呂蓮花

（安徽省宣城市第十二中學(xué)）

數(shù)學(xué)教育要盡可能引導(dǎo)學(xué)生理解解決問(wèn)題的思考過(guò)程，教師在講授習(xí)題時(shí)，如果將答案直接給出，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)就像波利亞形容的“帽子里的兔子”一樣，是變魔術(shù)變出來(lái)的.沒(méi)有發(fā)現(xiàn)的理由，沒(méi)有思考的過(guò)程，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是沒(méi)有說(shuō)服力的.解答題不像證明題那樣可以從結(jié)論入手，其沒(méi)有結(jié)論特點(diǎn)，無(wú)法給予學(xué)生逆向思維的思考方式，因此輔助線的作法就更不容易想到.這就像走迷宮一樣，只知道入口所在，而不知道出口所在，想成功走出迷宮就很難實(shí)現(xiàn)，過(guò)程中也會(huì)受到更多阻礙.但是如果可以找到出口，那么走迷宮的過(guò)程就有了方向感，也更容易成功，必要的時(shí)候還可以同時(shí)以入口和出口為起點(diǎn)，雙向出發(fā)，在中間找到匯合點(diǎn).或者有了出口的方向性指引，就努力朝著一個(gè)方向走，這樣問(wèn)題就容易解決了.下面以2018年廣東省廣州市中考試題第25題為例，對(duì)如何利用上述方法走出迷宮，做以相關(guān)的分析.

一、試題再現(xiàn)

題目如圖1，在四邊形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC.

（1）求∠A+∠C的度數(shù)；

（2）連接BD，探究AD，BD，CD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）若AB=1，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足AE2=BE2+CE2，求點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度.

圖1

二、思路分析

1.觀察條件，尋找方向

首先，觀察題目給出的已知條件：（1）∠B=60°；（2）∠D=30°；（3）AB=BC.可以將條件（1）和（2）組合放在四邊形ABCD中考慮，也就是四邊形ABCD已知兩個(gè)對(duì)角∠B=60°，∠D=30°，那么根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，可知∠A+∠C=270°.因此第（1）小題迎刃而解.

其次，將條件（1）和（3）組合，如圖2，連接AC，得到△ABC是等邊三角形.也就可以得到：（4）AB=BC=AC；（5）∠B=∠BAC=∠BCA=60°.

圖2

條件（4）和條件（5）在第（1）小題的解題中沒(méi)有用到，那么必然會(huì)在第（2）小題或者第（3）小題的解題過(guò)程中使用.

在第（2）小題中，需要討論線段AD，BD，CD之間的關(guān)系.如圖3，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)并不能將線段AD，BD，CD之間的關(guān)系和條件（4）（5）聯(lián)系上.因?yàn)椤螦DC=30°，所以可以得出點(diǎn)D是一個(gè)不固定的點(diǎn)，思考可以得出點(diǎn)D的軌跡應(yīng)該是一條在以線段AC為弦的圓上的圓弧，且所對(duì)圓心角的度數(shù)是300°.

圖3

2.猜測(cè)答案，定向出口

此時(shí)就是走迷宮的中間階段，從入口出發(fā)的路已經(jīng)走到盡頭，走到了一個(gè)看似死胡同的位置，此時(shí)只能尋找出口，確定應(yīng)該朝哪個(gè)方向走.

觀察圖形，使用猜測(cè)的方法確定出口.根據(jù)常見(jiàn)的線段之間的關(guān)系，以及線段AD，BD，CD的長(zhǎng)短，猜測(cè)其之間可能存在以下兩種關(guān)系：（1）AD+CD=BD；（2）AD2+CD2=BD2.因?yàn)辄c(diǎn)D是動(dòng)點(diǎn)，所以線段AD和線段CD的長(zhǎng)度也會(huì)隨之改變，因此排除關(guān)系（1）.根據(jù)線段的長(zhǎng)短關(guān)系，及其之間的變化關(guān)系，猜測(cè)線段AD，BD，CD之間滿足關(guān)系（2）.

3.檢驗(yàn)答案，確定正誤

由于點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條弧線，故可以將點(diǎn)D移動(dòng)到特殊的位置來(lái)檢驗(yàn)猜想是否正確.

位置1：如圖4，當(dāng)點(diǎn)D恰好在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，可得∠BCD=180°-∠B-∠D=90°.在Rt△BCD中，∠D=30°，設(shè)AB=BC=AC=a，可得.所以AD=BD-BA=a.于是.所 以AD2+CD2=BD2.猜想得證.

圖4

位置2：如圖5，當(dāng)點(diǎn)D為ADC的中點(diǎn)時(shí)，ADC是以點(diǎn)O為圓心的弧.此時(shí)AD=CD，∠AOC=2∠ADC=60°，所以此時(shí)△AOC是等邊三角形.設(shè)AB=BC=AC=AO=CO=a，則可得.因?yàn)镺D=OA=OC=a，所以.所以.在Rt△ADE中，.因 為AD=CD，所以.猜想得證.

圖5

4.合情推理，走出迷宮

我們已經(jīng)通過(guò)兩個(gè)特殊位置的點(diǎn)D驗(yàn)證了猜想AD2+CD2=BD2的合理性，接下來(lái)就要從一般情況來(lái)論證猜想的正確性.這時(shí)需要將條件和結(jié)論合起來(lái)思考中間的推理過(guò)程，回頭看現(xiàn)階段的已知條件：（1）∠B=60°；（2）∠D=30°；（3）AB=BC；（4）AB=BC=AC；（5）∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°；（6）∠A+∠C=270°.因?yàn)椴孪氲慕Y(jié)果AD2+CD2=BD2滿足直角三角形三邊關(guān)系，所以這三條邊必然可以轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形中，那么必然會(huì)有直角.而條件（6）與直角合在一起恰好是周角，于是推理就走向?qū)ⅰ螦和∠C通過(guò)旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱或者平移合在一起，那么周角所剩下的角就是直角.而△ABC是等邊三角形，通過(guò)旋轉(zhuǎn)即可以將∠A和∠C合在一起.此外，將∠B與∠D相加，就可直接得到直角.

三、多種解法

以下展示題目第（2）小題的兩種解法.

解法1：如圖6，將線段BD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段BD′，連接DD′（也可以以BD為邊向下作等邊三角形BDD′，或?qū)ⅰ鰾AD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°），

所以△BDD′是等邊三角形.

所以BD=BD′=DD′.

因?yàn)椤螦BC=60°，AB=BC，

所以∠ABD=60°-∠DBC=∠CBD′.

所以△ABD≌△CBD′.

所以∠BAD=∠BCD′，AD=CD′.

由第（1）小題結(jié)論，得

∠BAD+∠BCD=270°.

所以∠BCD′+ ∠BCD=270°.

所以∠DCD′=360°-270°=90°.

所以DC2+CD′2=DD′2，

即AD2+CD2=BD2.

圖6

還可以將BD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，也可以證明出結(jié)論，證明方法相同.

解法2：如圖7，以CD為邊向下方作等邊三角形CDF.

則CD=CF=DF，∠CDF=∠DCF=60°.

因?yàn)椤螦BC=60°，AB=BC，

所以△ABC是等邊三角形.

所以∠ACB=60°，BC=AC.

所以∠BCD=60°+∠ACD=∠ACF.

所以△BCD≌△ACF.

所以BD=AF.

因?yàn)椤螦DC=30°，∠CDF=60°，

所以∠ADF=90°.

所以AD2+DF2=AF2，

即AD2+CD2=BD2.

圖7

四、類(lèi)比遷移

以上兩種解法都是在猜想的基礎(chǔ)上，將原有的條件轉(zhuǎn)化成與猜想相關(guān)的圖形，合情推理自然通暢無(wú)阻.在此類(lèi)問(wèn)題中，猜想和條件對(duì)推理同等重要，但是猜想并不是無(wú)端的猜測(cè)，而是在觀察基礎(chǔ)上的合理猜想.波利亞認(rèn)為，觀察可以導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)，觀察只給出初步的歸納結(jié)論和猜測(cè)，不給出證明，檢查你的猜測(cè)，可以考查一些特殊的情形和結(jié)果，任何特殊情形和結(jié)果被驗(yàn)證為正確，都增添了猜測(cè)的可信度.在以上的模式下，此題第（3）小題也就不那么難以解決了.

第（3）小題新增條件：（7）AB=1；（8）點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足AE2=BE2+CE2.針對(duì)條件（8），我們可以類(lèi)比解決第（2）小題時(shí)的猜想過(guò)程，猜想作圖的方法依然是旋轉(zhuǎn).

解：如圖8，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，

得到△CBE′.

連接EE′，

則BE=BE′，∠EBE′=∠ABC=60°，AE=CE′.

所以△BEE′是等邊三角形.

所以EE′=BE，∠BEE′=60°.

因?yàn)锳E2=BE2+CE2，

所以CE′2=EE′2+CE2.

所以∠CEE′=90°.

所以∠BEC=∠BEE′+∠CEE′=150°.

所以點(diǎn)E在以BC為弦的圓弧上，

且圓周角∠BEC=150°.

所以圓心角∠BOC=60°.

圖8

如圖9，以BC為邊，在△ABC的另一邊作等邊三角形BOC，再以點(diǎn)O為圓心，BC的長(zhǎng)度為半徑作圓，取在四邊形ABCD的內(nèi)部的圓弧，就是點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為.

圖9

五、反思啟示

動(dòng)點(diǎn)求解線段關(guān)系的題型對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)較難的原因一般有兩點(diǎn)：（1）沒(méi)有明確的結(jié)論，不知從何下手；（2）圖中缺少輔助線，沒(méi)有結(jié)論的猜想，不知道輔助線應(yīng)該如何作.

日常教學(xué)中遇到動(dòng)點(diǎn)求解題，教師應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生先從線段的長(zhǎng)短關(guān)系等做以分析并猜測(cè)答案，再使用特殊位置檢驗(yàn)猜想，且盡量使用兩種及以上位置進(jìn)行檢驗(yàn)，避免猜測(cè)的錯(cuò)誤，最后根據(jù)猜測(cè)和檢驗(yàn)的結(jié)果，聯(lián)想輔助線的作法.

此類(lèi)試題在中考?jí)狠S題的位置比較常見(jiàn)，其主要考查學(xué)生聯(lián)想、猜測(cè)、逆向思維、發(fā)散思維的能力，以及解決問(wèn)題的能力.教師在幫助學(xué)生分析此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，切忌直接給出輔助線，或者要求學(xué)生必須怎樣做.數(shù)學(xué)的思維是有連續(xù)性的，數(shù)學(xué)的方法是有可循性的.解決這類(lèi)問(wèn)題要從觀察、分析條件入手，當(dāng)無(wú)法繼續(xù)或者走入“死胡同”時(shí)，再?gòu)慕Y(jié)論入手.先采用猜測(cè)的方法得出結(jié)論，結(jié)論也許不唯一，但一定可以逐一排除，進(jìn)而確定最可能的結(jié)論.如果結(jié)論不能簡(jiǎn)單的被證明，則可以使用特殊位置或者特殊值的方法驗(yàn)證猜想，在猜想正確的基礎(chǔ)上，再結(jié)合條件和結(jié)論進(jìn)行合情推理.整個(gè)解題過(guò)程經(jīng)歷了觀察、猜測(cè)、檢驗(yàn)、合情推理的過(guò)程，使用了猜測(cè)檢驗(yàn)的數(shù)學(xué)方法，前后連貫的使用了順向思維和逆向思維的統(tǒng)一與結(jié)合.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中對(duì)數(shù)學(xué)課程有如下敘述：課程內(nèi)容要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過(guò)程和蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法.同樣，在日常教學(xué)中，尤其是進(jìn)行解題教學(xué)時(shí)，思維的過(guò)程及其分析過(guò)程比答案更為重要.