齊志強

（中國空空導彈研究院，河南 洛陽 471009）

0 引言

衛(wèi)星導航定位系統(tǒng)目前已廣泛應用于精確制導武器系統(tǒng)和其他需要導航定位的平臺上，如飛機、船舶、車輛等。衛(wèi)星導航定位系統(tǒng)采用擴頻技術(shù)，到達地面的信號強度比白噪聲低20 dB左右，工作頻率固定，很容易遭到敵方的壓制干擾而導致無法正常工作［1］，因此，抗干擾能力成了制約衛(wèi)星導航定位系統(tǒng)應用的瓶頸［2］。為了滿足在復雜電磁環(huán)境下的應用需求，軍用衛(wèi)星導航定位產(chǎn)品多采用陣列處理天線來提高抗干擾能力［3］。

目前采用陣列信號處理來進行衛(wèi)星定位系統(tǒng)的抗干擾處理算法主要有兩大類:一類是閉環(huán)算法，另一類是開環(huán)算法。常用的閉環(huán)算法以LMS算法為典型代表，該算法實現(xiàn)簡單，計算量小，因而成為美軍早期采用的主要的抗干擾算法。但該算法的收斂速度與其輸出協(xié)方差矩陣的特征值分布相關(guān)，其收斂速度隨著干擾信號強度和干擾信號的類型變化而變化，當特征值散布較大時，收斂速度慢［4］，特別是在動態(tài)載體上難以收斂到最優(yōu)值。開環(huán)算法的收斂速度快，被認為是實現(xiàn)自適應抗干擾處理的最優(yōu)算法［5］，已成為國內(nèi)外研究的熱點方向。開環(huán)算法主要有多級維納濾波MSNWF（Multistage Nested Wiener Filter）和 SMI（Sample Matrix Inversion）算法［6-7］，MSNWF算法雖然具有良好的降秩性能，但降秩處理會影響陣列自由度，使干擾抑制性能下降［8］，而且MSNWF算法包含前向迭代和后向迭代，當振元數(shù)目過多時，計算量迅速增加，難以滿足實時性的要求［9］。傳統(tǒng)的SMI算法需要進行矩陣求逆運算，硬件系統(tǒng)復雜［10］，實現(xiàn)困難［11］，為解決此問題，通常用矩陣分解的方式來實現(xiàn)。本文主要闡述基于Cholesky分解的自適應抗干擾算法應用研究。

1 自適應抗干擾算法

衛(wèi)星導航定位系統(tǒng)由于接收到的信號比較弱，湮沒在白噪聲中，而干擾信號比較強，常用的抗干擾算法主要有自適應調(diào)零和自適應波束形成技術(shù)，自適應波束形成技術(shù)被認為是干擾抑制最有效的工具之一［12］。文獻［12］推導的自適應波束形成算法最終需要求得的權(quán)值表達式為:

式（1）中，a（θd）為陣列在 θd方向的陣列響應，R 為輸入信號的協(xié)方差矩陣，a（θd）和 R 的求解在文獻［12］中已有詳細的推導，這里不再重復。從式（1）中易見，權(quán)值求解的關(guān)鍵在于求得協(xié)方差矩陣R的逆矩陣。

2 矩陣求逆的方法

自適應抗干擾算法的主要運算，最終歸結(jié)為對輸入信號的協(xié)方差矩陣求逆問題。矩陣求逆的方法較多，而矩陣求逆方法的選擇不僅關(guān)系硬件資源的占用量，還關(guān)系著權(quán)值的更新速度。因此，對于硬件平臺來說，由于硬件資源有限，需要找到一種既耗費資源少，又可以快速完成矩陣求逆的方法。

矩陣求逆最基本的方法是Gauss消元法，但該方法計算步驟繁多，運算量大，不適合硬件實現(xiàn)。硬件實現(xiàn)時通常采用矩陣分解的方法，將矩陣轉(zhuǎn)換為特殊矩陣，從而簡化運算。矩陣分解常用的方法有LU 分解［13］，QR 分解，Cholesky分解等方法，LU 分解結(jié)果不唯一；QR分解需要將矩陣分解為一個正交矩陣和一個上三角矩陣，并且需要求平方和開根號，步驟繁多，利用硬件實現(xiàn)比較困難［14］；Cholesky分解需要用到開方和除法，不太適合FPGA實現(xiàn)，但近年來隨著FPGA的規(guī)模越來越大，用FPGA來完成Cholesky變換，資源問題已不再成為問題的瓶頸［15-16］，因此，本文擬采用Cholesky分解來實現(xiàn)權(quán)值求解。

3 Cholesky分解求權(quán)值方法

R是秩為n的赫米特矩陣，利用Cholesky分解可求得下三角矩陣G，使R=GGH。

矩陣R可以寫作如下形式:

則存在下三角矩陣:

由式（3）可知，要得到矩陣G，需要分3步走:

第3步:求解矩陣G1。令，則有，G1為下三角矩陣，顯然，矩陣G1的求解過程和矩陣G的求解過程相同，先算出矩陣R1，然后采用相同的方法即可逐步求出矩陣G1中的全部元素。

將式（4）兩邊同乘以 R，并將R=GGH帶入，可得:

式（5）中 a（θd）為 n×1 的列向量，G 為 n×n 的下三角矩陣，令，則T為n×1的列向量，式（5）可以寫為:

式（6）可以用Gauss消元法求得T，以n=4為例，式（6）可以寫為:

由式（7）可求得 T，

4 FPGA實現(xiàn)

用FPGA實現(xiàn)Cholesky分解求權(quán)值，需要3個功能模塊，如圖1所示:

圖1 Cholesky分解求權(quán)值模塊結(jié)構(gòu)圖

控制模塊負責協(xié)方差矩陣R和導向矢量a（θd）的調(diào)取，協(xié)調(diào)Cholesky分解模塊和Gauss消元模塊的數(shù)據(jù)進出及時序控制，并將最終求得的權(quán)值輸出。

Cholesky分解模塊完成對協(xié)方差矩陣R的分解，求出下三角矩陣G。由上面的介紹可知，Cholesky分解由3個計算單元組成:第1個計算單元進行開方運算，求出矩陣G的第1個元素，；第 2個計算單元求出矩陣G的第1列其他元素，；第3個計算單元更新下三角矩陣中的其他元素，即求出。由于下三角矩陣G1為n-1維矩陣，因此，上述3個計算單元可在控制模塊作用下重復利用，最終完成下三角矩陣G的求解。

Gauss消元模塊只需要一個計算模塊即可完成兩次Gauss消元的全部運算，以4振元為例，只需完成計算模塊，當計算t1時，控制模塊將a1賦給a4，將G11賦給G44，其他元素賦0即可，在控制模塊作用下，依次算出 t1，t2，…，t4。

上述計算過程多是順序執(zhí)行，需要幾百個時鐘周期才可以完成一次權(quán)值更新，但協(xié)方差矩陣也是需要多個時鐘周期的樣本數(shù)據(jù)才可求得［12］，即使1 000個時鐘周期更新一次權(quán)值，以系統(tǒng)時鐘62 MHz為例，更新周期也只有16 μs，足以滿足高動態(tài)條件下的權(quán)值更新要求。

表1列出了幾種常用自適應抗干擾算法的比較情況，其中M代表陣列的維數(shù)，D表示MSNWF降秩后的維數(shù)。

表1 幾種常用自適應抗干擾算法的比較

從表1可以看出，SMI算法性能最優(yōu)，但計算復雜度也最高，因為該算法需要開方和除法運算，這也是很多人望而卻步的原因。本文所述方法由于可以實現(xiàn)資源復用，僅需要1個開方模塊和1個除法模塊，乘法器也可以復用，cholesky分解所需乘法器數(shù)量僅和LMS算法相當，因此，該算法對資源的需求并不是特別大，完全可以用FPGA來實現(xiàn)。

5 結(jié)論

本文所述的基于Cholesky分解的自適應抗干擾算法巧妙地回避了矩陣求逆運算，大幅度降低了運算復雜度，掃除了利用FPGA實現(xiàn)的障礙。按照文獻［12］所述方法，已在工程上實現(xiàn)，其抗干擾效果可達80 dB以上，特別是在高動態(tài)載體上，依然可以獲得優(yōu)異的抗干擾性能。該方法不但可以應用于空域抗干擾技術(shù)，也適用于空時抗干擾算法，應用前景廣泛。當載體姿態(tài)不易獲知時，可以將導向矢量a（θd）設(shè)為固定值，以4振元為例，當時為常用的功率倒置算法［17］，時則為Capon空域自適應抗干擾方法，當時為空時聯(lián)合抗干擾方法［18］。