白祥福

【摘 要】初等數(shù)學(xué)中反函數(shù)的概念既重要但又不容易深入理解掌握，部分同學(xué)更是一知半解。這往往影響對函數(shù)及相關(guān)知識(shí)的深入學(xué)習(xí)。在此結(jié)合以下一些具體例子或命題，采用對比和聯(lián)系的方法，再談?wù)劮春瘮?shù)。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；反函數(shù)；單調(diào)函數(shù)；一一對應(yīng)；奇偶函數(shù)

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1671-8437（2019）04-0105-01

1 反函數(shù)的基本知識(shí)

1.1 反函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)，它的定義域?yàn)镈，值域?yàn)镸，如果對于值域M中的任意一個(gè)值，都能由確定D中唯一的值與它對應(yīng)，由此得到以為自變量的函數(shù)叫做的反函數(shù)，記作。在習(xí)慣上，自變量用表示，函數(shù)值用表示，所以又將它改寫為。

1.2 反函數(shù)的一些性質(zhì)或結(jié)論

（1）互為反函數(shù)，即；

（2）的定義域D和值域M分別是其反函數(shù)的值域和定義域，通俗的說就是“交換了”；

（3）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱；

（4）并非所有的函數(shù)都有反函數(shù)，函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是：函數(shù)的定義域與值域是一一對應(yīng)；簡單來講：一一對應(yīng)就能確定反函數(shù)。

（5）分段函數(shù)的反函數(shù)的求法：逐段求出每段的反函數(shù)及反函數(shù)的定義域，再合成分段函數(shù)。

2 關(guān)于反函數(shù)，再作如下討論

（1）函數(shù)沒有反函數(shù)。函數(shù)

有反函數(shù).

說明：函數(shù)滿足一一對應(yīng)，有反函數(shù)。

（2）函數(shù)有反函數(shù)

函數(shù)有反函數(shù)。

說明：某些周期函數(shù)，在不同的范圍內(nèi)，只要一一對應(yīng)，都有反函數(shù)，但其反函數(shù)的解析式不同。

（3）以下幾個(gè)函數(shù)，函數(shù)及函數(shù)等都有相同的反函數(shù)，

且其解析式都是

說明：一些函數(shù)（主要是周期函數(shù)）雖然不同，但它們可以有相同的反函數(shù)。

（4）單調(diào)函數(shù)一定有反函數(shù)，但不能說有反函數(shù)的函數(shù)一定單調(diào)。

如有反函數(shù)，但函數(shù)不單調(diào)（讀者思考）

說明：單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)也是單調(diào)函數(shù)，且它們同增同減；如果初等函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)的，就有反函數(shù)；只要函數(shù)在定義域的不同區(qū)間內(nèi)是單值對應(yīng)的（不一定是單調(diào)），就有反函數(shù)（這些請讀者思考）

（5）設(shè)函數(shù)有反函數(shù)那么

1）在上成立；

2）在上成立；

3）在上成立。

例子：則反函數(shù)為可驗(yàn)證。

說明：若函數(shù)有反函數(shù)，則其滿足置換對稱性。

（6）如果是奇函數(shù)，則其反函數(shù)也是奇函數(shù)；但與其反函數(shù)不能都是偶函數(shù)。讀者可舉簡單例子驗(yàn)證。

（7）若函數(shù)的圖像與它的反函數(shù)的圖像有交點(diǎn)，但交點(diǎn)不一定在直線上。

如函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，且它們的圖像有無數(shù)多個(gè)交點(diǎn)，但這些交點(diǎn)都不在上。另一方面，若函數(shù)的圖像與有交點(diǎn)，則這些交點(diǎn)也都是其反函數(shù)的圖像與直線的

交點(diǎn)。以上討論，讀者都可以再舉一些簡單例子加以理解，從而加深對反函數(shù)知識(shí)的全面深入的掌握，為反函數(shù)及其在其它方面的應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。