葉梅燕 石志新 羅玉峰,3

(1.南昌大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院， 南昌 330031； 2.南昌大學(xué)理學(xué)院， 南昌 330031；3.華東交通大學(xué)機(jī)電與車輛工程學(xué)院， 南昌 330013)

0 引言

在管道焊接、曲面加工、軌跡追蹤等工程應(yīng)用中，人們通常期望設(shè)計(jì)出執(zhí)行構(gòu)件能夠沿空間曲線運(yùn)動(dòng)的機(jī)械裝備。目前人們的設(shè)計(jì)思路大多基于外在幾何觀點(diǎn)(將空間曲線嵌入外圍3維歐氏空間)，即設(shè)計(jì)一個(gè)三平移機(jī)構(gòu)，通過(guò)算法協(xié)調(diào)控制3個(gè)方向的移動(dòng)輸出，實(shí)現(xiàn)執(zhí)行構(gòu)件沿指定空間曲線作平移運(yùn)動(dòng)。然而根據(jù)高斯非歐幾何的內(nèi)蘊(yùn)思想(將曲線和曲面本身視為獨(dú)立空間)，空間曲線屬于1維幾何形體，若采用1自由度的曲線平移機(jī)構(gòu)替代上述三平移機(jī)構(gòu)，則可實(shí)現(xiàn)減少自由度、降低控制難度、節(jié)約成本的目的。因此，研究簡(jiǎn)單、實(shí)用的各類曲線平移機(jī)構(gòu)十分必要。

目前機(jī)器人機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合的方法主要有：基于螺旋理論的方法[1-6]、基于位移子群/流形的運(yùn)動(dòng)綜合方法[7-11]、基于線性變換與進(jìn)化形態(tài)學(xué)的方法[12-13]、基于方位特征集的方法[14-20]以及基于GF集的綜合方法[21-24]。然而，這些理論方法均難以直接應(yīng)用于具有彎曲平移(沿曲線或曲面平移)運(yùn)動(dòng)特征的機(jī)構(gòu)，原因?yàn)椋孩偃鄙倏擅枋鰪澢揭七\(yùn)動(dòng)特征的表達(dá)模型。②過(guò)于強(qiáng)調(diào)局部運(yùn)動(dòng)特征，缺少平移空間整體形態(tài)特征。③缺少?gòu)澢揭七\(yùn)動(dòng)特征的運(yùn)算規(guī)則。對(duì)于彎曲平移機(jī)構(gòu)而言，由于移動(dòng)方向時(shí)刻變化，因此局部運(yùn)動(dòng)特征不能反映整體形態(tài)特征，而且基于線性空間的運(yùn)動(dòng)特征求交和求并運(yùn)算規(guī)則不再適用。

本文根據(jù)內(nèi)蘊(yùn)幾何思想，建立可描述彎曲平移運(yùn)動(dòng)特征的表達(dá)模型，研究機(jī)器人機(jī)構(gòu)末端構(gòu)件彎曲平移運(yùn)動(dòng)的形成機(jī)理及其基本類型，制定彎曲平移運(yùn)動(dòng)特征的運(yùn)算規(guī)則，并結(jié)合實(shí)例提出空間曲線平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型綜合方法。

1 可描述彎曲平移運(yùn)動(dòng)特征的表達(dá)模型

剛體運(yùn)動(dòng)包括平移和轉(zhuǎn)動(dòng)2種基本運(yùn)動(dòng)類型，因此機(jī)器人末端構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)特征應(yīng)由平移特征和轉(zhuǎn)動(dòng)特征共同組成。

(1)旋轉(zhuǎn)特征。轉(zhuǎn)動(dòng)特征可由旋轉(zhuǎn)軸數(shù)量和方向來(lái)表征。

(2)平移特征。平移運(yùn)動(dòng)包括平直移動(dòng)(沿直線或平面平移)和彎曲平移(沿曲線或曲面平移)2種情況。如平行四邊形機(jī)構(gòu)的連桿作圓周曲線平移運(yùn)動(dòng)，3-UU機(jī)構(gòu)[21]的動(dòng)平臺(tái)沿球面作平移運(yùn)動(dòng)等。由于彎曲平移的移動(dòng)方向時(shí)刻變化，因此其運(yùn)動(dòng)特征需要由平移空間的維數(shù)、整體形態(tài)以及生成方式三者共同表達(dá)。

綜合考慮旋轉(zhuǎn)特征和平移特征，本文采用的末端構(gòu)件運(yùn)動(dòng)特征描述模型為

(1)

式中M——末端構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)特征集

t——平移

p——平移空間的維數(shù)(獨(dú)立平移數(shù)目)

w——平移空間的整體形態(tài)

N——平移空間的生成方式

r——轉(zhuǎn)動(dòng)

q——獨(dú)立旋轉(zhuǎn)方向矢量的數(shù)目

S——旋轉(zhuǎn)軸方向單位矢量組成的集合

基于內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)的基本思想，直線和曲線可被視為1維獨(dú)立平移空間，平面和曲面則被視為2維獨(dú)立平移空間。0維和3維平移空間無(wú)需記錄整體形態(tài)和生成方式，故其移動(dòng)特征可分別表示為t0和t3。0維和3維轉(zhuǎn)動(dòng)空間無(wú)需記錄旋轉(zhuǎn)軸方向，其轉(zhuǎn)動(dòng)特征分別表示為r0和r3。1維和2維轉(zhuǎn)動(dòng)空間的轉(zhuǎn)動(dòng)特征分別表示為r1(l)和r2(l1,l2)，其中l(wèi)、l1和l2均為旋轉(zhuǎn)軸方向的單位矢量。

2 支鏈末端構(gòu)件彎曲平移運(yùn)動(dòng)的形成

由于支鏈(串聯(lián)機(jī)構(gòu))是由若干個(gè)運(yùn)動(dòng)副依次串聯(lián)而成，因此其末端構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)特征集是各運(yùn)動(dòng)副運(yùn)動(dòng)輸出特征的并集，可表示為

(2)

式中ML——支鏈末端構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)特征集

2.1 單自由度運(yùn)動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)輸出特征

機(jī)器人機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)副類型較多，常見運(yùn)動(dòng)副包括：轉(zhuǎn)動(dòng)副(R副)、移動(dòng)副(P副)、球副(S副)、胡克鉸(U副)、圓柱副(C副)等。為了分析方便，可采用運(yùn)動(dòng)副等效替換的方法將它們簡(jiǎn)化為只含轉(zhuǎn)動(dòng)副和移動(dòng)副。如球副等效為3個(gè)軸線匯交于1點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)副，胡克鉸等效為2個(gè)軸線垂直正交的轉(zhuǎn)動(dòng)副，圓柱副等效為共軸的轉(zhuǎn)動(dòng)副和移動(dòng)副。

(1)P副的運(yùn)動(dòng)輸出特征。由于P副僅產(chǎn)生直線平移運(yùn)動(dòng)，其移動(dòng)空間整體形態(tài)為直線，并且該移動(dòng)空間由P副生成，由式(1)可知，移動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)輸出特征可表示為t1(直線,P)，其中P為P副方向的單位矢量。

圖1 R‖R機(jī)構(gòu)及其末端構(gòu)件的平移空間Fig.1 R‖R mechanism and translation space of its end-effector

(2)R副的運(yùn)動(dòng)輸出特征。轉(zhuǎn)動(dòng)副不僅能產(chǎn)生繞其軸線的運(yùn)動(dòng)，而且可衍生出垂直于軸線方向的圓周曲線平移運(yùn)動(dòng)，即其運(yùn)動(dòng)特征具有二重性，可按如下規(guī)則選?。孩賰?yōu)先取旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)作為運(yùn)動(dòng)輸出特征，記為r1(R)，其中R為R副軸線方向的單位矢量。②若已有運(yùn)動(dòng)副產(chǎn)生了與該轉(zhuǎn)動(dòng)副旋轉(zhuǎn)方向相同的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則該轉(zhuǎn)動(dòng)副將會(huì)衍生圓周曲線平移(圖1)，此時(shí)應(yīng)取衍生圓周曲線平移作為其運(yùn)動(dòng)輸出特征，記為t1(圓,R┴)，其中R┴表示由R副衍生且與R垂直的圓周平移運(yùn)動(dòng)。

2.2 2維曲面平移運(yùn)動(dòng)的形成及其類型

2維曲面平移空間是由2個(gè)1維平移空間合并而成，而且二者不能均為直線，即其中至少1個(gè)1維平移空間應(yīng)為圓周。

2.2.1t1(直線)與t1(圓)的求并運(yùn)算規(guī)則

由2.1節(jié)可知，1維圓周平移空間存在2種生成方式：一種由Pa副產(chǎn)生，另一種為兩平行R副衍生而成。

高校的課程設(shè)置不僅決定一個(gè)專業(yè)的定位，決定專業(yè)的寬度和廣度，更決定未來(lái)所培養(yǎng)學(xué)生的視野、知識(shí)儲(chǔ)備、專業(yè)傾向等綜合素質(zhì)，是高校辦學(xué)中非常重要的環(huán)節(jié)。地方本科高校無(wú)論歷史沉淀、師資力量、學(xué)生素質(zhì)還是整體綜合實(shí)力，與綜合性大學(xué)相比，差距都是非常大的。在這種情況下，扎根當(dāng)?shù)兀l(fā)掘能夠體現(xiàn)地方價(jià)值與特色的課程就顯得尤為重要。

圖2 P-Pa機(jī)構(gòu)及其末端構(gòu)件的平移空間Fig.2 P-Pa mechanisms and translation spaces of theirs end-effector

(2)當(dāng)1維圓周平移空間由兩平行R副衍生而成時(shí)，P副與它們?cè)诟鞣N裝配關(guān)系下的合成2維平移空間如圖3所示，因此t1(直線,P)與t1(圓,R┴)的求并結(jié)果如下：

當(dāng)P⊥R時(shí)，二者合成的平移空間為平面(圖3a)，故此時(shí)t1(直線,P)與t1(圓,R┴)的求并結(jié)果記為t2(平面,R)。

當(dāng)P‖R時(shí)，二者合成的平移空間為直圓柱面(圖3b)，故此時(shí)t1(直線,P)與t1(圓,R┴)的求并結(jié)果為t2(直圓柱面,P⊕R┴)。

當(dāng)P∠R且P副位于兩平行R副兩邊時(shí)，二者合成的平移空間為斜圓柱面(圖3c)，故此時(shí)t1(直線,P)∪t1(圓,R┴)=t2(斜圓柱面,P⊕R┴)。

當(dāng)P∠R且P副位于兩平行R副中間時(shí)，二者合成的平移空間為圓錐面(圖3d)，故此時(shí)t1(直線,P)∪t1(圓,R┴)=t2(圓錐面,P⊕R┴)。

RPR機(jī)構(gòu)(圖3)的末端構(gòu)件除了具有2維平移特征外還具有繞R旋轉(zhuǎn)的1維轉(zhuǎn)動(dòng)特征。

圖3 RPR機(jī)構(gòu)及其末端構(gòu)件的平移空間Fig.3 RPR mechanisms and translation spaces of theirs end-effector

2.2.2t1(圓)與t1(圓)的求并運(yùn)算規(guī)則

兩圓周平移存在3種生成方式：兩圓周平移均由Pa副產(chǎn)生、兩圓周平移均由R副產(chǎn)生、兩圓周平移分別由Pa副和R副產(chǎn)生。由于上述3種生成方式下的合成平移空間類型均相同，因此無(wú)需分別討論。

兩圓所在的平面存在平行、相交(包括垂直和斜交)2種位置關(guān)系，且兩圓心的位置存在重合與不重合2種情況。上述各種方位關(guān)系對(duì)應(yīng)的機(jī)構(gòu)示例如圖4所示。

圖4 兩圓周平移合成各類2維空間的實(shí)例Fig.4 Examples of 2-dimension space generated by two circular-translation motion

綜合上述分析結(jié)果可以得出，支鏈末端構(gòu)件的2維曲面平移空間存在圓柱面(包括直圓柱面和斜圓柱面)、圓錐面、球面、環(huán)面這4種基本類型。

3 空間曲線平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型綜合

3.1 空間曲線平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)的基本類型

并聯(lián)機(jī)構(gòu)由靜平臺(tái)(機(jī)架)、動(dòng)平臺(tái)以及若干條支鏈組成。由于動(dòng)平臺(tái)是在各支鏈共同作用下進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，因此其運(yùn)動(dòng)特征是各支鏈末端構(gòu)件運(yùn)動(dòng)特征的交集。又考慮到空間曲線可看作空間兩曲面的交線，因此空間曲線平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)可由2條具有2維彎曲平移運(yùn)動(dòng)特征的支鏈構(gòu)成。

根據(jù)第2節(jié)分析結(jié)果可知，支鏈末端構(gòu)件的2維曲面平移空間存在4種形態(tài)(圓柱面、圓錐面、球面、環(huán)面)。考慮到這些曲面兩兩的交集一般為1條空間曲線(稱為相貫線)，因此空間曲線平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)可按曲線形態(tài)劃分為9種基本類型：柱柱相貫線平移機(jī)構(gòu)、柱錐相貫線平移機(jī)構(gòu)、柱球相貫線平移機(jī)構(gòu)、柱環(huán)相貫線平移機(jī)構(gòu)、錐錐相貫線平移機(jī)構(gòu)、錐球相貫線平移機(jī)構(gòu)、錐環(huán)相貫線平移機(jī)構(gòu)、球環(huán)相貫線平移機(jī)構(gòu)和環(huán)環(huán)相貫線平移機(jī)構(gòu)。兩球面的交線為圓(屬于平面曲線)，它不屬于空間曲線。

本文僅對(duì)上述9種基本類型中的前2類并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行構(gòu)型綜合，其余7類機(jī)構(gòu)可以采用類似方法綜合得到。

3.2 柱柱相貫線平移機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合

3.2.1具有2維圓柱面平移特征的支鏈

根據(jù)2.2.1節(jié)分析結(jié)果可知，2維圓柱面平移空間由直線平移和圓周平移合成產(chǎn)生，并且直線和圓所在的平面不能平行。具有2維圓柱面平移特征的支鏈結(jié)構(gòu)類型如表1所示。

表1 具有2維圓柱面平移特征的支鏈
Tab.1 Branches with 2-dimension cylindertranslation characteristic

3.2.2支鏈組合方案

根據(jù)3.1節(jié)分析結(jié)果可知，柱柱相貫線平移機(jī)構(gòu)可由表1中某2條支鏈(記為支鏈1和支鏈2)構(gòu)成。為保證動(dòng)平臺(tái)沿柱柱相貫線作純平移運(yùn)動(dòng)(不含轉(zhuǎn)動(dòng))，支鏈1、2的組合方案如表2所示。

表2 柱柱相貫線平移機(jī)構(gòu)支鏈組合方案Tab.2 Branch assembling schemes of cylinder-cylinder intersection line translation mechanisms

3.2.3支鏈裝配幾何條件

(1)t2(圓柱面)與t2(圓柱面)的求交運(yùn)算規(guī)則

當(dāng)兩圓柱面的軸線平行時(shí)，二者的交線為平行于軸線的直線；否則，二者的交線為空間曲線(柱柱相貫線)。因此，2維彎曲平移特征t2(圓柱面)與t2(圓柱面)的求交運(yùn)算規(guī)則為

(3)

(2)兩支鏈裝配幾何條件分析

根據(jù)預(yù)期設(shè)計(jì)目標(biāo)，支鏈1和支鏈2的運(yùn)動(dòng)特征集應(yīng)滿足

(4)

式中qi——支鏈i末端構(gòu)件旋轉(zhuǎn)方向矢量的數(shù)目

Si——支鏈i末端構(gòu)件旋轉(zhuǎn)方向單位矢量組成的集合

結(jié)合式(3)，可知式(4)成立的條件為P1與P2不平行且S1∩S2=?(空集)。因此表2中各組合方案對(duì)應(yīng)裝配條件如下：

(1)組合方案1～4。支鏈1、2分別為表1中支鏈結(jié)構(gòu)類型庫(kù)A0和Ai(i=0,1,2,3)。由于支鏈1的轉(zhuǎn)動(dòng)特征為r0(表1)，故此時(shí)S1∩S2=?恒成立，因此支鏈1、2的裝配條件為P1與P2不平行。

(2)組合方案5。支鏈1、2均為表1中支鏈結(jié)構(gòu)類型庫(kù)A1，二者的轉(zhuǎn)動(dòng)特征可分別記為r1(R1)和r1(R2)。此時(shí)S1∩S2=?成立的充要條件為R1與R2不平行，因此支鏈1、2的裝配條件為P1與P2不平行且R1與R2不平行。

(3)組合方案6。支鏈1、2分別為支鏈結(jié)構(gòu)類型庫(kù)A1和A2，二者轉(zhuǎn)動(dòng)特征分別為r1(R)和r1(R1,R2)(表1)。此時(shí)S1∩S2=?成立的條件為R與R1、R2均不平行，故支鏈1、2的裝配條件為P1與P2不平行且R與R1、R2均不平行。

3.2.4柱柱相貫線平移機(jī)構(gòu)

根據(jù)上述支鏈組合方案和裝配幾何條件，可綜合得到25種柱柱相貫線平移機(jī)構(gòu)。表2中組合方案1～6生成的代表性機(jī)構(gòu)如圖5所示。

圖5 表2各組合方案生成的代表性并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.5 Representative mechanisms generated by assembling schemes in Tab.2

3.2.5分析驗(yàn)證

以圖5e所示機(jī)構(gòu)為例，分析該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)特征。

已知兩支鏈末端構(gòu)件運(yùn)動(dòng)特征集為

其中Pi為圓柱副Ci軸線方向單位矢量。故二者的并集為

(5)

根據(jù)自由度計(jì)算公式[14]可知，該機(jī)構(gòu)自由度為

式中fi——第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度

dim——維數(shù)函數(shù)

由于R1與R2不平行，r1(R1)∩r1(R2)=r0，故該機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)不含轉(zhuǎn)動(dòng)輸出，又由于自由度F等于1，因此該機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)僅沿兩圓柱相貫線作彎曲平移運(yùn)動(dòng)(圖6)。

圖6 R‖C-C‖R機(jī)構(gòu)及其動(dòng)平臺(tái)的平移空間Fig.6 R‖C-C‖R mechanism and translation space of its end-effector

3.3 柱錐相貫線平移機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合

3.3.1具有2維圓錐面平移特征的支鏈

根據(jù)2.2.1節(jié)分析結(jié)果可知，2維圓錐面平移空間產(chǎn)生的條件為P副位于兩平行R副中間且P∠R。因此，具有2維圓錐面平移特征的支鏈結(jié)構(gòu)類型如表3所示。

3.3.2支鏈組合方案

根據(jù)3.1節(jié)分析結(jié)果可知，可從表1、3中分別挑選1條支鏈(記為支鏈1和支鏈2)，二者共同構(gòu)成柱錐相貫線平移機(jī)構(gòu)。為保證動(dòng)平臺(tái)僅沿柱錐相貫線作純平移運(yùn)動(dòng)(不含轉(zhuǎn)動(dòng))，支鏈1、2的組合方案如表4所示。

3.3.3支鏈裝配幾何條件

為保證動(dòng)平臺(tái)無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)輸出，兩支鏈末端構(gòu)件轉(zhuǎn)動(dòng)特征集的交集應(yīng)為空集(即S1∩S2=?)，因此表4中各組合方案對(duì)應(yīng)裝配條件如下：

(1)組合方案1～3。支鏈1均取自表1中支鏈結(jié)構(gòu)類型庫(kù)A0。由于支鏈1的轉(zhuǎn)動(dòng)特征為r0，故此時(shí)S1∩S2=?恒成立，因此支鏈1、2可任意裝配。

表3 具有2維圓錐面平移特征的支鏈
Tab.3 Branches with 2-dimension conetranslation characteristic

表4 柱錐相貫線平移機(jī)構(gòu)支鏈組合方案Tab.4 Branch assembling schemes of cylinder-cone intersection line translation mechanisms

方案支鏈來(lái)源支鏈組合方案1(A0,B1){P-Pa}{R(∠P)‖R}2(A0,B2){P-Pa}{R(∠P)‖R-R}3(A0,B3){P-Pa}{R∠P-S}4(A1,B1){P-Pa-R}{R(∠P)‖R}{P‖R‖R}{R(∠P)‖R}{R‖C}{R(∠P)‖R}5(A2,B1){P-Pa-R-R}{R(∠P)‖R}{P‖R‖R-R}{R(∠P)‖R}{R‖C-R}{R(∠P)‖R}6(A1,B2){P-Pa-R}{R(∠P)‖R-R}{P‖R‖R}{R(∠P)‖R-R}{R‖C}{R(∠P)‖R-R}

(2)組合方案4。支鏈1取自表1中類型庫(kù)A1，支鏈2取自表4中類型庫(kù)B1，二者的轉(zhuǎn)動(dòng)特征分別記為r1(R1)和r1(R2)。此時(shí)S1∩S2=?成立的充要條件為R1與R2不平行，因此支鏈1、2的裝配條件為R1與R2不平行。

(3)組合方案5和6。支鏈1、2分別取自類型庫(kù)A2和B1(或A1和B2)，二者的轉(zhuǎn)動(dòng)特征可分別記為r1(R1,R2)和r1(R)，此時(shí)S1∩S2=?成立的條件為R與R1、R2均不平行。因此支鏈1、2的裝配條件為R與R1、R2均不平行。

3.3.4柱錐相貫線平移機(jī)構(gòu)

根據(jù)3.3.2節(jié)得到的支鏈組合方案和裝配幾何條件，共可綜合得12種柱錐相貫線平移機(jī)構(gòu)。圖7僅列舉了表4中各組合方案生成的部分代表性機(jī)構(gòu)。根據(jù)自由度計(jì)算公式可計(jì)算得出，該類機(jī)構(gòu)自由度為1。又由于兩支鏈末端構(gòu)件轉(zhuǎn)動(dòng)特征集的交集為空集，因此動(dòng)平臺(tái)不含轉(zhuǎn)動(dòng)輸出，僅能沿柱錐相貫線作平移運(yùn)動(dòng)。

圖7 表4各組合方案生成的代表性并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.7 Representative mechanisms generated by assembling schemes in Tab.4

4 結(jié)論

(1)基于高斯非歐幾何的內(nèi)蘊(yùn)思想，可將曲線和曲面本身視為彎曲平移空間。這些空間的維數(shù)、整體形態(tài)以及生成方式能夠清晰表達(dá)末端構(gòu)件的彎曲平移運(yùn)動(dòng)特征。

(2)支鏈末端構(gòu)件的2維彎曲平移空間存在圓柱面(包括直圓柱面和斜圓柱面)、圓錐面、球面、環(huán)面4種基本類型。

(3)根據(jù)平移空間的整體形態(tài)，空間曲線平移機(jī)構(gòu)可被劃分為9種基本類型。類型細(xì)分不僅能夠豐富和完善現(xiàn)有機(jī)構(gòu)類型庫(kù)，而且有利于設(shè)計(jì)者根據(jù)實(shí)際工況作出合理選擇。

(4)綜合得到了25種柱柱相貫線平移機(jī)構(gòu)和12種柱錐相貫線平移機(jī)構(gòu)，并給出了代表性機(jī)構(gòu)。與三平移機(jī)構(gòu)相比，這些空間曲線平移機(jī)構(gòu)具有自由度小(等于1)、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、控制容易等特點(diǎn)。