附加先驗概率條件下的最佳先驗概率選取

代 振，王平波，衛(wèi)紅凱

（海軍工程大學(xué)電子工程學(xué)院，武漢 430033）

0 引言

貝葉斯準則是進行假設(shè)檢驗的通用準則，在代價因子和先驗概率已知的情況下，基于貝葉斯準則確定檢測門限可以使判決付出的平均代價最小［1-3］。當先驗概率未知時，不能直接使用貝葉斯準則進行判決，此時通常采用貝葉斯準則的派生準則-極大極小準則。極大極小準則是在所有可能的先驗概率中選擇最不利的先驗概率來確定檢測門限，其判決代價與真實先驗概率無關(guān)，從而避免了由于先驗概率未知可能導(dǎo)致的極大的判決代價［4］。但是，當真實的先驗概率與最不利先驗概率相差較大時，采用極大極小準則的判決代價遠大于貝葉斯準則下的判決代價。實際情況中，即使無法確定真實的先驗概率，但是可以根據(jù)一定條件大致估計出先驗概率的區(qū)間范圍。例如，在雷達觀測中，敵機出現(xiàn)或不出現(xiàn)的先驗概率是很難確定的，但是可以根據(jù)雷達的工作環(huán)境，從統(tǒng)計的方法給出敵機出現(xiàn)的先驗概率區(qū)間［5］，稱之為附加先驗概率條件。

本文對附加先驗概率條件下的二元假設(shè)檢驗問題進行研究，提出了在不同先驗概率條件下最佳先驗概率的選擇方法。根據(jù)最佳先驗概率確定檢測門限，可以有效降低判決代價。

1 貝葉斯準則下的二元假設(shè)檢驗

對二元假設(shè)Hj（j=0，1）進行檢驗時，判決代價為

式中，P（Hj）表示Hj出現(xiàn)的先驗概率，P（Hi/Hj）、Cij分別為Hj為真時判決Hi成立的概率和代價因子。

記Hi的判決域為Ri（i=0，1），則

式中，f（z/Hj）為假設(shè)Hj（j=0，1）下的條件概率密度，又稱似然函數(shù)。

當代價因子Cij已知時，對于給定的先驗概率P（H1）=p1，采用貝葉斯準則劃分判決域，可使判決代價最小。判別表達式為

Λ（z）為似然比，η0為判決門限，當似然比大于門限時判H1成立，否則判H0成立。

記對應(yīng)于先驗概率p1的最小判決代價為Cmin（p1），因為P（H0）=1-p1，又P（H1/H0）=PF，P（H0/H1）=PM，P（H0/H0）=1-PF，P（H1/H1）=1-PM，帶入式（1），可得

式中，PF和PM均是p1的函數(shù)，表達式如下

2 最佳先驗概率選取

如果代價因子Cij已知，并假設(shè)先驗概率，由于p1未知，不能直接利用貝葉斯準則進行判決。此時可以假定一個先驗概率，并用其計算檢測門限，將判決代價記為 C（p1g，p1），其表達式如下

顯然 C（p1g，p1）與 p1是線性關(guān)系，且 C（p1g，p1）≥Cmin（p1），當且僅當p1g=p1時取等號。又Cmin（p1）是先驗概率p1的上凸函數(shù)［6］，所以C（p1g，p1）與Cmin（p1）在點p1g處相切，如圖1所示。從圖1可以看出，p1g與真實的先驗概率P1相差越大，C（p1g，p1）與Cmin（p1）相差就越大（如點p1b處）。因此，希望找到一個最佳先驗概率p0∈［p1a，p1b］，使得C（p0，p1）逼近Cmin（p1）。

圖1 判決代價隨先驗概率P1變化的曲線

2.1 極大極小準則下的最佳先驗概率

極大極小準則是指在先驗概率區(qū)間［p1a，p1b］內(nèi)，選取最佳先驗概率p0，使得最大判決代價Cmax（p0）取得最小，其表達式如下

記Cmin（p1）取最大值Cminmax時的先驗概率為p1*，顯然，C（p1*，p1）是一條平行于 x 軸的直線，如圖2所示。此時，C（p1*，p1）恒等于 Cminmax，與先驗概率無關(guān)，可以保證最大判決代價最小，故p1*就是極大極小準則下的最佳先驗概率。為求出 p1*，令 C（p0，p1）的斜率為零，即

由式（8）即可解得 p1*，式（8）又稱為極大極小方程。

圖2 判決代價隨最佳先驗概率p1變化的曲線

2.2 最小二乘意義下的最佳先驗概率

極大極小準則雖然可以使極大判決代價極小化，但是當真實的先驗概率p1與p1*相差較大時（如圖2點p1a處），Cminmax會遠大于Cmin（p1）。為解決這個問題，可以采用最小二乘法。最小二乘是指在先驗概率區(qū)間［p1a，p1b］內(nèi)，選取最佳先驗概率 p0，使得e（p0）最小，其表達式如下

3 算例仿真

以高斯白噪聲中恒定電平檢測問題為例進行仿真分析。設(shè)有兩種假設(shè)

式中，vi是均值為零，方差為a的高斯白噪聲序列，N表示觀察次數(shù)，A為大于零的常數(shù)。

不同假設(shè)下的似然函數(shù)分別為：

假設(shè)先驗概率為 p1，令 C00=C11=0，C01=2，C10=1，則貝葉斯判決表達式為

化簡可得

將式（13）帶入式（4）、式（5）可得

根據(jù)極大極小方程，可得

由式（15）解得p1*后，不妨取，并記可以看作信噪比。此時，極大極小準則下的最佳先驗概率為p1*，最小二乘意義下的最佳先驗概率為p1*/2，分別取最佳先驗概率為p1*和p1*/2進行仿真，結(jié)果如圖3、圖4所示。

從圖3（a）可以看出，不同信噪比下的判決代價誤差 e（p1*/2）始終小于 e（p1*），并且當信噪比 d＜1時，e（p1*/2）遠小于 e（p1*）。此外，e（p1*/2）始終接近于零，表明C（pp1*/2，p1）對Cmi（np1）的逼近程度較高。從圖3（b）可以看出，不同信噪比下的最大判決代價Cmin（p1*）始終比Cmax（p1*/2）小，符合極大極小準則的判斷，但是二者差距并不突出，這說明當時，最佳先驗概率應(yīng)該選擇p1*/2。

圖4進一步給出了d=0.3以及d=1時的判決代價曲線。從圖4可以直觀地看出，Cminmax與先驗概率無關(guān)，但在較低的先驗概率處，其值遠大于Cmi（np1）。而則與Cmi（np1）較為接近，尤其是在信噪比較低時，與Cm（inp1）基本重合。

圖3 不同信噪比下的判決代價誤差與最大判決代價，p1∈［0，p1*）

圖4 不同信噪比下判決代價曲線，p1∈［0，p1*）

4 結(jié)論

對二元假設(shè)檢驗問題進行了研究，在附加先驗概率條件下，提出了最小二乘意義下的最佳先驗概率，將其與基于極大極小準則確定的最佳先驗概率進行綜合比較，給出了任意附加先驗概率條件下的最佳先驗概率選擇方法。仿真結(jié)果表明，根據(jù)最佳先驗概率確定檢測門限，在先驗概率未知時可以有效降低判決代價。