陳熙春

【摘要】培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象，以數(shù)學(xué)核心概念形成根基，以數(shù)學(xué)抽象概括能力形成為重點(diǎn)，以數(shù)學(xué)知識(shí)的“溫故知新”為途徑，以“做數(shù)學(xué)”為驅(qū)動(dòng)力，促進(jìn)學(xué)生提升數(shù)學(xué)抽象能力.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)抽象;核心素養(yǎng);培養(yǎng)策略

【基金項(xiàng)目】本文系寧夏第五屆基礎(chǔ)教育教學(xué)課題“基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：JXKT-ZS-05-078）的研究成果.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出了六大核心素養(yǎng).學(xué)生核心素養(yǎng)形成主要是通過后天的學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)，通過接受教育來形成和發(fā)展的.學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)需要通過多種教育渠道實(shí)現(xiàn)，其中學(xué)科教學(xué)顯然是核心素養(yǎng)培養(yǎng)的主渠道.核心素養(yǎng)究竟如何落地？筆者僅對(duì)課堂教學(xué)怎樣培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)抽象”核心素養(yǎng)談?wù)勛约旱淖龇ê腕w會(huì).

數(shù)學(xué)抽象是指通過對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的思維過程.主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征.數(shù)學(xué)抽象的特點(diǎn)決定了在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，應(yīng)采取以下的策略.

一、以數(shù)學(xué)核心概念形成根基，讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上在數(shù)學(xué)活動(dòng)中逐步形成的.從數(shù)學(xué)抽象的四個(gè)“表現(xiàn)”看（形成數(shù)學(xué)概念和規(guī)則、形成數(shù)學(xué)命題和模型、形成數(shù)學(xué)方法與思想、形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系），數(shù)學(xué)概念又是最基本的.概念是思維的單元和細(xì)胞，概念組成命題，命題形成判斷，數(shù)學(xué)方法和思想是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括.重視概念教學(xué)，提升概念教學(xué)水平，其中最切實(shí)的是抓住數(shù)學(xué)核心概念形成的教學(xué)，選取學(xué)生熟悉的典型實(shí)例，提供豐富材料，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)抽象過程，熟悉數(shù)學(xué)抽象的“基本套路”，在概念形成的數(shù)學(xué)中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象.在數(shù)學(xué)概念形成的過程中可以大致這樣劃分：從辨別到概括為第一次抽象，表現(xiàn)為用自然語言表達(dá)的直觀描述;概括后到形式化，完成符號(hào)表達(dá)為第二次抽象.

需要特別指出的是，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程中，選取學(xué)生熟悉的實(shí)例，使抽象概念的數(shù)學(xué)教學(xué)具體化，僅僅是一種手段，其目的不僅是學(xué)好應(yīng)學(xué)的概念，更重要的是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)抽象的實(shí)質(zhì)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象的方法.數(shù)學(xué)概念是比較抽象和形式化的，尤其是高中數(shù)學(xué)概念，比初中數(shù)學(xué)概念的抽象性又向前大大邁進(jìn)了一步.很多高中數(shù)學(xué)概念對(duì)學(xué)生而言，其抽象化程度比較高，非常不利于學(xué)生的理解.這些知識(shí)的傳授，必須依賴具體的實(shí)際數(shù)學(xué)問題模型，進(jìn)而思考問題的解決.

二、以數(shù)學(xué)抽象概括能力形成為重點(diǎn)，讓學(xué)生領(lǐng)悟由特殊到一般的數(shù)學(xué)抽象方法

抽象概括能力是指從個(gè)別特殊材料中揭示出一般原理和共同特點(diǎn)的思維能力，它是學(xué)生建構(gòu)、理解數(shù)學(xué)概念、定理、公式等知識(shí)的不可或缺的思維過程，其水平的高低直接影響著學(xué)生學(xué)習(xí)的過程和質(zhì)量，反映了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)知程度.抽象概括水平高，有助于知識(shí)的正向遷移，有助于發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含于問題中的數(shù)學(xué)模型，有助于知識(shí)學(xué)習(xí)過程和問題解決過程的順利進(jìn)行.因?yàn)橹挥型ㄟ^抽象、概括才能使人的認(rèn)識(shí)由感性上升到理性，從而掌握事物的本質(zhì)和規(guī)律.如果學(xué)生的抽象、概括能力提高了，他們的邏輯思維水平才會(huì)真正提高.因此，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中適時(shí)進(jìn)行由特殊到一般——數(shù)學(xué)模型化思維是一個(gè)有效的策略.

由特殊到一般的數(shù)學(xué)抽象概括就是將“數(shù)學(xué)材料數(shù)學(xué)化，發(fā)現(xiàn)不同對(duì)象的共同特征”.這種抽象概括能力可以在知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程的探究中形成.

例如，函數(shù)單調(diào)性定義的探究過程.

在教學(xué)的過程中，如果教師直接給出函數(shù)單調(diào)性的定義，然后用例子加以訓(xùn)練，則留給學(xué)生的就只有知識(shí)和方法，但如果我們從單調(diào)性概念的形成過程人手，通過問題引導(dǎo)，讓學(xué)生自己去探究函數(shù)單調(diào)性的形成過程，則留給學(xué)生的除了知識(shí)與方法外，還會(huì)多點(diǎn)什么嗎？讓我們先來看一看概念的形成過程：

問題1：對(duì)運(yùn)動(dòng)變化問題，最基本的就是描述變化的快與慢、增與減，我們把其中函數(shù)圖像增與減的特征稱之為“函數(shù)的單調(diào)性”，你能給出函數(shù)單調(diào)性的“直觀定義嗎”？

問題2：分析y=x2的增區(qū)間或者減區(qū)間中y隨著x的變化而變化的過程，給出函數(shù)單調(diào)性概念的“描述性定義”.

問題3：在函數(shù)單調(diào)性的描述性定義中，怎樣解釋“隨著自變量x的增大，函數(shù)值也增大”呢？如果對(duì)區(qū)間（a，b）上的任意x有f（x）>f（a），那么f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞增這個(gè)說法對(duì)嗎？請(qǐng)你說出理由.

這是單調(diào)性概念形成的關(guān)鍵問題，可以讓學(xué)生充分地討論.學(xué)生可舉例或畫圖說明，上述結(jié)論是不對(duì)的.要解釋在某區(qū)間上“隨著自變量x的增大，函數(shù)值也增大”，只需比較任意兩個(gè)自變量的函數(shù)值的大小即可，這樣函數(shù)單調(diào)性形式化的定義呼之欲出.

上述過程中，學(xué)生從形數(shù)的關(guān)系人手，先是用變量之間的關(guān)系刻畫了單調(diào)性的特征.然后用不等式給出了單調(diào)性形式化的定義，學(xué)生多出來的就是用不等式刻畫單調(diào)性特征的概括能力.

引導(dǎo)學(xué)生在問題探討中學(xué)會(huì)抽象概括是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的重要途徑.在教學(xué)中可以采取以下方法：

（1）通過對(duì)實(shí)際問題的探討，概括出數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)意義，如通過分析研究“表格法”“解析式法”“圖像法”三種形式函數(shù)實(shí)際問題，從中抽象概括出其共同本質(zhì)屬性：兩個(gè)非空數(shù)集間的單值對(duì)應(yīng).

（2）通過問題情境的創(chuàng)設(shè)與探討，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)公式、公理、定理等命題.如設(shè)置問題情境：“在△ABC中，已知邊b=4，c=2，∠A=60°，求邊a的值.”經(jīng)過生生互動(dòng)、師生互動(dòng)等形式，探討出多種解法，如作AB邊上的高，把a(bǔ)看成直角三角形的邊長(zhǎng)，將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題;把a(bǔ)看作向量AB的模，將問題轉(zhuǎn)化為向量問題;把a(bǔ)看成B，C兩點(diǎn)間的距離，通過建系設(shè)點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題.在上述探討基礎(chǔ)上，將問題一般化：“在△ABC中，已知邊b，c和∠A，求邊a的值.”沿著上述多種解法的軌跡，不難發(fā)現(xiàn)任意三角形的又一重要邊角關(guān)系：“余弦定理”.

上述幾方面的概括化活動(dòng)，在日常課堂教學(xué)活動(dòng)中，隨時(shí)隨地都有機(jī)會(huì)進(jìn)行.教師要有強(qiáng)烈的“教學(xué)設(shè)計(jì)意識(shí)”，依據(jù)教學(xué)目標(biāo)和任務(wù)的要求，精心選擇、組織教學(xué)內(nèi)容，認(rèn)真分析學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，科學(xué)合理地設(shè)計(jì)教學(xué)過程和學(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在問題的探討中積極參與活動(dòng)，在活動(dòng)中不斷提升概括能力.

三、以數(shù)學(xué)知識(shí)的“溫故知新”為途徑，讓學(xué)生不斷提高數(shù)學(xué)抽象能力

數(shù)學(xué)具有逐級(jí)抽象的特點(diǎn)，較高一級(jí)的抽象要依賴于較低一級(jí)的抽象.數(shù)學(xué)的這種逐級(jí)抽象性反映著數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性.這種數(shù)學(xué)逐級(jí)抽象性的特點(diǎn)體現(xiàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，就要重視數(shù)學(xué)知識(shí)的“溫故知新”.例如，前面的一些概念沒有學(xué)好，就難以學(xué)好依賴于這些概念抽象出來的更高一個(gè)層次的概念.因此，在學(xué)習(xí)新的概念時(shí)，必須及時(shí)復(fù)習(xí)以前的有關(guān)概念，為新概念的抽象創(chuàng)造必要的條件.這種方法既符合數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律，又符合學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展規(guī)律，既能加深對(duì)新知識(shí)的理解，又能從中領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)抽象的層次性，不斷提高數(shù)學(xué)抽象能力.

四、以“做數(shù)學(xué)”為驅(qū)動(dòng)力，促進(jìn)學(xué)生提升數(shù)學(xué)抽象能力

從數(shù)學(xué)的發(fā)展看，它本身也是充滿著觀察與猜想的探索活動(dòng).許多數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)、公式、法則的發(fā)現(xiàn)都經(jīng)歷了一個(gè)艱苦曲折的思維推理過程，教師應(yīng)充分挖掘向?qū)W生展現(xiàn)“做數(shù)學(xué)”的過程.通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、動(dòng)手操作、比較分析、猜想歸納，在“做數(shù)學(xué)”中學(xué)數(shù)學(xué)，獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的體驗(yàn)，并從中提升數(shù)學(xué)抽象能力.通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);養(yǎng)成在日常生活和實(shí)踐中一般性思考問題的習(xí)慣，把握事物的本質(zhì)，以簡(jiǎn)馭繁;運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題.

【參考文獻(xiàn)】

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