◎劉玉兵

同學(xué)們?cè)谏蠈W(xué)期已學(xué)過(guò)數(shù)軸，都知道利用數(shù)軸可以直觀地表示數(shù)，可以幫助我們理解絕對(duì)值與相反數(shù)的含義，也可以比較數(shù)的大小等。那么在解一元一次不等式組的時(shí)候，數(shù)軸有什么作用呢？它能把數(shù)與形結(jié)合在一起，將抽象轉(zhuǎn)化為直觀，快速且準(zhǔn)確地找出解集，特別是在解一些含有字母參數(shù)的不等式組的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，優(yōu)越性更大。

例1蘇科版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第135頁(yè)例1：

解：在數(shù)軸上表示不等式x≤-1和x＜2的解集（如圖1）：

圖1

由圖1可知，不等式組的解集是x≤-1。

【點(diǎn)評(píng)】解一元一次不等式組分三步：求解、畫(huà)圖、定解集。第一步，分別求出不等式組中每個(gè)不等式的解集，即求解；第二步，畫(huà)數(shù)軸，分別表示出每一個(gè)不等式的解集，即畫(huà)圖；最后在數(shù)軸上找出各個(gè)不等式解集的公共部分，即定解集。書(shū)中第136頁(yè)例2、例3也是如此。

例2 解不等式組

【分析】如果一個(gè)不等式組含有兩個(gè)以上的不等式，我們同樣可以先求出各個(gè)不等式的解集，并利用數(shù)軸確定各個(gè)解集的公共部分。若有公共部分，則此公共部分即為不等式組的解集；若無(wú)公共部分，則不等式組無(wú)解。

解：解不等式①，得x＞-2，

解不等式②，得x＜4，

解不等式③，得x＞6。

在數(shù)軸上把各個(gè)不等式的解集表示出來(lái)（如圖2）。

圖2

所以這個(gè)不等式組無(wú)解。

【點(diǎn)評(píng)】在數(shù)軸上畫(huà)出各個(gè)不等式的解集，同學(xué)們就非常容易觀察出這三個(gè)解集沒(méi)有公共部分，從而確定這個(gè)不等式組無(wú)解。

例3（2017·宿遷）已知4＜m＜5，則關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共有（ ）個(gè)。

A.1 B.2 C.3 D.4

【分析】本題表示出兩個(gè)不等式的解集不難，難在題中的m不是一個(gè)準(zhǔn)確的值而是一個(gè)范圍，但是我們?nèi)绻跀?shù)軸上表示出它們的解集之后，就會(huì)很容易發(fā)現(xiàn)此不等式組的整數(shù)解的個(gè)數(shù)。

解：解不等式①，得x＜m，

解不等式②，得x＞2。

∵4＜m＜5，

在數(shù)軸上把各個(gè)不等式的解集表示出來(lái)（如圖3）。

圖3

∴原不等式組可取的整數(shù)解為3、4兩個(gè)。故選B。

例4蘇科版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第141頁(yè)第14題：

（1）如果這個(gè)不等式組無(wú)解，求a的取值范圍；

（2）如果這個(gè)不等式組有解，求a的取值范圍。

【分析】結(jié)合數(shù)軸，若不等式組無(wú)解，說(shuō)明屬于x＜a與x＞1的解集沒(méi)有公共部分，那表示a的點(diǎn)應(yīng)在1的左邊和1這一點(diǎn)，因此a的取值范圍為a≤1；若不等式組有解，則與（1）的情形相反，a應(yīng)取除a≤1以外的數(shù)，即a＞1。這兩問(wèn)在解題過(guò)程中需要注意字母的取值范圍是否包括端點(diǎn)。

解：把x＞1的解集在數(shù)軸上表示（如圖4）。

圖4

（1）若不等式組無(wú)解，則a≤1；

（2）若不等式組有解，則a＞1。

例5（2018·泰安）不等式組有3個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是（ ）。

A.-6≤a＜-5 B.-6＜a≤-5

C.-6＜a＜-5 D.-6≤a≤-5

解：由x＜-1，

解得：x＞4，

由4（x-1）≤2（x-a），

解得：x≤2-a，

故不等式組的解為：4＜x≤2-a，

由原不等式組有3個(gè)整數(shù)解，故這3個(gè)整數(shù)解只能是5、6、7。

由數(shù)軸可確定2-a的范圍（如圖5）。

圖5

解得：7≤2-a＜8，

進(jìn)而解得：-6＜a≤-5。

故選：B。

【點(diǎn)評(píng)】本題的難點(diǎn)之一是不等式組中有字母參數(shù)，但這不難解決；難點(diǎn)之二是把2-a看成一個(gè)整體，然后根據(jù)原不等式組解的情況在數(shù)軸上確定2-a的范圍，首先應(yīng)在7與8之間，其次判斷是否包括端點(diǎn)7和8，這時(shí)數(shù)軸的優(yōu)勢(shì)就不言而喻了。

以上五例由淺入深、由易到難，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)軸在解一元一次不等式組中的作用既簡(jiǎn)捷直觀又快速準(zhǔn)確。希望同學(xué)們抓住這把“金鑰匙”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，更好地享受數(shù)學(xué)帶給大家的快樂(lè)。