安徽

孔子曰：“不憤不啟,不悱不發(fā).”問(wèn)題情境，就是“憤”和“悱”的情境，創(chuàng)設(shè)怎樣的情境才能讓學(xué)生在心靈深處真正地理解？為了解決這個(gè)問(wèn)題，以特級(jí)教師唐錄義為核心的安徽省唐錄義名師工作室提出“錯(cuò)亦有情，誤中悟道”的課堂創(chuàng)設(shè)模式，即創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，以錯(cuò)題為導(dǎo)向，讓學(xué)生在錯(cuò)解中悟道，在錯(cuò)解中提升，在錯(cuò)解中升華.這個(gè)模式把設(shè)置問(wèn)題情境的過(guò)程分為六個(gè)步驟：

第一步，考點(diǎn)涉及：指出案例中所涉及的考點(diǎn)、知識(shí)內(nèi)容，以便學(xué)生由此在自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中提取解決問(wèn)題相應(yīng)的知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)等信息，為思考提供方向，有的放矢.

第二步，錯(cuò)解呈現(xiàn)：將案例中錯(cuò)誤解答的過(guò)程完整展示出來(lái).

第三步，錯(cuò)點(diǎn)查找：讓學(xué)生仔細(xì)閱讀錯(cuò)解呈現(xiàn)，將其中的錯(cuò)誤之處勾畫(huà)出來(lái).錯(cuò)點(diǎn)查找的方法有順查法——自題設(shè)出發(fā)，指向結(jié)論，順藤摸瓜，逐步排查，找出錯(cuò)點(diǎn).逆查法——從結(jié)果入手，倒過(guò)來(lái)逐步逆推，再看條件是否用完，直到查出錯(cuò)點(diǎn).分段法——把解題過(guò)程分成若干段，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，先查易錯(cuò)段位.

第四步，出錯(cuò)歸因：對(duì)查出的錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行剖析，分析致錯(cuò)的深層原因，從雙基性失誤、策略性失誤、心理性失誤、邏輯性失誤等四個(gè)方面進(jìn)行出錯(cuò)歸因分析.

第五步，正解參考：要求學(xué)生先做出答案，再閱讀案例中提供的正解，將自己的解答與案例提供的解答進(jìn)行比較.

第六步，反思總結(jié)：對(duì)于“錯(cuò)”之所以“錯(cuò)”剖析得越深，那么對(duì)于“對(duì)”之所以“對(duì)”也就悟得越透.在前五步糾錯(cuò)過(guò)程中獲得心得體會(huì)，獲得思維啟迪，獲得方法啟迪，獲得思想啟迪的基礎(chǔ)上，再進(jìn)一步進(jìn)行深刻反思，認(rèn)真總結(jié)，總結(jié)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、防范錯(cuò)誤、糾正錯(cuò)誤、杜絕錯(cuò)誤的方法，通過(guò)舉一反三、觸類(lèi)旁通，悟出正確解決問(wèn)題的通性通法.

本文就是誤中悟教育方式操作總結(jié)，包含兩個(gè)部分：課堂教學(xué)的引導(dǎo)和課后訓(xùn)練的設(shè)計(jì).

1.課堂教學(xué)的引導(dǎo)

1.1概念課：欲擒故縱，讓學(xué)生在出錯(cuò)后猛醒

在教學(xué)“函數(shù)的概念”時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)映射概念認(rèn)識(shí)模糊，筆者在教學(xué)時(shí)故意插入一個(gè)《誤中悟》的一個(gè)案例：先做好PPT，讓學(xué)生用10分鐘的時(shí)間閱讀PPT教材，再讓同學(xué)辨析、討論，最后師生共同總結(jié).

【例1】設(shè)M={a，b，c}，N={-2,0,2},求：

(Ⅰ)從M到N的映射種數(shù)；

(Ⅱ)從M到N的映射滿足f(a)>f(b)≥f(c),試確定這樣的映射f的種數(shù).

【錯(cuò)點(diǎn)查找】(請(qǐng)仔細(xì)閱讀上面的“錯(cuò)解呈現(xiàn)”，并將其中錯(cuò)誤之處勾畫(huà)出來(lái))沒(méi)有找全滿足條件的映射個(gè)數(shù)，關(guān)鍵是對(duì)映射概念認(rèn)識(shí)不清，映射的概念要求集合M中元素必須要有象，而且只能有一個(gè)象，而集合N中的元素不一定每個(gè)都有原象.

【正解參考】(Ⅰ)由于M={a，b，c}，N={-2,0,2}，結(jié)合映射的概念，一共有27種映射.

【錯(cuò)點(diǎn)查找】(請(qǐng)仔細(xì)閱讀上面的“錯(cuò)解呈現(xiàn)”，并將其中錯(cuò)誤之處勾畫(huà)出來(lái))錯(cuò)誤的主要原因是對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義理解不清，直接套用公式.

【出錯(cuò)歸因】知識(shí)性失誤，認(rèn)知結(jié)構(gòu)欠缺，忽視導(dǎo)數(shù)的來(lái)龍去脈，導(dǎo)致邏輯性失誤.

=-2logae.

1.2習(xí)題課：設(shè)疑質(zhì)疑，讓思維在錯(cuò)解中提升

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟,教會(huì)學(xué)生解題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù).同時(shí),由于數(shù)學(xué)知識(shí)嚴(yán)密的邏輯性與高度的概括性,在例、習(xí)題中,還隱藏很多沒(méi)寫(xiě)明的東西.即使最簡(jiǎn)單的例、習(xí)題里,也存在著可發(fā)掘的因素,而這些往往并不是學(xué)生們所能領(lǐng)會(huì)的.因此,在誤中悟教學(xué)課堂中設(shè)計(jì)一些有特點(diǎn)的習(xí)題,通過(guò)錯(cuò)解的方式呈現(xiàn)在學(xué)生面前，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、挖掘錯(cuò)誤背后的潛在因素，讓學(xué)生在錯(cuò)解中理解數(shù)學(xué).

【錯(cuò)解呈現(xiàn)】f(f(a))=|2f(a)-1|，得到f(a)≤1.

當(dāng)a≤1時(shí)，|2a-1|≤1?a≤1；

【錯(cuò)點(diǎn)查找】(請(qǐng)仔細(xì)閱讀上面的“錯(cuò)解呈現(xiàn)”，并將其中錯(cuò)誤之處勾畫(huà)出來(lái))解題者由f(x)的對(duì)應(yīng)法則，f(f(a))=|2f(a)-1|，得到f(a)≤1.這個(gè)固然可以，但解題者忽略了f(a)>1時(shí)f(f(a))=|2f(a)-1|也可能成立，即f(a)≤1只是原式成立的充分條件，而不是充要條件.

【出錯(cuò)歸因】認(rèn)知結(jié)構(gòu)欠缺，導(dǎo)致邏輯性失誤.本題受結(jié)構(gòu)的影響，容易導(dǎo)致認(rèn)知結(jié)構(gòu)欠缺，從而忽略了問(wèn)題的另一個(gè)方向，導(dǎo)致解題的失誤.

( )

( )

A.16 B.18

【考點(diǎn)涉及】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值.

【錯(cuò)點(diǎn)查找】(請(qǐng)仔細(xì)閱讀上面的“錯(cuò)解呈現(xiàn)”，并將其中錯(cuò)誤之處勾畫(huà)出來(lái))錯(cuò)解誤以為在約束條件2m+n-12≤0，m+2n-18≤0，m≥0，n≥0下mn的最大值在可行域的端點(diǎn)處取得，而沒(méi)有針對(duì)問(wèn)題作具體的分析，草率得出結(jié)論.

【出錯(cuò)歸因】理解膚淺，思維慣性、僵化，忽略試題中的條件，屬于心理性失誤.

【反思總結(jié)】本題的本質(zhì)是一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題：在約束條件下2m+n-12≤0，m+2n-18≤0，m≥0，n≥0，求mn最大值的問(wèn)題，在習(xí)慣性思維的作用下，容易產(chǎn)生在區(qū)域的端點(diǎn)處取得最大值的錯(cuò)解.問(wèn)題的解決取決于認(rèn)真審題，提煉出線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型，同時(shí)具體問(wèn)題具體分析，不可套用目標(biāo)函數(shù)為一次函數(shù)的問(wèn)題模式.審題是解題的基礎(chǔ)，需要認(rèn)真閱讀，仔細(xì)推敲，完全明確問(wèn)題的文字陳述和符號(hào)的含義，準(zhǔn)確把握問(wèn)題的條件和結(jié)論，必要時(shí)還要適當(dāng)畫(huà)出圖表，列舉、提煉出問(wèn)題的關(guān)鍵，形成題目脈絡(luò)，綱舉目張.

1.3復(fù)習(xí)課：投石問(wèn)路，讓能力在思辨中提升

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)不是簡(jiǎn)單的重復(fù)，它是學(xué)生認(rèn)知的深化和提高，要把舊知識(shí)進(jìn)行整理歸納，將平時(shí)相對(duì)獨(dú)立的知識(shí)點(diǎn)串成線、連成片、結(jié)成網(wǎng)、把復(fù)習(xí)教學(xué)過(guò)程組織成學(xué)生的再認(rèn)識(shí)過(guò)程，從更高的層次，更新的角度進(jìn)一步掌握，理解已學(xué)過(guò)的知識(shí)和技能，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.誤中悟的復(fù)習(xí)課的問(wèn)題設(shè)置就是運(yùn)用錯(cuò)解進(jìn)行復(fù)習(xí)，就是圍繞著探究目標(biāo)，促進(jìn)學(xué)生不斷達(dá)成探究目標(biāo)，通過(guò)一系列的相互聯(lián)系的錯(cuò)解引發(fā)學(xué)生有層次的思考，拓展學(xué)生思維的深度和廣度.本文以高一數(shù)學(xué)函數(shù)的復(fù)習(xí)為例設(shè)置幾個(gè)案例供大家參考.

【考點(diǎn)涉及】二次函數(shù)在區(qū)間上的最值.

【出錯(cuò)歸因】心理性失誤：理解不透，忽略隱含條件.一元二次方程韋達(dá)定理的應(yīng)用是在判別式Δ≥0的前提之下建立的，解題時(shí)不可疏忽，不可漏掉這個(gè)關(guān)鍵條件.

因?yàn)榉匠?x2-4mx+m+2=0有兩根，故Δ=(-4m)2-

4·4(m+2)≥0，得m≥2或m≤-1，

【反思總結(jié)】一元二次方程根的判別式可以用來(lái)判定方程根的情況，應(yīng)用極其廣泛.學(xué)生在應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系解有關(guān)一元二次方程的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常常忽視判別式的作用，以致給解題帶來(lái)不必要的失誤.

【考點(diǎn)涉及】函數(shù)圖象、函數(shù)的值域、數(shù)形結(jié)合.

【錯(cuò)點(diǎn)查找】(請(qǐng)仔細(xì)閱讀上面的“錯(cuò)解呈現(xiàn)”，并將其中錯(cuò)誤之處勾畫(huà)出來(lái))上述解法中，只注意到函數(shù)值的對(duì)應(yīng)，而忽略了函數(shù)圖象的變化趨勢(shì).

【出錯(cuò)歸因】未著眼問(wèn)題本質(zhì)，本題的本質(zhì)是函數(shù)單調(diào)性和奇偶性、值域的結(jié)合；解題角度不當(dāng)，僅從對(duì)應(yīng)關(guān)系入手，而不是從圖象中看清試題的本質(zhì).

根據(jù)圖象可得到滿足題意的整數(shù)對(duì)(a,b)有：(-2,2),(-2,1),(-2,0),(-1,2),(0,2)，共五對(duì).

【反思總結(jié)】我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬(wàn)事休”.數(shù)學(xué)中,數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對(duì)象,它們之間有著十分密切的聯(lián)系,在一定條件下,數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化,相互滲透.本題中，如果沒(méi)有函數(shù)圖象，則整個(gè)解題過(guò)程就是霧里看花，讓人摸不著頭腦.

2.課后訓(xùn)練的設(shè)計(jì)

誤中悟理論認(rèn)為：課后訓(xùn)練是有目的、有指導(dǎo)、有組織的學(xué)習(xí)活動(dòng)，是學(xué)生掌握知識(shí)、形成技能、發(fā)展智力的基本途徑.因而，提高練習(xí)的效率，是提高教學(xué)質(zhì)量的重要保證，高效練習(xí)的目的是鞏固和加強(qiáng)新知，是新授課的補(bǔ)充和延續(xù).因此誤中悟的課后訓(xùn)練是對(duì)傳統(tǒng)的課后練習(xí)的一種提升和加強(qiáng)，它的設(shè)計(jì)具有以下特點(diǎn)：

(1)多一些問(wèn)題解決，少一些理論操作.新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：練習(xí)的設(shè)計(jì)要圍繞著問(wèn)題解決而設(shè)計(jì)，而且問(wèn)題解決也成為考試考查的內(nèi)容之一.誤中悟的課后訓(xùn)練與常規(guī)的練習(xí)的主要區(qū)別之一是：練習(xí)著重尋求答案，而誤中悟的課后設(shè)計(jì)重點(diǎn)在于解決問(wèn)題的過(guò)程，重點(diǎn)是如何突破認(rèn)知上的瓶頸.

【例7】函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，則

( )

A.a=-3,b=3

B.a=4,b=-11

C.a=-4,b=11

D.a=-3,b=3或a=4,b=-11

【錯(cuò)解呈現(xiàn)】函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，則f′(x)=3x2+2ax+b,f′(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b+a2=10，解得a=-3,b=3或a=4,b=-11，故選D.

【正解參考】B.

(2)課后訓(xùn)練要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.訓(xùn)練要根據(jù)知識(shí)的結(jié)構(gòu)特征和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律及新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求精心設(shè)計(jì)練習(xí)，做到由淺到深，有層次，有梯度，環(huán)環(huán)相扣.通過(guò)多層次的訓(xùn)練，使學(xué)生在簡(jiǎn)單運(yùn)用、綜合運(yùn)用、解決問(wèn)題、擴(kuò)展創(chuàng)新的過(guò)程中，理解和掌握知識(shí)，能力得到發(fā)展，同時(shí)也要照顧到不同層次的學(xué)生的學(xué)習(xí)水平.

【例8】如圖是導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象，試找出函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)，并指出哪些是極大值點(diǎn)，哪些是極小值點(diǎn).

【錯(cuò)解呈現(xiàn)】如圖易知，函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a,x1),(x3,x5),(x6,b)，單調(diào)遞減區(qū)間為(x1,x3),(x5,x6)，極值點(diǎn)分別為x1,x3,x5,x6.

【正解參考】函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(a,x2),(x4,b)單調(diào)減區(qū)間為(x2,x4)；極大值點(diǎn)為x2極小值點(diǎn)為x4.

(3)課后訓(xùn)練要有針對(duì)性.訓(xùn)練的針對(duì)性是指練習(xí)要有的放矢，對(duì)學(xué)生易錯(cuò)的地方設(shè)計(jì)課后訓(xùn)練，以便幫助學(xué)生掌握知識(shí)，避免盲目性.

在高三理科一次測(cè)驗(yàn)中，筆者選用了2014年高考天津卷理科數(shù)學(xué)第21題，把它的第一問(wèn)改編為一道選擇題：

已知函數(shù)h(x)=x-aex有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是

( )

A.(0,e-1) B.(e-1,+∞)

C.(-∞,e-1) D.(0,+∞)

沒(méi)想到，這道題的得分率很低，更讓人百思不得其解的是，有近一半的同學(xué)選了C答案.

在講解這個(gè)題目時(shí)，筆者表達(dá)了對(duì)同學(xué)們答題情況的困惑.這時(shí)，一個(gè)成績(jī)中等的同學(xué)舉手了，他說(shuō)為什么他用導(dǎo)數(shù)的方法，求得答案應(yīng)該是C呢，其解法如下：

這是用導(dǎo)數(shù)方法解題的一個(gè)常見(jiàn)錯(cuò)誤，能不能正確地作出函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵，學(xué)生在作圖的時(shí)候只是關(guān)注了函數(shù)的單調(diào)性，而沒(méi)有關(guān)注函數(shù)的變化趨勢(shì).

面對(duì)大批學(xué)生犯的同樣錯(cuò)誤，筆者心想，僅就一個(gè)例子，不足以糾正學(xué)生錯(cuò)誤的行為，筆者課后就此問(wèn)題設(shè)計(jì)了幾個(gè)案例.

作業(yè)：1.用分離變量的方法討論關(guān)于x的方程x2-alnx=0(a∈R)的解的個(gè)數(shù).

2.討論關(guān)于x的方程a=xlnx(a∈R)的解的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.