陜西

隨著我國(guó)發(fā)射的“嫦娥四號(hào)”登月探測(cè)器在月球背面成功軟著陸，萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用問(wèn)題必將成為高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。雖然此類(lèi)題目難度不大，但是學(xué)生在處理此類(lèi)問(wèn)題時(shí)不能快速、準(zhǔn)確地建立物理模型，胡亂代入“黃金代換”公式、盲目利用萬(wàn)有引力提供向心力、解題效率不高等現(xiàn)象普遍存在。本文對(duì)十年高考真題中萬(wàn)有引力應(yīng)用題目進(jìn)行了模型歸類(lèi)和例析，以供參考。

一、“定點(diǎn)”類(lèi)模型

定點(diǎn)類(lèi)模型是指在宇宙空間某一位置對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究，常利用萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系處理此類(lèi)問(wèn)題。

1.地球表面附近“定點(diǎn)”

【例1】(2014年全國(guó)卷Ⅱ)假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，已知地球表面的重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g；地球自轉(zhuǎn)的周期為T(mén)，引力常數(shù)為G，則地球的密度為

( )

【點(diǎn)評(píng)】如果題目指明具體位置的重力加速度，如兩極、赤道、某緯度等，則不能忽略地球的自轉(zhuǎn)。此時(shí)只有在兩極萬(wàn)有引力等于重力，即“黃金代換”公式成立；其余位置萬(wàn)有引力等于重力和自轉(zhuǎn)向心力的矢量和，“黃金代換”公式不成立。

( )

【點(diǎn)評(píng)】本題中小球拋出的位置“在某行星和地球上相對(duì)于各自水平地面附近”，還有一些題目給出的位置“在地球表面”，這些位置含糊不具體，雖然題目沒(méi)有說(shuō)明，但一定是忽略了地球的自轉(zhuǎn)，萬(wàn)有引力等于重力，“黃金代換”公式成立。

2.地球內(nèi)部“定點(diǎn)”

【例3】(2012年全國(guó)卷Ⅰ)假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。一礦井深度為d。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零。礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為

( )

3.地球上空“定點(diǎn)”

【例4】(2015年重慶卷)宇航員王亞平在“天宮1號(hào)”飛船內(nèi)進(jìn)行了我國(guó)首次太空授課，演示了一些完全失重狀態(tài)下的物理現(xiàn)象。若飛船質(zhì)量為m，距地面高度為h，地球質(zhì)量為M，半徑為R，引力常量為G，則飛船所在處的重力加速度大小為

( )

二、“環(huán)繞”類(lèi)模型

環(huán)繞類(lèi)模型是指衛(wèi)星離開(kāi)地面，只在萬(wàn)有引力作用下繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。常利用萬(wàn)有引力提供向心力處理此類(lèi)問(wèn)題。

1.地球表面(近地)環(huán)繞

【例5】(2018年全國(guó)卷Ⅱ)2018年2月，我國(guó)500 m口徑射電望遠(yuǎn)鏡(天眼)發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318+0253”，其自轉(zhuǎn)周期T=5.19 ms。假設(shè)星體為質(zhì)量均勻分布的球體，已知萬(wàn)有引力常量為6.67×10-11N·m2/kg2。以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值約為

( )

A.5×109kg/m3B.5×1012kg/m3

C.5×1015kg/m3D.5×1018kg/m3

2.地球上空(遠(yuǎn)地)環(huán)繞

【例6】(2013年海南卷)“北斗”衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)由地球靜止軌道衛(wèi)星(同步衛(wèi)星)、中軌道衛(wèi)星和傾斜同步衛(wèi)星組成。地球靜止軌道衛(wèi)星和中軌道衛(wèi)星都在圓軌道上運(yùn)行，它們距地面的高度分別約為地球半徑的6倍和3.4倍，下列說(shuō)法中正確的是

( )

A.靜止軌道衛(wèi)星的周期約為中軌道衛(wèi)星的2倍

B.靜止軌道衛(wèi)星的線速度大小約為中軌道衛(wèi)星的2倍

C.靜止軌道衛(wèi)星的角速度大小約為中軌道衛(wèi)星的1/7

D.靜止軌道衛(wèi)星的向心加速度大小約為中軌道衛(wèi)星的1/7

【點(diǎn)評(píng)】衛(wèi)星繞同一中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)有“高軌低速(v、ω、a)大周期(T)”的特點(diǎn)。

3.“雙星”環(huán)繞

【例7】(2018年全國(guó)卷Ⅰ)2017年，人類(lèi)第一次直接探測(cè)到來(lái)自雙中子星合并的引力波。根據(jù)科學(xué)家們復(fù)原的過(guò)程，在兩顆中子星合并前約100 s時(shí)，它們相距約400 km，繞二者連線上的某點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)動(dòng)12圈，將兩顆中子星都看作是質(zhì)量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬(wàn)有引力常量并利用牛頓力學(xué)知識(shí)，可以估算出這一時(shí)刻兩顆中子星

( )

A.質(zhì)量之積 B.質(zhì)量之和

C.速率之和 D.各自的自轉(zhuǎn)角速度

【點(diǎn)評(píng)】雙星各自所需的向心力由彼此間的萬(wàn)有引力相互提供。

三、“定點(diǎn)”與“環(huán)繞”模型綜合類(lèi)

【例8】(2015年天津卷)P1、P2為相距遙遠(yuǎn)的兩顆行星，距各自表面相同高度處各有一顆衛(wèi)星s1、s2做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。圖中縱坐標(biāo)表示行星對(duì)周?chē)臻g各處物體的引力產(chǎn)生的加速度a，橫坐標(biāo)表示物體到行星中心的距離r的平方，兩條曲線分別表示P1、P2周?chē)腶與r2的反比關(guān)系，它們左端點(diǎn)橫坐標(biāo)相同。則

( )

A.P1的平均密度比P2的大

B.P1的“第一宇宙速度”比P2的小

C.s1的向心加速度比s2的大

D.s1的公轉(zhuǎn)周期比s2的大

【點(diǎn)評(píng)】本題是表面(近地)“環(huán)繞”與地球上空(遠(yuǎn)地)環(huán)繞的綜合問(wèn)題。

四、結(jié)語(yǔ)