龍 譚 ，王時(shí)龍 ，任 磊 ，楊 勇

（1.重慶大學(xué)，機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044；2.重慶機(jī)床集團(tuán)有限責(zé)任公司，重慶400055）

0 引言

滾齒加工是一種生產(chǎn)效率高、應(yīng)用廣的齒形加工方法[1]。滾刀軸、電子齒輪箱和工作臺(tái)構(gòu)成滾齒機(jī)傳動(dòng)鏈，是滾齒機(jī)的關(guān)鍵核心部件。滾齒機(jī)傳動(dòng)鏈誤差不僅會(huì)引起工件齒輪的螺距誤差、齒廓誤差和工件螺旋誤差，還會(huì)誘導(dǎo)滾齒機(jī)的振動(dòng)和噪聲[2]。準(zhǔn)確測量傳動(dòng)鏈誤差，對(duì)通過傳動(dòng)鏈誤差準(zhǔn)確分析機(jī)床傳動(dòng)鏈性能以及傳動(dòng)鏈誤差精確補(bǔ)償具有十分重要的意義。

基于編碼器和圓光柵廣泛用于滾齒機(jī)床傳動(dòng)鏈誤差的測量[3-6]，離散角度采樣的方法適合于使用編碼器測量旋轉(zhuǎn)機(jī)械中多路信號(hào)的情況[7]；Palermo等人[8]討論了使用低成本數(shù)字編碼器來測量高速傳動(dòng)系統(tǒng)的方法；Zhou等人[9]和Zhao等人[10-11]利用機(jī)床內(nèi)置編碼器采集機(jī)床傳動(dòng)鏈的傳動(dòng)誤差信號(hào)，用于確定傳動(dòng)鏈中的故障源；Brecher等人[12]測量齒輪組傳動(dòng)誤差和噪聲情況以研究齒輪組的傳動(dòng)誤差與齒輪箱在其應(yīng)用中的噪聲特性之間的相關(guān)性；彭等人[13]和李等人[14]利用FMT系統(tǒng)對(duì)滾齒機(jī)進(jìn)行傳動(dòng)誤差測量，并通過修正傳動(dòng)齒輪。通過傳動(dòng)鏈誤差準(zhǔn)確分析機(jī)床傳動(dòng)鏈性能以及傳動(dòng)鏈誤差精確補(bǔ)償?shù)那疤釣閭鲃?dòng)鏈誤差的精確測量。

為保證測量的精確性，Du等人[15]研究了包含齒輪的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的編碼器測量誤差，并提出一種減少編碼器誤差的方法；Li等[16]基于阿貝原則分析了轉(zhuǎn)臺(tái)傾斜運(yùn)動(dòng)誤差和徑向運(yùn)動(dòng)誤差引起的圓光柵角位移測量誤差及其對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)定位精度的影響規(guī)律；Lopez等人[17]分析了振動(dòng)對(duì)和讀數(shù)頭的擺動(dòng)引起的編碼器測量誤差，并基于對(duì)惡化的測量信號(hào)的利薩如圖的擬合技術(shù)提高傳感器精度。除上述方法外，雷尼紹海德漢等廠商推出了多讀數(shù)頭的圓光柵以消除測量誤差，但成本高昂且安裝不便。針對(duì)基于單讀數(shù)頭圓光柵的傳動(dòng)鏈誤差測量系統(tǒng)的測量誤差分析及消除技術(shù)亟待研究。

本文考慮圓光柵的制造誤差和裝配誤差，分析傳動(dòng)鏈誤差測量平臺(tái)的測量誤差；基于測量誤差相位特性提出了一種新的修正測量系統(tǒng)誤差的方法，通過兩次不同安裝位置下的測量數(shù)據(jù)計(jì)算并消除測量誤差；基于YDA1132型滾齒機(jī)的實(shí)驗(yàn)表明該方法能準(zhǔn)確計(jì)算并消除測量誤差，同時(shí)流程簡單成本低。

1 測量誤差分析及辨識(shí)原理

1.1 傳動(dòng)鏈誤差測量方案

滾齒機(jī)傳動(dòng)鏈包括滾刀軸電機(jī)、滾刀箱、電子齒輪箱、工作臺(tái)電機(jī)以及工作臺(tái)傳動(dòng)裝置。傳動(dòng)鏈誤差即為由傳動(dòng)副傳動(dòng)誤差和伺服控制誤差引起的工作臺(tái)和滾刀軸間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)誤差，如式（1）所示。

式中，eT為傳動(dòng)鏈誤差；φC為工作臺(tái)轉(zhuǎn)角；φB為滾刀軸轉(zhuǎn)角；α為工作臺(tái)與滾刀轉(zhuǎn)速比。

如圖1所示，工作臺(tái)與滾刀軸末端分別安裝高精度圓光柵，同步采集滾刀軸和工作臺(tái)的角位置，計(jì)算傳動(dòng)鏈誤差。主要設(shè)備詳細(xì)參數(shù)如表1所示。

圖1 傳動(dòng)鏈誤差測量平臺(tái)

表1 主要實(shí)驗(yàn)設(shè)備參數(shù)表

為明確傳動(dòng)鏈誤差沿工作臺(tái)的空間分布情況，首先測量圓光柵參考點(diǎn)相對(duì)機(jī)床工作臺(tái)原點(diǎn)的相位差，并從第一次檢測到圓光柵的參考點(diǎn)開始進(jìn)入計(jì)數(shù)程序；計(jì)數(shù)程序以圓光柵-C產(chǎn)生的TTL信號(hào)的下降沿為觸發(fā)信號(hào)，將2路編碼信號(hào)的計(jì)數(shù)值寫入FIFO結(jié)構(gòu)，主程序讀取FIFO中的計(jì)數(shù)值計(jì)算再該點(diǎn)處的傳動(dòng)鏈誤差。

1.2 測量誤差分析

圓光柵的刻線在制造過程中無法保證完全均勻，且在安裝過程中刻線與讀數(shù)頭之間存在相對(duì)位姿誤差。因此，圓光柵測量角位移時(shí)存在與讀數(shù)頭位置相關(guān)的測量誤差誤差。圓光柵誤差對(duì)傳動(dòng)誤差的作用為：

式中△為圓光柵測量誤差對(duì)傳動(dòng)鏈誤差測量值的貢獻(xiàn)量；i為圓光柵與工作臺(tái)轉(zhuǎn)速比；em為圓光柵誤差。

滾刀軸的圓光柵與工作臺(tái)轉(zhuǎn)速比通常較高，而工作臺(tái)的圓光柵與工作臺(tái)轉(zhuǎn)速比為1。因此，傳動(dòng)鏈誤差測量系統(tǒng)的誤差主要由工作臺(tái)編碼器引起，而滾刀軸的圓光柵的誤差的影響可忽略不計(jì)。

刻線沿圓光柵鋼轂周向分布，讀數(shù)頭檢測掃過的刻線。如圖2所示，過渡盤與工作臺(tái)固聯(lián)，鋼轂托架與過渡盤通過錐面連接，圓光柵鋼轂與鋼轂托架通過錐面連接，讀數(shù)頭與機(jī)架固聯(lián)。為保證圓光柵安裝精度，安裝時(shí)取過渡盤的錐面在P和Q截面的跳動(dòng)盡量小。此時(shí)，可近似認(rèn)為圓光柵的位姿誤差取決于兩組錐面配合的誤差。

圖2 工作臺(tái)圓光柵安裝示意圖

如圖 3（a）和圖 3（b）所示，圓光柵旋轉(zhuǎn)到該位置時(shí)，理想狀態(tài)下讀數(shù)頭檢測到M處的刻線；位姿誤差導(dǎo)致讀數(shù)頭檢測到M′處的刻線。安裝導(dǎo)致的測量誤差為二者之間的繞Z軸的偏轉(zhuǎn)誤差。誤差量相對(duì)圓光柵尺寸很小，因此繞Z軸的偏轉(zhuǎn)誤差近似為：

其中位姿誤差中X方向的偏差和繞Y軸最易引起繞Z軸的偏轉(zhuǎn)誤差，由圖3（b）有

圖3 工作臺(tái)圓光柵安裝誤差

圓光柵相對(duì)過渡盤的位姿誤差是固定的，圓光柵隨工作臺(tái)旋轉(zhuǎn)時(shí)，圓光柵鋼轂相對(duì)讀數(shù)頭的位姿誤差周期性地變化，如式。因此，圓光柵安裝誤差導(dǎo)致的測量誤差將沿工作臺(tái)的一周分布，且主要為1次諧波，如式：

保證過渡盤不動(dòng)，若鋼轂托架和讀數(shù)頭轉(zhuǎn)動(dòng)相同角度β，則有

刻線沿圓光柵鋼轂周向分布，因此刻線制造誤差對(duì)測量誤差的貢獻(xiàn)值的周期與圓光柵鋼轂旋轉(zhuǎn)周期一致。若讀數(shù)頭相對(duì)工作臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)β，則圓光柵的參考點(diǎn)相對(duì)機(jī)床工作臺(tái)發(fā)生β相位移動(dòng)，且前后兩次測量中刻線誤差導(dǎo)致的測量誤差的關(guān)系為：

式中，ξ為第一次測量中刻線誤差導(dǎo)致的測量誤差；ξ′為第二次測量中刻線誤差導(dǎo)致的測量誤差。

測量誤差為工作臺(tái)圓光柵的制造誤差和安裝誤差綜合表現(xiàn)，即：

式中，ψ為測量誤差。

綜上所述，機(jī)床傳動(dòng)鏈誤差決定于機(jī)床幾何結(jié)構(gòu)和機(jī)床軸轉(zhuǎn)速；測量誤差決定于圓光柵鋼轂的安裝誤差和光柵刻線的制造誤差，且主要包含1次諧波。因此，改變讀數(shù)頭和圓光柵鋼轂托架，傳動(dòng)鏈誤差沒有發(fā)生變化，但測量誤差相對(duì)工作臺(tái)發(fā)生相位改變，則

1.3 測量誤差辨識(shí)方法

如圖4所示，機(jī)床工作臺(tái)參考原點(diǎn)為M；第一次測量的圓光柵讀數(shù)頭的位置為E1，與工作臺(tái)原點(diǎn)間隔α1；第二次測量的圓光柵讀數(shù)頭位置為E2，與工作臺(tái)原點(diǎn)間隔α2。第一次和第二次傳動(dòng)鏈誤差的測量值，如式：

圖4 兩次測量的參考點(diǎn)位置

滾齒機(jī)傳動(dòng)鏈誤差包括多級(jí)傳動(dòng)副的傳動(dòng)誤差和滾刀軸、工作臺(tái)編碼器的測量誤差，可表示為

式中，Alk為l齒輪（或編碼器）的k次諧波的幅值；φlk為l齒輪（或編碼器）的k次諧波的初相位；ilc為l齒輪（或編碼器）與工作臺(tái)的轉(zhuǎn)速比。

由式（12）可知，滾齒機(jī)床傳動(dòng)鏈誤差中存在多種諧波。同時(shí)，圓光柵的測量誤差對(duì)傳動(dòng)鏈誤差中2次以上諧波影響很小。為避免隨機(jī)誤差等的影響，提高測量誤差的計(jì)算精度，采用DFT和IDFT對(duì)傳動(dòng)鏈誤差測量數(shù)據(jù)濾波，僅保留1次諧波，式（5）為1次諧波的復(fù)數(shù)域表達(dá)。

第一次和第二次傳動(dòng)誤差測量值的差值1階諧波的復(fù)數(shù)域表達(dá)為

式中Ψ為測量誤差復(fù)數(shù)域表達(dá)。

即有測量誤差為

進(jìn)而由離散傅里葉逆變換得到測量誤差，則傳動(dòng)鏈誤差的真實(shí)值為：

2 實(shí)驗(yàn)

2.1 實(shí)驗(yàn)原理

如圖5所示，實(shí)驗(yàn)分為兩部分，其一為兩次測量工作臺(tái)定位誤差，以激光干涉儀測定的數(shù)據(jù)為準(zhǔn)，圓光柵-C的測量誤差即為兩次定位誤差的差值，作為參照組；其二為兩次測量機(jī)床傳動(dòng)鏈誤差，通過本文方法計(jì)算測量誤差，與參照組所得測量誤差形成對(duì)比。

圖5 實(shí)驗(yàn)原理圖

實(shí)驗(yàn)對(duì)象為YDA3132型滾齒機(jī)，在測量傳動(dòng)鏈誤差時(shí)，為形成對(duì)照，設(shè)定滾刀軸轉(zhuǎn)速為50 r/min，滾刀頭數(shù)為2，工件齒數(shù)為44，則滾刀軸與工作臺(tái)轉(zhuǎn)速比為44∶2。此時(shí)工作臺(tái)轉(zhuǎn)速為0.83 r/min，因此認(rèn)為圓光柵-C測量定位誤差時(shí)的測量誤差和測量傳動(dòng)鏈誤差時(shí)的測量誤差是一致的。

2.2 實(shí)驗(yàn)流程

1）安裝滾刀軸圓光柵和工作臺(tái)圓光柵，安裝時(shí)，工作臺(tái)過渡盤的錐面選擇兩個(gè)水平面，緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)工作臺(tái)，控制這兩個(gè)截面上跳動(dòng)小于1μm；

2）激光干涉儀測量機(jī)床工作臺(tái)定位誤差；

3）測量圓光柵-C參考點(diǎn)與機(jī)床工作臺(tái)原點(diǎn)的相位差，第一次測量傳動(dòng)鏈誤差；

4）工作臺(tái)圓光柵測量機(jī)床工作臺(tái)定位誤差；

5）保持過渡盤不動(dòng)，旋轉(zhuǎn)鋼轂托架和讀數(shù)頭，旋轉(zhuǎn)角度接近180°；

6）測量圓光柵-C參考點(diǎn)與機(jī)床工作臺(tái)原點(diǎn)的相位差，第二次測量傳動(dòng)鏈誤差。

3 結(jié)果與分析

如圖6（a）所示，滾齒機(jī)床傳動(dòng)鏈誤差的第一次測量結(jié)果和第二次測量結(jié)果對(duì)比，其大周期誤差明顯存在相位差，即滾齒機(jī)傳動(dòng)鏈誤差測量值含有測量平臺(tái)的測量誤差，且測量誤差明顯影響了傳動(dòng)鏈誤差測量的準(zhǔn)確性。

如圖6（b）所示，第一次和第二次傳動(dòng)鏈誤差測量值的離散傅里葉變換的1階分量幅值分別為13 arcsec和10 arcsec，二者存在明顯差異，但2階以上分量基本重合，其中包括與滾刀軸相關(guān)的頻率為22的譜線。結(jié)果印證了傳動(dòng)鏈誤差檢測平臺(tái)中來自于工作臺(tái)圓光柵的測量誤差主要為1次諧波誤差，滾刀軸圓光柵的測量誤差對(duì)傳動(dòng)鏈誤差的影響很小。因此，對(duì)傳動(dòng)鏈誤差測量數(shù)據(jù)采用傅里葉變換和傅里葉逆變換濾出1階諧波，再計(jì)算測量誤差能夠表征大部分的測量誤差且能減小數(shù)據(jù)中隨機(jī)成分對(duì)計(jì)算的影響。

圖6 滾齒機(jī)傳動(dòng)鏈誤差兩次測量值

如圖7所示，圓光柵-C測定的工作臺(tái)定位誤差相比于激光干涉儀測定的工作臺(tái)定位誤差，波峰出現(xiàn)的位置更靠后、峰峰值更小。即該實(shí)驗(yàn)中測量誤差使工作臺(tái)定位誤差測量值比工作臺(tái)定位誤差真實(shí)值更大，且發(fā)生了一定的相位移動(dòng)，與分析結(jié)果相符合。

圖7 兩次工作臺(tái)定位誤差結(jié)果

如圖8所示，菱形標(biāo)記實(shí)線為圓光柵-C測定的工作臺(tái)定位誤差與激光干涉儀測定的工作臺(tái)定位誤差的差值，虛線為其1階諧波擬合曲線，其擬合曲線幅值為5.8 arcsec，相位為2.72；無標(biāo)記實(shí)線為由兩次傳動(dòng)鏈誤差測量值計(jì)算得到的圓光柵-C的測量誤差，幅值為5.5 arcsec，相位為2.71。在1階頻率上，測量誤差修正方法計(jì)算所得測量誤差與兩次定位誤差比較所得測量誤差，差值僅為0.3 arcsec，同時(shí)受工作臺(tái)的重復(fù)定位精度影響，兩次定位誤差的差值在2階以上還存在小幅波動(dòng)。

圖8 兩組測量誤差對(duì)比

鑒于激光干涉儀的測量精度較高（回轉(zhuǎn)軸定位測量的分辨率為0.01 arcsec），因此以激光干涉儀的測量數(shù)據(jù)為準(zhǔn)，兩次定位誤差的差值作為圓光柵-C的測量誤差的標(biāo)準(zhǔn)。因此通過對(duì)比兩組實(shí)驗(yàn)所得的測量誤差，證明本文提出的測量誤差辨識(shí)方法能夠有效辨識(shí)出傳動(dòng)鏈誤差測試平臺(tái)的測量誤差。

根據(jù)辨識(shí)得到的測量誤差分別對(duì)兩次測量數(shù)據(jù)進(jìn)行修正，得到圖9所示第一次傳動(dòng)鏈誤差測量值、第二次傳動(dòng)鏈誤差測量值的修正后的曲線。二者的大周期誤差整體趨勢一致，印證了修正方法的有效性。

圖9 修正后的滾齒機(jī)傳動(dòng)鏈誤差測量值

5 結(jié)束語

本文分析了圓光柵的制造誤差和裝配誤差對(duì)傳動(dòng)鏈誤差測量系統(tǒng)的測量誤差的影響，結(jié)果表明，測量誤差主要為1次諧波；兩次不同安裝位置下，測量誤差的相位差與兩次不同安裝位置的相位差相同。

基于測量誤差的相位特性提出了一種新的修正系統(tǒng)測量誤差的方法，在實(shí)驗(yàn)中根據(jù)兩次不同安裝位置下的測量數(shù)據(jù)和圓光柵與工作臺(tái)的相位差辨識(shí)出了機(jī)床傳動(dòng)鏈測量平臺(tái)的測量誤差，提高了檢測平臺(tái)的測量精度。該方法步驟簡單，成本低廉，非常適合在生產(chǎn)現(xiàn)場進(jìn)行應(yīng)用。