續(xù)減小直至同時(shí)為零，在此期間的極限環(huán)包含了黏滯階段，且速度越低，黏滯過(guò)程越明顯。此外，圖5相軌跡顯示，摩擦塊的黏滯過(guò)程為非完全黏滯，即速度并非為定值，而是仍有一定幅度的抖動(dòng)，是造成摩擦高頻振動(dòng)的原因之一。

同樣地，α=1.0時(shí)的臨界速度為2.48，在Ω=2.48～2.18出現(xiàn)純滑動(dòng)；α=0.6時(shí)的臨界速度為1.83，在Ω=1.83～1.64出現(xiàn)純滑動(dòng)。因此，臨界轉(zhuǎn)速隨表面接觸剛度比降低而減小，純滑動(dòng)范圍也隨之減小。摩擦塊與制動(dòng)盤(pán)表面并非光滑，在表面受力變形時(shí)，兩者表面粗糙程度發(fā)生變化，剛度比反映表面變形時(shí)的相互約束情況，其比值與摩擦力項(xiàng)耦合，即α|F|。當(dāng)表面粗糙度改變時(shí)，α對(duì)摩擦力有放大或縮小的作用。選取摩擦材料時(shí)，為避免非完全黏滯伴隨的高頻振動(dòng)的出現(xiàn)，應(yīng)選取剛度比較小的摩擦材料。制動(dòng)器工作期間，盡量保持較低剛度比，即保證盤(pán)-塊間的材料剛度與表面粗糙度適當(dāng)，使得盤(pán)與塊的約束充分。

3 極限環(huán)的頻率特點(diǎn)

本節(jié)分析摩擦塊水平振動(dòng)極限環(huán)的頻率特點(diǎn)。在圖6、圖7的低速(Ω=1.0時(shí))的黏-滑振動(dòng)中，均可見(jiàn)切向振動(dòng)主導(dǎo)頻率的存在，且剛度比較大時(shí)，伴隨有多階頻率，頻率成分相對(duì)明顯。α=0.6(見(jiàn)圖6(b))時(shí)，低速主導(dǎo)頻率為0.333，高階頻率不明顯；α=1.0(見(jiàn)圖6(c))時(shí)，低速主導(dǎo)一階頻率為0.330，伴隨有0.661，0.992等倍頻，但高階幅值相對(duì)較??；α=3.0(見(jiàn)圖7(b))時(shí)，在頻率1以內(nèi)，主導(dǎo)一階頻率為0.308，并伴隨有0.618，0.926等倍頻成分。此時(shí)，表面的接觸作用較弱，出現(xiàn)非完全黏滯過(guò)程，伴隨有高階頻率成分。

圖4 不同剛度比時(shí)的摩擦塊切向分岔圖Fig.4 Pad’s tangential bifurcation diagrams at different stiffness ratios

圖5 不同轉(zhuǎn)速下摩擦塊切向相軌跡(α=3.0)Fig.5 Pad’s tangential phase portraits at different speeds(α=3.0)

通過(guò)以上分析，當(dāng)表面接觸剛度比較大時(shí)，非完全黏滯現(xiàn)象相對(duì)明顯。α=3.0時(shí)，摩擦塊切向位移隨時(shí)間變化的圖像呈現(xiàn)鋸齒狀，隨著剛度比的增大，時(shí)間歷程的曲線由圓滑逐漸變?yōu)殇忼X形。摩擦塊切向速度響應(yīng)(見(jiàn)圖7(c))中，黏滯部分出現(xiàn)抖動(dòng)?？梢钥闯?，在制動(dòng)盤(pán)轉(zhuǎn)速相同時(shí)，剛度比的增加使得摩擦塊切向速度隨時(shí)間變化的幅值增大。

圖6 不同剛度比摩擦塊切向時(shí)間歷程與頻譜Fig.6 Pad’s tangential time histories and spectrums at different stiffness ratios

圖7 摩擦塊切向響應(yīng)與頻譜(α=3.0)Fig.7 Pad’s tangential response and spectrum(α=3.0)

4 結(jié) 論

本文建立了摩擦塊-制動(dòng)盤(pán)系統(tǒng)的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型，考慮移動(dòng)載荷作用，應(yīng)用Runge-Kutta法和有限差分法進(jìn)行求解。研究表面接觸剛度比對(duì)其Hopf分岔的影響，并分析移動(dòng)摩擦塊的時(shí)域-頻域特性。結(jié)論如下：

(1)盤(pán)-塊表面接觸剛度比的不同導(dǎo)致摩擦塊切向幅值對(duì)轉(zhuǎn)速的Hopf分岔形式不同，且Hopf失穩(wěn)點(diǎn)隨剛度比的增加而增大；盤(pán)-塊表面接觸剛度比相對(duì)較大時(shí)，摩擦塊切向出現(xiàn)非完全黏滯現(xiàn)象。

(2)非完全黏滯發(fā)生時(shí)，伴隨有多階頻率；隨著剛度比的增加，摩擦塊切向振動(dòng)主導(dǎo)頻率降低，高階幅值變大。

(3)相同轉(zhuǎn)速下，非完全黏滯越明顯，速度和位移隨時(shí)間的振動(dòng)幅值越大。