姜 薇，徐學(xué)軍，李亞智

(1.液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西 西安 710100；2.西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院,陜西 西安 710072)

0 引言

準(zhǔn)確模擬金屬的韌性斷裂行為已經(jīng)成為工程實(shí)踐中越來越迫切的需求，尤其是對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠性評(píng)估和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)。細(xì)觀損傷力學(xué)從材料內(nèi)部細(xì)觀缺陷的演化過程揭示裂紋起裂、擴(kuò)展直至斷裂的原因，建立基于機(jī)制的損傷模型，是準(zhǔn)確預(yù)測(cè)韌性斷裂最有潛力的方法之一。細(xì)觀層面，韌性斷裂通常是材料內(nèi)部微孔洞的形核、擴(kuò)張、變形及相互貫通一系列行為不斷積累的結(jié)果。韌性金屬在外部載荷作用下會(huì)表現(xiàn)出兩種依賴于應(yīng)力狀態(tài)的破壞機(jī)理[1-3]。高應(yīng)力三軸度下，孔洞體積擴(kuò)張及隨后的韌帶頸縮逐漸抵消基體的應(yīng)變強(qiáng)化作用，使材料性能弱化并在孔洞大面積貫通后迅速喪失承載能力，稱為內(nèi)部韌帶頸縮機(jī)制(inner-necking mechanism)。低應(yīng)力三軸度下，孔洞形狀會(huì)改變，表現(xiàn)為孔洞的旋轉(zhuǎn)、扭曲等，稱為孔洞剪切機(jī)理(void shearing mechanism)。

經(jīng)典GTN(Gurson-Tvergaard-Needleman)[4-5]模型考慮了完整的微孔洞萌生、長(zhǎng)大及貫通過程，能較好地預(yù)測(cè)中到高應(yīng)力三軸度下的韌性斷裂過程。該模型近年來得到了極大的發(fā)展和廣泛的應(yīng)用，Kim 等(2007)[6]借助于微孔洞細(xì)觀損傷模型分析了2024-T3鋁合金中的韌性斷裂過程；Nahshon和Hutchinson(2008)[7-8]對(duì)GTN模型進(jìn)行了擴(kuò)展，使之適用于剪切主導(dǎo)的應(yīng)力狀態(tài)；Jiang 等(2016)[2]基于GTN模型提出了一種適用于高、中、低甚至負(fù)應(yīng)力三軸度的新模型，可以模擬拉、壓、剪等多種載荷形式下的韌性破壞過程。但是，從光滑試樣得到的材料參數(shù)常常不能準(zhǔn)確預(yù)報(bào)裂紋試樣的破壞。這是由于初始完好的試樣與裂紋試樣在載荷作用下，應(yīng)力狀態(tài)具有極大的差異。應(yīng)用Needleman和Tvergaard[5]的雙線性孔洞貫通模型時(shí)，臨界孔洞體積分?jǐn)?shù)(fc)——作為材料內(nèi)部孔洞開始貫通的標(biāo)志(即材料宏觀失效的起點(diǎn))常被視作僅與材料相關(guān)的常數(shù)。然而許多研究都表明臨界孔洞體積分?jǐn)?shù)與應(yīng)力狀態(tài)、初始孔洞體積分?jǐn)?shù)、孔洞形狀、孔洞間距以及基體應(yīng)變強(qiáng)化指數(shù)等因素密切相關(guān)[8-10]。因而有必要針對(duì)含初始裂紋結(jié)構(gòu)的韌性斷裂問題，建立能夠考慮材料細(xì)觀結(jié)構(gòu)特征和應(yīng)力狀態(tài)影響的孔洞貫通準(zhǔn)則。

本文針對(duì)最常見的拉伸型裂紋，基于體胞計(jì)算結(jié)果建立了臨界宏觀等效應(yīng)變失效準(zhǔn)則，并確定出適合2524-T3鋁合金的參數(shù)。采用建立的準(zhǔn)則以及Thomason的塑性極限載荷準(zhǔn)則[12-13]對(duì)GTN模型進(jìn)行擴(kuò)充，提出了新的多孔質(zhì)塑性損傷模型——GTN-E模型(以臨界宏觀等效應(yīng)變準(zhǔn)則作為孔洞貫通條件的GTN模型)和GTN-L模型(以塑性極限載荷準(zhǔn)則作為孔洞貫通條件的GTN模型)。在這兩個(gè)模型中，孔洞貫通的起點(diǎn)不再被看作材料常數(shù)，而是分別由臨界宏觀等效應(yīng)變準(zhǔn)則和塑性極限載荷準(zhǔn)則自動(dòng)確定。最后，對(duì)2524-T3鋁合金薄板中的韌性多裂紋擴(kuò)展過程進(jìn)行模擬分析。

1 GTN模型

Gurson理論假設(shè)材料由基體和微孔洞兩部分組成，屈服面由等效應(yīng)力、靜水應(yīng)力以及損傷變量(孔洞體積分?jǐn)?shù)，f)共同決定。GTN屈服函數(shù)具有以下形式[4-5]

(1)

其中

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

2 臨界宏觀等效應(yīng)變準(zhǔn)則

采用均勻化思想，連續(xù)材料可近似看作由大量中心含孔洞的立方體代表性體積元RVE(representative volume element)，或稱為體胞元(cell)緊密堆積構(gòu)成，如圖1(a)所示。大粒子或夾雜的平均距離被看作體胞的邊長(zhǎng)。含裂紋體中，假設(shè)裂紋尖端前方分布著一層這樣的體胞，受高應(yīng)力三軸度和高塑性應(yīng)變雙重作用，靠近裂尖的孔洞會(huì)率先長(zhǎng)大，達(dá)到臨界狀態(tài)后，裂尖與孔洞之間的韌帶喪失承載力，發(fā)生頸縮進(jìn)而二者連通，裂紋向前擴(kuò)展。于是，考慮采用三維體胞計(jì)算得到的表征體胞韌帶頸縮失效的臨界宏觀等效應(yīng)變作為孔洞開始貫通(材料宏觀開始失效)的標(biāo)志，結(jié)合GTN模型模擬裂紋擴(kuò)展。

2.1 體胞分析

進(jìn)行體胞分析時(shí)，采用精細(xì)有限元網(wǎng)格模擬出一個(gè)含孔洞體胞的真實(shí)形狀，施加周期性邊界條件，分析孔洞在彈塑性基體中的變形歷程以及相關(guān)的細(xì)觀力學(xué)行為；體胞內(nèi)任意材料點(diǎn)上的細(xì)觀應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)分別用張量σ和ε表示，作用在體胞邊界上的宏觀應(yīng)力、應(yīng)變張量記作Σ和E，如圖1(b)所示。為滿足體胞元在宏觀材料中周期性分布的假設(shè)，需要施加邊界使體胞變形后的外表面保持平面且始終平行于初始外表面。為研究應(yīng)力狀態(tài)的影響，還需要使體胞的宏觀應(yīng)力三軸度(T)和Lode應(yīng)力參數(shù)(μ)在變形中保持恒定，不受大變形以及變形中剛度為負(fù)等因素的影響。這可以通過以下過程實(shí)現(xiàn)：①預(yù)先給定宏觀主應(yīng)力Σ3和一個(gè)確定的應(yīng)力狀態(tài)(T,μ)，解出相應(yīng)的主應(yīng)力比ψ1和ψ2；②體胞按照給定的主應(yīng)力比加載，采用ABAQUS/Standard中的Riks分析步進(jìn)行計(jì)算

(7)

(8)

(9)

(10)

式中：Σ1,Σ2,Σ3為宏觀主應(yīng)力；Σm為宏觀平均應(yīng)力；Σe為宏觀等效應(yīng)力；θ為羅德角。變形中任意時(shí)刻的孔洞體積分?jǐn)?shù)可以由解析公式[10]計(jì)算得

(11)

其中

(12)

式中:ΔVelastic為彈性靜水應(yīng)力引起的體胞體積改變；ν為泊松比；E為彈性模量；V0為初始體胞體積；V為當(dāng)前體胞體積。

圖1 體胞模型Fig.1 Cell models

2.2 臨界宏觀等效應(yīng)變準(zhǔn)則

為建立宏觀等效應(yīng)變準(zhǔn)則，采用三維立方體胞模型，對(duì)2524-T3鋁合金進(jìn)行了細(xì)觀力學(xué)分析。本文研究對(duì)象為拉伸載荷下的含裂紋體，裂紋尖端附近的材料處于高應(yīng)力三軸度狀態(tài)，此時(shí)Lode角對(duì)韌性斷裂的影響很小。因而，這里考慮不同應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，只對(duì)應(yīng)力三軸度T進(jìn)行了區(qū)分，Lode角參數(shù)僅考慮μ=-1(單軸拉伸或雙軸壓縮)的情況。預(yù)先采用有限元方法對(duì)本文各組試件在不同裂紋長(zhǎng)度時(shí)裂尖前方單元的應(yīng)力三軸度水平進(jìn)行了試計(jì)算，確定出裂紋擴(kuò)展過程中T的范圍在1～2之間。因此，計(jì)算中考慮了T=1,1.2,1.4,1.6,1.8 和2，共6種應(yīng)力狀態(tài)。初始孔洞體積分?jǐn)?shù)f0考慮了1.77×10-3，4.19×10-3，8.18×10-3和 1.41×10-2的四種情況。

(13)

式中Tave為材料點(diǎn)經(jīng)歷的平均應(yīng)力三軸度水平，由下式計(jì)算

(14)

(15)

圖2(b)給出了上述準(zhǔn)則以及體胞計(jì)算直接得到4種初始孔洞體積分?jǐn)?shù)體胞的結(jié)果。將與宏觀等效應(yīng)變失效準(zhǔn)則相結(jié)合的GTN模型稱為GTN-E模型。

圖2 2524-T3 鋁合金的臨界宏觀等效應(yīng)變準(zhǔn)則建立方法
Fig.2Establishment method of critical macroscopic equivalent strain criterion for 2524-T3 aluminum alloy

3 塑性極限載荷準(zhǔn)則

韌性斷裂機(jī)理研究表明，孔洞貫通是塑性應(yīng)變?cè)诳锥撮g韌帶上局部化帶來的瞬間塑性失穩(wěn)過程。Thomason(1985)[12]研究發(fā)現(xiàn)：拉伸主導(dǎo)的韌性斷裂過程中，當(dāng)材料內(nèi)部孔洞間的韌帶不能支撐由當(dāng)前應(yīng)力、應(yīng)變場(chǎng)分配的等效載荷時(shí)，會(huì)發(fā)生內(nèi)部頸縮并引起孔洞貫通。換言之，孔洞結(jié)束均勻長(zhǎng)大，體胞喪失穩(wěn)定的塑性變形，可以看作是孔洞開始貫通的標(biāo)志。這一臨界狀態(tài)可以由內(nèi)部韌帶達(dá)到塑性極限載荷(plastic limit-load)來表征，Thomason的孔洞貫通條件可以表示為

(16)

(17)

式中系數(shù)a和b與應(yīng)變強(qiáng)化指數(shù)n有關(guān)。式(17)給出的塑性極限載荷形式，含有體胞和孔洞的幾何特征參數(shù)，不便與GTN模型等多孔塑性損傷本構(gòu)結(jié)合使用。

體胞分析結(jié)果表明：高應(yīng)力三軸度時(shí)，初始為球形的孔洞在變形過程中基本能夠保持球形，但體積會(huì)明顯地長(zhǎng)大。假設(shè)孔洞在貫通前的變形過程中嚴(yán)格保持球體，由式(17)給出的塑性極限載荷準(zhǔn)則經(jīng)過如下數(shù)學(xué)推導(dǎo)可變形為僅含宏觀等效應(yīng)變的形式，方便地作為判斷孔洞貫通開始標(biāo)志。受z方向單軸拉伸的含孔洞立方體體胞，在x,y,z三個(gè)方向上的宏觀應(yīng)變?yōu)?/p>

(18)

于是，變形歷程中任意時(shí)刻體胞的體積變化率可以表示為

(19)

式中V0和V分別是體胞在初始和當(dāng)前時(shí)刻的體積。于是，當(dāng)前的孔洞體積可以表示為

Vvoid=fV0exp(Ex+Ey+Ez)

(20)

變形過程中，孔洞平均半徑為

(21)

同理可得

Lx=Ly=[L2exp(Ex+Ey)]1/2

(22)

定義幾何因子χ為孔洞直徑與體胞邊長(zhǎng)的比值，由式(21)和式(22)可得

(23)

若假設(shè)孔洞在貫通前的變形中始終保持球形(Rx=Ry=Rz)，則式(17)可以變形為

(24)

4 含多裂紋薄板的韌性斷裂行為預(yù)測(cè)

4.1 試驗(yàn)件與材料

所有試件板長(zhǎng)220 mm，寬50 mm，厚1.6 mm，分別考慮了一條、兩條和四條孔邊裂紋的情況，如圖3所示。每件試樣在長(zhǎng)度對(duì)稱截面上開兩個(gè)直徑為4 mm的圓孔，左側(cè)為1號(hào)孔，右側(cè)為2號(hào)孔。兩孔圓心間距24 mm，圓心距離板邊均為13 mm。W50-1和W50-2組試件在1號(hào)孔右側(cè)及2號(hào)孔左側(cè)預(yù)制裂紋，初始裂紋長(zhǎng)度見表1。W50-3組試件在1號(hào)孔和2號(hào)孔的左右兩側(cè)均預(yù)制裂紋，初始裂紋長(zhǎng)度見表2。W50-4組和W50-5組僅在1號(hào)孔的右側(cè)預(yù)制裂紋，初始裂紋長(zhǎng)度見表3。

經(jīng)測(cè)定，2524-T3鋁合金的拉伸性能常數(shù)為：楊氏模量E=68GPa，泊松比ν=0.33，初始屈服強(qiáng)度σ0=306.8 MPa。采用Ramberg-Osgood形式擬合拉伸性能試驗(yàn)中獲得的真實(shí)應(yīng)力-塑性應(yīng)變曲線

(25)

式中：擬合參數(shù)α=1.804；n=8.765。

圖3 W50試驗(yàn)件幾何尺寸Fig.3 Geometries of W50 specimens

表1 W50-1,2雙裂紋試驗(yàn)件初始裂紋長(zhǎng)度Tab.1 Initial crack length of the W50-1,2 double-crack specimens mm

表2 W50-3多裂紋試驗(yàn)件初始裂紋長(zhǎng)度Tab.2 Initial crack length of the W50-3 multi-crack specimens mm

表3 W50-4,5多裂紋試驗(yàn)件初始裂紋長(zhǎng)度Tab.3 Initial crack length of the W50-4,5 multi-crack specimens mm

*注：W50-5試件需要在1號(hào)孔右側(cè)預(yù)制較長(zhǎng)的疲勞裂紋，在疲勞載荷作用下1號(hào)孔左側(cè)出現(xiàn)了初始裂紋，為表中“+”后長(zhǎng)度;計(jì)算中初始裂紋取為實(shí)際預(yù)制的裂紋長(zhǎng)度。

4.2 計(jì)算結(jié)果與分析

圖4(a)將采用GTN-L和GTN-E損傷模型模擬W50-1和W50-2組試件裂紋擴(kuò)展過程得到的載荷-位移曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了對(duì)比。兩組試件在達(dá)到各自最大載荷之后，載荷明顯下降，但并未完全喪失承載能力。這是因?yàn)橹行牧鸭y連通后，截面未斷部分繼續(xù)承載，隨后載荷會(huì)有短暫上升，當(dāng)連通后的長(zhǎng)裂紋再次向前擴(kuò)展時(shí)載荷隨之下降，繼而試件完全斷裂。GTN-L和GTN-E損傷模型均模擬出了載荷-位移曲線的這一變化過程。圖4(b)為試驗(yàn)與計(jì)算得到的W50-3試件的載荷-位移曲線，兩種損傷模型均給出了與試驗(yàn)結(jié)果基本一致的預(yù)測(cè)：試件在達(dá)到最大載荷后迅速被拉斷。圖4(c)是試驗(yàn)和兩種損傷模型計(jì)算得到的W50-4和W50-5試件的載荷-位移曲線。在預(yù)制裂紋過程中，W50-5試件由于需要在1號(hào)孔右側(cè)預(yù)制較長(zhǎng)的疲勞裂紋，1號(hào)孔左側(cè)也在疲勞載荷作用下出現(xiàn)了初始裂紋，計(jì)算中初始裂紋取為實(shí)際預(yù)制的裂紋長(zhǎng)度。GTN-L和GTN-E損傷模型給出了與試驗(yàn)結(jié)果基本一致的載荷-位移曲線。W50-4試件中，裂紋首先在兩孔之間連通形成1條較長(zhǎng)的中心裂紋，然后試件被迅速拉斷；W50-5 試件中，1號(hào)孔右側(cè)裂紋在孔間韌帶上擴(kuò)展的同時(shí)，1號(hào)孔左側(cè)的疲勞裂紋亦擴(kuò)展至試件左側(cè)邊緣，形成一條較長(zhǎng)的邊裂紋后試件被迅速拉斷。

圖5給出了采用GTN-E模型計(jì)算得到的W50-3 試件的裂紋連通過程。由圖5(a)可知：a1和a2裂紋在夾持端位移達(dá)到1.3 mm時(shí)開始擴(kuò)展，1.8 mm時(shí)連通；a3和a4裂紋在夾持端位移達(dá)到1.4 mm時(shí)開始擴(kuò)展，進(jìn)而試件在夾持端位移為1.9 mm徹底拉斷。

由圖5(b)可知：a1和a2裂紋在載荷達(dá)到18.03 kN后開始擴(kuò)展，a3和a4裂紋在載荷達(dá)到18.16 kN后開始擴(kuò)展；隨后的短暫擴(kuò)展中由于應(yīng)變強(qiáng)化作用載荷會(huì)小幅上升，達(dá)到最大值18.30 kN后載荷隨裂紋擴(kuò)展迅速下降，a1和a2裂紋連通時(shí)載荷下降至11.93 kN。

圖4 試驗(yàn)件載荷—位移曲線Fig.4 Load-displacement curves of specimens

圖5 W50-3試件連通過程Fig.5 Coalescence process of the W50-3 specimen

5 結(jié)論

采用兩種考慮應(yīng)力狀態(tài)和細(xì)觀結(jié)構(gòu)特征影響的孔洞貫通準(zhǔn)則——臨界宏觀等效應(yīng)變準(zhǔn)則和塑性極限載荷準(zhǔn)則對(duì)經(jīng)典Gurson-Tvergaard-Needleman(GTN)模型進(jìn)行了擴(kuò)充，建立了能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)裂紋試樣韌性斷裂過程的GTN-E和GTN-L損傷模型。采用GTN-E和GTN-L損傷模型對(duì)不同初始裂紋形式的2524-T3鋁合金薄板試樣中的韌性多裂紋擴(kuò)展、連通過程進(jìn)行了數(shù)值分析，得出以下結(jié)論：

1)將采用損傷模型計(jì)算得到的各組試樣的全局載荷-位移曲線和相應(yīng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了對(duì)比，損傷模型均給出了與試驗(yàn)結(jié)果相吻合的預(yù)測(cè)。

2)以W50-3組試樣為代表，分析了多裂紋彼此之間的連通過程，給出了由GTN-E損傷模型計(jì)算得到的位移-裂尖位置、載荷-裂尖位置曲線。

以上結(jié)果顯示本文方法可以方便有效地對(duì)含裂紋薄板的剩余強(qiáng)度做出合理預(yù)測(cè)。