江蘇省南通市天星湖中學(xué)

錢 鵬 (郵編：226010)

解析幾何問題往往延續(xù)初中平面幾何中點(diǎn)、線段、直線以及平面幾何圖形等的關(guān)系，結(jié)合平面幾何的方法或坐標(biāo)法來處理一些相應(yīng)的問題，特別是一些相應(yīng)的最值問題等，越來越成為命題者青睞的考點(diǎn)之一．特別，此類問題往往是創(chuàng)新的重要場(chǎng)所之一，通過巧妙設(shè)置來綜合應(yīng)用．

1 問題呈現(xiàn)

【問題】(河南省中原名校2019屆高三第一次教學(xué)指導(dǎo)卷·15)已知線段|AB|=24，直線l∥AB，且直線l到AB的距離為5，P為直線l上任意一點(diǎn)，則|AP|×|BP|的最小值為．

本題既有初中平面幾何的問題背景，又有高中解析幾何的問題定位，巧妙把初中平面幾何與高中解析幾何加以交匯，延續(xù)初中與高中數(shù)學(xué)知識(shí)的連續(xù)性與綜合性，具有一定的創(chuàng)新與綜合功能.

2 多維探究

探究1不同的問題切入視角會(huì)有不同的思考，對(duì)應(yīng)不同的解法．那么，本題有哪些不同的解法呢？

圖1

解法1(坐標(biāo)法)通過建立平面直角坐標(biāo)系，引入坐標(biāo)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)以及兩點(diǎn)間的距離公式來建立相應(yīng)的兩線段的乘積|AP|×|BP|的坐標(biāo)關(guān)系式，通過轉(zhuǎn)化，利用配方，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定相應(yīng)的最值問題．

如圖，以線段AB所在的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(-12，0)，B(12，0)，設(shè)P(x，5)(x∈R)，

則有|AP|×|BP|

圖2

解法2(三角法)通過作圖，利用三角函數(shù)的定義，結(jié)合|AB|=|AC|+|BC|引入對(duì)應(yīng)的三角關(guān)系式，并通過三角恒等變換加以轉(zhuǎn)化，再利用兩線段的乘積|AP|×|BP|的三角關(guān)系式的變換，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定相應(yīng)的最值問題．

如圖2，過點(diǎn)P作PC⊥AB交AB于點(diǎn)C，可知|PC|=5，

圖3

解法3(等面積法)通過三角形的面積公式，利用等面積法思維的轉(zhuǎn)化來建立相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而把兩線段的乘積|AP|×|BP|轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的三角關(guān)系式問題，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定相應(yīng)的最值問題．

根據(jù)三角形的面積公式，可得

探究2將題中的有關(guān)兩線段的乘積|AP|×|BP|轉(zhuǎn)化為兩線段的和|AP|+|BP|或其他相關(guān)形式，回歸初中平面幾何知識(shí)，會(huì)得到怎樣的相關(guān)問題？

問題1已知線段|AB|=24，直線l∥AB，且直線l到AB的距離為5，P為直線l上任意一點(diǎn)，則|AP|+|BP|的最小值為．

解析如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)C，則知|BP|=|CP|，而直線l∥AB，直線l⊥BC，

故填26．

問題2已經(jīng)線段|AB|=24，直線l∥AB，且直線l到AB的距離為5，P為直線l上任意一點(diǎn)，則△PAB的周長(zhǎng)的最小值為．

探究3將題中的具體的線段長(zhǎng)度和兩平行線間的距離抽象為一般情形，那么會(huì)有怎樣的結(jié)論呢？

解析如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)C，則知|BP|=|CP|，

而直線l∥AB，直線l⊥BC，則有AB⊥BC，

結(jié)論2已經(jīng)線段|AB|=m，直線l∥AB，且直線l到AB的距離為h，P為直線l上任意一點(diǎn)，則|AP|×|BP|的最小值為mh．

解析根據(jù)三角形的面積公式可得

通過探究，進(jìn)行一題多解、一題多變等的拓展與應(yīng)用，使得學(xué)生通過解一道解析幾何最值的模擬題，達(dá)到解一組數(shù)學(xué)題、一類數(shù)學(xué)題的目的，復(fù)習(xí)總結(jié)了數(shù)學(xué)知識(shí)，又提升了數(shù)學(xué)能力，為學(xué)生養(yǎng)成良好的思維方法做了有益的嘗試．美國(guó)著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說過：“問題是數(shù)學(xué)的心臟”．對(duì)學(xué)生來說，如何確定解題思維，把問題歸結(jié)到同一個(gè)熟悉的“問題”來處理是關(guān)鍵，也就是解題方法與技巧，以不變應(yīng)萬變，熟練解決問題．