董永勝， 胡文弢， 金洪震， 錢義先， 任志君

(1.集寧師范學院 凝聚態(tài)物理研究所,內蒙古 烏蘭察布 012000;2.集寧師范學院 高速信號處理與物聯(lián)網(wǎng)應用重點實驗室 內蒙古 烏蘭察布 012000;3.浙江省光信息檢測與顯示技術研究重點實驗室 浙江 金華 321004)

0 引 言

1987年，具有實用價值的無衍射Bessel光束被首次提出并由實驗產生[1].經(jīng)典的Bessel光束均具有中心對稱的同心圓結構.2014年，Kovalev等[2]引入了一種非對稱的Bessel光束，其橫向強度分布形狀為新月形.最近，該團隊基于不同階Bessel函數(shù)的疊加，理論上又引入了一類新形態(tài)的無衍射光束——Lommel光束.這種光束因其在數(shù)學上可通過含有2個參量的高階Lommel函數(shù)描述而得名[3].事實上，Lommel光束是波矢量相同的一簇Bessel光束的線性疊加.Lommel光束的獨特之處在于：光束的橫向強度分布對笛卡爾坐標軸具有反射對稱性，特別是通過光束參數(shù)的簡單調整，可以連續(xù)調節(jié)光束截面的光強分布，這是Bessel光束所沒有的光學特性.Lommel光束的另一個優(yōu)勢在于它們的軌道角動量是連續(xù)變化的，而Bessel光束的軌道角動量則是離散變化的.不同于經(jīng)典的Bessel光束，Lommel光束這些獨有的光學特性將在光與物質相互作用或微操縱等領域發(fā)揮新的作用.因此，研究Lommel光束的光學特性和傳輸特性具有重要的科學價值.與Bessel函數(shù)類似，Lommel函數(shù)平方不可積，即理想的無衍射Lommel光束要求具有無限擴展和無限能量的特點，這在物理上是不可實現(xiàn)的[4].與實際存在的準無衍射Bessel-Gauss光束傳輸特性類似[5]，本文主要針對Lommel-Gauss光束的傳輸特性展開研究.

光束的傳輸問題本質是光束的衍射問題,而衍射問題是光學中遇到的最困難問題之一.在衍射理論中，由于數(shù)學上的困難,嚴格解是很少的,大多數(shù)情況下必須采用近似的方法.鑒于此，過去研究者通過構建虛光源點(“虛源法”)[5-10]研究了幾種具有重要應用價值的準無衍射光束的傳輸特性，比如Bessel-Gauss光束[5]、cosh-Gaussian光束[6]、Mathieu-Gauss光束[7]、elegant Laguerre-Gaussian光束[8]、Hermite-Gauss光束[9]、Laguerre-Gauss光束[10]等.顯然，虛源法為精確研究光束的傳輸特性提供了思路.本文通過虛源法，并利用光束傳播的獨立性和疊加性原理，將源點放入復空間，用無窮項虛光源點疊加的方式與展開的Lommel-Gauss光束一一對應.在此基礎上，利用Fourier-Bessel變換和Weber積分公式推導，得到了任意階Lommel-Gauss光束的非傍軸嚴格積分表達式.進一步利用該表達式解析得到了該光束軸上光場分布的解析表達式.該結果為把Lommel-Gauss光束更好地應用于實際的科學研究奠定理論基礎.

1 理 論

Lommel光束[2-3,11-12]在圓柱坐標系下用一系列的Bessel函數(shù)表述為

(1)

式(1)中：ρ是徑向坐標;φ為角坐標;k(傳輸因子)=2π/λ是波長為λ的單色光的波數(shù)；β是光束的徑向參數(shù)；c是無量綱非對稱參數(shù)；n是定義軌道角動量(OAM)的整型參量，代表n階第一類Lommel函數(shù).

根據(jù)光束傳播的獨立性和疊加性原理，在圓柱坐標系下，Lommel-Gauss光束能夠展開為不同階數(shù)Bessel光束的無窮項求和的形式.在z=0的平面上，Lommel-Gauss光束可用如下形式表示[13]：

(2)

(3)

式(3)中，ω0為z=0平面上光束的束腰寬度.

為研究Lommel-Gauss光束的傳輸，現(xiàn)計算z>0的場分布.根據(jù)虛源法，假設En,2p(ρ,φ,z)是由一系列位于z=zex處，半徑為ρ=ρex，虛源強度為Sex(n+2p)，并有一個方位角變量的電環(huán)[4-10]所產生的，因而具體參數(shù)值取決于光束參數(shù).設虛光源的單色標量波函數(shù)具有如下一般形式:

En,2p(ρ,φ,z)=Un,2p(ρ,z)exp[i(n+2p)φ].

(4)

光場滿足非齊次亥姆霍茲方程

(5)

利用極坐標系下的Fourier-Bessel變換[6]可得:

(6)

(7)

由式(5)～式(7)聯(lián)立可得

(8)

考慮到積分式(8)的復雜性，先對其進行近似處理.當式(8)滿足η2?k2時，可以將其作關于小量的級數(shù)展開.對展開式保留其首項k作為振幅因子，保留其前2項作為相位因子.式(8)化簡為

(9)

由式(3)可知，ρ變化的尺度為ω0，η的變化范圍為1/ω0的數(shù)量級.如果光束的束腰寬度遠大于波長，那么，對于大多數(shù)光束而言，η2?k2.而光束的束腰寬度遠大于波長這個條件，除了極端情況大部分時候很容易滿足.

根據(jù)Weber積分公式[13-14]

(10)

將式(10)代入式(9)計算得到

(11)

當z=0時,

(12)

當n取偶數(shù)時，Jn+2p(x)是偶函數(shù)，故

(13)

通過比較式(3)和式(13)可以得到如下參數(shù)值：

(14)

(15)

(16)

(17)

式(17)中的下標P表示傍軸近似.所以，Lommel-Gauss光束傳輸?shù)陌S近似解為

(18)

進一步將式(14)～式(16)代入式(8)，得到關于Un,2p(ρ,z)的嚴格積分表達式

(19)

運用格林函數(shù)法進一步研究Lommel-Gauss光束傳輸?shù)慕馕霰磉_式.格林函數(shù)的微分方程為

(20)

式(20)中：

(21)

(22)

式(20)等號兩邊同時乘以exp[i(n+2p)φex]，并對變量φex積分，積分區(qū)間為[0,2π]，得到

(23)

結合式(14)～式(16)，并將式(23)和式(5)進行比較，可得到Lommel-Gauss光束的精確解析表達式

(24)

式(24)中,

(25)

Lommel-Gauss光束的傍軸近似解式(18)和嚴格解析積分表達式(24)是本文推導所得的第一個重要結論.

2 計 算

根據(jù)式(4)和式(19)，以n階Lommel-Gauss光束為例，現(xiàn)計算軸上(z=0)光場，可以得到軸上光場的分布為

(26)

式(26)即為推導所得的Lommel-Gauss光束傳輸?shù)姆前S嚴格積分表達式.該解與倏逝波一樣，除了包括傍軸近似解之外，還包括非傍軸場分布.

研究光束傳輸?shù)妮S上光場分布有重要價值[7,9-10,15]，因為很多時候人們將各類光束用于科學研究時主要關注的是光束軸上的光場分布.與過去研究Mathieu-Gauss光束[7]、Hermite-Gauss光束[9]、Laguerre-Gauss光束[10]等傳輸特性的方法一致，本文主要研究Lommel-Gauss光束傳輸過程中的軸上光場分布解析解.

對式(26)中的振幅因子和相位因子作級數(shù)展開.對于η2?k2的情況，二者級數(shù)展開結果中只有(kω0)-2m(m=0,1,2,…,∞)及之前的項被保留，因而獲得m階非傍軸修正項[5-10].為了獲得軸上光場的二階非傍軸修正，此時m=2，即保留m=2及之前的項.在這樣的展開結果下，式(26)變形為

(27)

式(27)中：

(28)

G(0)(η,z)=1;

(29)

(30)

(31)

(32)

根據(jù)Weber積分公式[13-14]

(33)

式(33)中：

(34)

Γ(n+1)=n!.

(35)

對式(27)作進一步處理，得到Lommel-Gauss光束傳輸?shù)亩A非傍軸修正光場為

(36)

對應系數(shù)如下:

同理，可得到一階非傍軸修正光場為

(37)

零階非傍軸修正光場為

(38)

式(38)給出的零階非傍軸修正光場就是Lommel-Gauss光束傳輸傍軸的近似解.利用式(36)～式(37)給出的一階、二階非傍軸修正光場，可用于較為精確計算Lommel-Gauss光束非傍軸傳輸或近場傳輸?shù)妮S上光場分布.

圖1 Lommel-Gauss光束軸上光強分布

基于Lommel-Gauss光束軸上光場的零階、一階、二階非傍軸修正解式(36)～式(38)，取參數(shù)λ=632.8 nm,β=80 m-1和ω0=60 μm，計算Lommel-Gauss光束傳輸過程中的軸上強度分布.計算過程中，為使計算結果盡可能精確，理論上p值的選取要盡可能地大，但p值越大，相應的計算時間將增大.不過綜觀式(36)～式(38)可知，隨著p值的增大，求和表達式中的高階項對光強分布的影響將會越來越小.實際上，p>50的高階項基本不再影響光強分布的計算結果.本文取p=200，計算結果如圖1所示.從圖1中可看出，Lommel-Gauss光束在傳輸過程中，當傳輸距離較小時，發(fā)現(xiàn)傍軸近似結果和利用本文所推導的非傍軸修正表達式得到的結果存在較大差異.顯然，基于衍射理論研究光束近場傳輸時，非傍軸計算結果更為精確.但是，非傍軸理論較傍軸理論數(shù)學計算過程更為復雜.本文基于虛源技術給出的Lommel-Gauss光束的非傍軸傳輸校正項，對于精確、解析研究任意n階Lommel-Gauss光束的非傍軸傳輸有較為重要的理論價值.而隨著傳輸距離的增加，非傍軸修正后的計算結果與傍軸近似解越來越接近.這也意味著，當研究光束的遠場傳輸時，可以用傍軸近似解替代非傍軸修正解.以上結論與經(jīng)典的光學理論的相關論述相一致[15-19].此外，非傍軸修正后的計算結果與傍軸近似解在遠場計算結果的一致性，也間接證明了本文推導的Lommel-Gauss光束非傍軸傳輸表達式的正確性.

3 結 論

依據(jù)光束傳播的獨立性和疊加性原理，準無衍射Lommel-Gauss光束可以展開為無窮項Bessel光束的疊加形式.由于Bessel函數(shù)理論非常成熟，這為我們借助Bessel光束的性質研究Lommel-Gauss光束在自由空間中的傳輸特性提供了便利.本文通過引入一組能夠產生n階Lommel-Gauss光束的虛光源點，利用虛源法、格林函數(shù)法和Fourier-Bessel變換理論，通過建立對應的非齊次亥姆霍茲方程，計算得到n階Lommel-Gauss光束的非傍軸傳輸嚴格積分表達式.利用該積分表達式推導給出了Lommel-Gauss光束軸上光場分布的解析表達式.以二階非傍軸修正為例，得到n階Lommel-Gauss光束保留到二階非傍軸修正項的軸上光場分布圖.本文給出的準無衍射Lommel-Gauss光束非傍軸傳輸?shù)慕馕霰磉_式，為將這種新型光束更好地用于實際的科學研究奠定了理論基礎.