浙江

早在十五年前，在“數(shù)學(xué)通訊”上就提出高考數(shù)學(xué)命題的“六化”趨勢(shì)，即實(shí)際問題數(shù)學(xué)化、高等數(shù)學(xué)初等化、學(xué)科問題綜合化、問題內(nèi)容創(chuàng)新化、形式結(jié)構(gòu)開放化和自主探究課題化.如今，2019年高考數(shù)學(xué)大綱明確提出來的“六核四性一化”與“六化”屬性相同，觀點(diǎn)一致，2019年高考數(shù)學(xué)大綱中明確將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)滲透到高考數(shù)學(xué)命題之中，“在能力要求內(nèi)涵方面，增加了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的要求，增加了數(shù)學(xué)文化的要求.同時(shí)對(duì)能力要求進(jìn)行了加細(xì)說明，使能力要求更加明確具體”，提出了從數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)的科學(xué)與人文價(jià)值三個(gè)方面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，體現(xiàn)了知識(shí)與能力并重，科學(xué)與人文兼顧的精神，有利于引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)更加注重思想性、文化性、靈活性，有利于實(shí)現(xiàn)全面提升和培養(yǎng)學(xué)生綜合的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，高考與新課程改革的同步聯(lián)系，大綱修改契合課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂方向，2019年以前的各地高考數(shù)學(xué)命題已經(jīng)有所展示，2019年高考數(shù)學(xué)試題將把六大核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，直觀想象，運(yùn)算能力，數(shù)據(jù)分析”滲透于“基礎(chǔ)性，綜合性，應(yīng)用性，創(chuàng)新性，數(shù)學(xué)文化”之中，使之更加突出.

1.基礎(chǔ)性為數(shù)學(xué)理解之前提

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)突出對(duì)數(shù)學(xué)概念、基本運(yùn)算、基本性質(zhì)的整體理解、掌握與運(yùn)用，力求全面而有效，僅僅一知半解，死套公式可能就不行了，特別是教與學(xué)中的“題型+方法”的風(fēng)格要做改變，基礎(chǔ)性一定體現(xiàn)在對(duì)核心知識(shí)點(diǎn)的理解與掌握，對(duì)數(shù)學(xué)基本方法與推理過程完整全面的理解，高考數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性還體現(xiàn)在“數(shù)學(xué)抽象”“邏輯推理”“運(yùn)算能力”等核心素養(yǎng)上.

比如，集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)是一個(gè)非?；A(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，下列問題將其恰到好處地設(shè)計(jì)其中，

例1.(原創(chuàng))A6={(x1,x2,x3)|xi=1,2,3,4,5,6,i=1,2,3且6|x1x2x3}(“|”表示整除)，從集合A6中隨機(jī)抽取一個(gè)元素(x1,x2,x3)，使得12|(x1+x2+x3)的概率為

( )

滿足“12|(x1+x2+x3)”的元素只有(1，5，6)(2，4，6)(3，4，5)三類，

解讀：計(jì)算card(A6)是本題最核心、最基礎(chǔ)的部分，學(xué)生可能會(huì)用分類討論方式解決card(A6)的計(jì)算問題，但困難重重，失誤多多，然而利用集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算公式卻如此簡(jiǎn)潔恰當(dāng)！值得一提的是集合語言的抽象性也是學(xué)生思維的障礙點(diǎn)，將A6用另一種語言描述為“集合A6是由一枚骰子連續(xù)投三次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，其積被6整除而組成的元素全體.”

2.綜合性為有效復(fù)習(xí)之抓手

高考數(shù)學(xué)命題突出知識(shí)交匯處的融合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，在過去十多年的高考數(shù)學(xué)命題中，這一方面已展現(xiàn)得十分得體，綜合性不僅體現(xiàn)在命題本身的內(nèi)在需要，而且也體現(xiàn)在檢測(cè)學(xué)生面對(duì)綜合性問題的分析思考能力，化綜合為單一，化綜合為具體，化綜合為層層遞進(jìn).新課程高考數(shù)學(xué)題將數(shù)學(xué)知識(shí)融合或交匯變?yōu)橐环N趨勢(shì).比如，2013年四川題將程序框圖與抽樣的頻率分布圖融合，把數(shù)據(jù)收集方法與數(shù)學(xué)處理方法交織在一起；隨機(jī)變量的分布與統(tǒng)計(jì)和程序設(shè)計(jì)融合，反映統(tǒng)計(jì)工作者的實(shí)際工作的全過程；湖北題將正態(tài)分布與線性規(guī)劃融合；江西題將概率與向量交匯等，以此檢測(cè)考生應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，“數(shù)學(xué)建模”與“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)成為概率統(tǒng)計(jì)命題的重中之重.

例2.(2013·湖北卷理·20)假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800,502)的隨機(jī)變量，記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為p0.

(Ⅰ)求p0的值；

(參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ,σ2),有P(μ-σ

(Ⅱ)某客運(yùn)公司用A，B兩種型號(hào)的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長(zhǎng)途客運(yùn)業(yè)務(wù)，每車每天往返一次，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本分別為1 600元/輛和2 400元/輛.公司擬組建一個(gè)不超過21輛車的客運(yùn)車隊(duì)，并要求B型車不多于A型車7輛.若每天要以不小于p0的概率運(yùn)完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本最小，那么應(yīng)配備A型車、B型車各多少輛？

P(η≤2)=P(-2≤η≤2)+P(η≤-2)=P(-2≤η≤2)+P(η≥2)=P(-2≤η≤2)+(1-P(η≤2)),

2P(η≤2)=1+P(-2≤η≤2)=1.954 4,p0=P(η≤2)=0.977 2.

解法二：由于隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(800,502)，故有μ=800,σ=50,P(700

(Ⅱ)設(shè)配備A型車，B型車數(shù)量分別為x,y輛，則相應(yīng)的營(yíng)運(yùn)成本為1 600x+2 400y，依題意，x,y還需滿足x+y≤21,y≤x+7,P(X≤36x+60y)≥p0,

由(Ⅰ)知，p0=(X≤900)，故P(X≤36x+60y)≥p0等價(jià)于36x+60y≥900,

且使目標(biāo)函數(shù)z=1 600x+2 400y達(dá)到最小的x,y.

作可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示，可行域的三個(gè)頂點(diǎn)分別為P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)，

解讀：將概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)與線性規(guī)劃知識(shí)自然融合，避開現(xiàn)有應(yīng)用題的模式，保持適度創(chuàng)新，規(guī)避題型套路，強(qiáng)調(diào)通性通法，淡化特殊技巧，并不等于一味地迎合中學(xué)教學(xué)盛行的題型套路.試題采用“適度創(chuàng)新”和“規(guī)避模式”的做法，做到“新、變”但不怪，“新、變”而不難.題面形式：用概率p0將正態(tài)分布與線性規(guī)劃問題有機(jī)結(jié)合在一起.

3.應(yīng)用性為應(yīng)用能力之體驗(yàn)

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中滲透且突出數(shù)學(xué)建模意識(shí)、解決實(shí)際問題的能力與素養(yǎng)的檢測(cè)，自1995年數(shù)學(xué)應(yīng)用題進(jìn)入高考數(shù)學(xué)試卷以來，數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的教學(xué)與高考數(shù)學(xué)命題所占份額各地不盡相同，差異較大，然而，數(shù)學(xué)命題的應(yīng)用性不僅體現(xiàn)數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，而且也強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)內(nèi)部的知識(shí)與知識(shí)間的應(yīng)用，數(shù)學(xué)的三大語言(自然語言、符號(hào)語言、圖形語言)的綜合應(yīng)用.

( )

解讀：此題的創(chuàng)作突出自然語言、符號(hào)語言、圖形語言的融合，體現(xiàn)解析幾何、立體幾何和解三角形的綜合，通徑概念在教材上已介紹，將圓錐曲線與空間圖形有機(jī)結(jié)合，把三大語言應(yīng)用于圓錐曲線基本量與空間圖形中度量關(guān)系的融合交匯上，此例可以繼續(xù)挖掘，變換不同的三個(gè)點(diǎn)F1，A，B或頂點(diǎn)，A，B或中心，A，B等，曲線可由橢圓變成雙曲線或拋物線或其他曲線等，可以產(chǎn)生不同的數(shù)量關(guān)系.

4.創(chuàng)新性為拓展思維之巔峰

高考數(shù)學(xué)命題的最大特點(diǎn)在于它的創(chuàng)新性，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)突出設(shè)問角度的進(jìn)一步創(chuàng)新，設(shè)問條件的進(jìn)一步抽象，呈現(xiàn)出命題與研究性學(xué)習(xí)方法相融合，命題與數(shù)學(xué)模型的進(jìn)一步深化相融合，命題與探究性相融合，命題與時(shí)代氣息相融合等等.

例4.(原創(chuàng))在古運(yùn)河上建有許多形狀相同的拋物線型拱橋An(n=0，1，2，…)，經(jīng)測(cè)量知，相鄰兩座橋之間的距離an近似滿足an=800+150n(n=1，2，3，…).這些拱橋當(dāng)水面距拱頂5米時(shí)，橋洞水面寬為8米，每年汛期，船公都要考慮拱橋的通行問題.一只寬4米，裝有防汛器材的船，露出水面部分的高為0.75米.

(Ⅰ)要使該船能順利通過拱橋，試問水面距拱頂?shù)母叨戎辽賻酌祝?/p>

(Ⅱ)已知河水每小時(shí)上漲0.15米，船在靜水中的速度為0.4米/秒，水流速度為15米/分，若船從A0橋起錨順?biāo)叫袝r(shí)，河水開始上漲，試問船將在哪一座橋可能受阻？

(Ⅲ)若船通過An-1橋后，An橋可能受阻，你會(huì)采取什么措施使該船順利通過此橋？(船長(zhǎng)、橋?qū)?、采取措施所用時(shí)間忽略不計(jì))

(Ⅲ)當(dāng)船通過An-1橋后，發(fā)現(xiàn)船可能在An橋受阻，船公可以立即采取加快船速的方法；或者給船加載使船體下沉(不超過0.75米)等方法，使船順利通過An橋，此答案不唯一.

解讀：浙江許多城市都是水鄉(xiāng)、橋鄉(xiāng)，由景生題，編制上述問題.問題以綜合分析能力立意，將數(shù)列、拋物線、方程等知識(shí)融為一體，主要測(cè)試學(xué)生的閱讀理解能力、綜合應(yīng)用能力及數(shù)學(xué)思維能力，包括思維的嚴(yán)密性：第(Ⅰ)問容易漏掉0.75，第(Ⅱ)問容易錯(cuò)將n定為19；思維的發(fā)散性：只要將第(Ⅱ)問中的“順?biāo)眲h除，學(xué)生需要考慮兩種情形：順?biāo)湍嫠凰季S的創(chuàng)造性：第(Ⅲ)問既測(cè)試學(xué)生的綜合素質(zhì)，又為學(xué)生的創(chuàng)新思維提供了空間，使問題具有開放性和廣泛性.

5.數(shù)學(xué)文化為提升素養(yǎng)之韻

我國(guó)進(jìn)入新時(shí)代，在基礎(chǔ)教育中突出“以德育人”，如何將數(shù)學(xué)的教育功能滲透于高考數(shù)學(xué)之中是數(shù)學(xué)命題專家一直在探索的課題，為此，高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)突出提煉數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)思想，突出數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化的滲透，王梓坤先生曾說：“數(shù)學(xué)文化具有比數(shù)學(xué)知識(shí)體系更為豐富和深邃的文化內(nèi)涵，數(shù)學(xué)文化是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、能力和素養(yǎng)等概念的高度概括.”可見，數(shù)學(xué)文化和傳統(tǒng)的命題素材并不沖突，從時(shí)間跨度來看，從古代到現(xiàn)代，只要是精華，在數(shù)學(xué)命題時(shí)就有繼承的必要，毫無疑問，在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中加5%的數(shù)學(xué)文化傳承的試題，給予學(xué)生數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的傳授、數(shù)學(xué)解題方法的傳授是必要的，但在介紹數(shù)學(xué)概念的同時(shí)，滲透數(shù)學(xué)文化，滲透中華數(shù)學(xué)文化的經(jīng)典也是必要的.

例5.(2011·湖北卷理·15)給n個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色.當(dāng)n≤4時(shí)，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示：

由此推斷，當(dāng)n=6時(shí)，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有________種，至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的著色方案共有________種.(結(jié)果用數(shù)值表示)

解析：首先將題讀懂.為使黑色正方形互不相鄰：

n=1時(shí)，每列只1個(gè)小方格，僅有黑，白各一個(gè)小方格，共2種形式；

n=2時(shí)，每列2個(gè)小方格，至多只能將1個(gè)方格著黑，故有白，黑；黑，白；白，白3種形式；

n=3時(shí)，每列3個(gè)小方格，有2格著黑的1種，一格著黑的3種，全白的1種，共5種形式；

n=4時(shí)，每列4個(gè)小方格，有2格著黑的3種，1格著黑的4種，全白的1種，共計(jì)3+4+1=8種形式;

以上共計(jì)4+10+6+1=21種形式.此外，不受限制的著色方案，每個(gè)小方塊都有黑，白兩種著色方案，所以6個(gè)小方塊共有26=64種著色方案.如前所述，其中黑色正方形互不相鄰的著色方案有21種，故至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的著色方案共有64-21=43種.

觀察研究當(dāng)n=1,2,3,4,…時(shí)符合題意的著色方案，其數(shù)量依次為2,3,5,8,13,21，….這是我們多么熟悉的黃金數(shù)列，也就是n≥2時(shí)，每后一項(xiàng)等于其前2項(xiàng)之和.如果考生們運(yùn)用此方案，就能夠在幾秒鐘內(nèi)找到正確答案.

解讀：該題一方面可以看成是涂色問題，運(yùn)用排列組合相關(guān)知識(shí)可以解答；另一方面可以找出規(guī)律，發(fā)現(xiàn)這其實(shí)是一個(gè)斐波那契數(shù)列問題，運(yùn)用數(shù)列相關(guān)知識(shí)解決，所以此題是一道典型的具有數(shù)學(xué)文化背景的高考試題.其創(chuàng)新之處就是在四色問題和斐波那契數(shù)列的基礎(chǔ)上，以圖形為依托，表面上是一道普通的涂色問題，考查的是排列組合知識(shí)；實(shí)質(zhì)上通過創(chuàng)設(shè)一個(gè)斐波那契數(shù)列的問題情境，考查學(xué)生的歸納猜想能力和合情推理意識(shí).從命題的角度講，該題基于數(shù)學(xué)文化，屬于經(jīng)典問題改造，這種改造，主要是形式上的，但是這種改造仍使很多考生不適應(yīng)，究其原因，學(xué)生或者是缺乏數(shù)學(xué)文化的素養(yǎng)，或者是不能透過表面現(xiàn)象去洞察問題的實(shí)質(zhì).