張建華

（江蘇省淮安市淮海中學）

動點路徑問題倍受中考命題者的青睞，這類試題能考查學生數(shù)學活動的過程、數(shù)學活動積累的經(jīng)驗、解決問題的能力、數(shù)學應用意識和創(chuàng)新意識.因此，這類問題常是填空題、選擇題、解答題中的壓軸題.動點路徑是隱性的，需要根據(jù)動點的運動特征，抓住變化過程中不變的規(guī)律.因為動點所經(jīng)過的路徑長可求，所以常見的動點所經(jīng)過的路徑有直線和圓弧兩類.雖然點的運動路徑是隱性的，但是我們可以根據(jù)起點、過程點和終點確定其形狀，進而通過五步解決問題：（1）畫.畫出動點的起點、過程點和終點.（2）看.觀察三點是否在一條直線上.（3）猜想.在一條直線上是線段，不在一條直線上是圓弧.（4）驗證.直線型動點路徑常用平行基本事實、角的定義解決；圓弧型動點路徑常用圓的定義、圓周角有關(guān)定理及推論解決.（5）計算.常用勾股定理、相似三角形等知識進行求解.本文列舉近幾年的中考試題進行歸類剖析，分析、歸納模型特征，提煉破解之道.

一、直線型

類型1：動點與定直線距離不變時，動點的路徑是直線

我們知道，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.根據(jù)這個基本事實，當一個動點到一條定直線的距離不變時，動點的路徑為直線.

例1（2017年安徽卷）如圖1，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3.動點P滿足.則點P到A，B兩點距離之和PA+PB的最小值為（ ）.

圖1

解：如圖2，作PE⊥AB于點E.

圖2

所以PE=2.

所以點P在平行于AB的直線m上.

作點B關(guān)于直線m的對稱點B′，

則BB′=2PE=4.

連接AB′交直線m于點Q.

則當點P運動點Q時，PA+PB最小，為AB′的長.在Rt△ABB′中，由勾股定理，得

故選D.

例2（2016年江蘇·無錫卷）如圖3，?OABC的頂點A，C分別在直線x=1和x=4上，O是坐標原點，則對角線OB長的最小值為_______.

圖3

解：如圖4，設(shè)直線x=1與x軸的交點為點D，過點B作BE垂直于直線x=4，垂足為點E.

則易證△OAD≌△BCE.

所以O(shè)D=BE.

所以BE=1.

所以點B的運動路徑為直線x=5.

根據(jù)點到直線的距離中，垂線段最短，得OB長的最小值為點O到直線x=5的距離，即為5.

故答案為5.

圖4

【評析】此題依據(jù)平行四邊形的對稱性，添加輔助線BE，構(gòu)造△OAD≌△BCE，得OD=BE.因為OD=1，所以BE=1.從而可得點B到直線x=4距離為1，根據(jù)當一個動點到一條定直線的距離不變時，動點的路徑為直線，可知點B在直線x=5上運動，將對角線OB長的最小值問題轉(zhuǎn)化為“點到直線的距離，垂線段最短”的問題.此題考查了三角形全等、平行四邊形，以及點到直線的距離，垂線段最短等知識，難點是判斷點B經(jīng)過的路徑.

類型2：動點與定線段端點連接構(gòu)成的角度不變時，動點的路徑是直線

有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，根據(jù)角的定義，動點與定線段端點連接構(gòu)成的角度不變時，表示動點在角的邊上運動，即動點的路徑是直線.

例3（2017年江蘇·揚州卷）如圖5，已知正方形ABCD的邊長為4，點P是AB邊上的一個動點，連接CP，過點P作PC的垂線交AD于點E，以PE為邊作正方形PEFG，頂點G在線段PC上，對角線EG，PF相交于點O.

（1）若AP=1，則AE的值為__________；

（2）①求證：點O一定在△APE的外接圓上；

②當點P從點A運動到點B時，點O也隨之運動，求點O經(jīng)過的路徑長；

（3）在點P從點A到點B的運動過程中，△APE的外接圓的圓心也隨之運動，求該圓心到AB邊的距離的最大值.

圖5

解：（1）；

（2）①略；

②如圖6，連接OA，在⊙M中，根據(jù)“在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等”，得∠OAP=∠OEP=45°.

所以在點P的運動過程中，點O始終在正方形ABCD的對角線AC上，且當點P與點A重合時，點O與點A重合，當點P運動到點B時，O為AC的中點.

所以點O經(jīng)過的路徑是一條線段，且長度為AC的一半.

所以點O經(jīng)過的路徑為.

圖6

（3）略.

【評析】此題第（2）小題第①問是第②問的基礎(chǔ)，根據(jù)“在同圓或等圓中，同弧所對圓周角相等”，得∠OAP=∠OEP=45°是解題的關(guān)鍵，即動點O與定線段AB端點連接構(gòu)成∠OAP=45°，根據(jù)動點與定線段端點連接構(gòu)成角度不變時，動點在角的邊上運動，即動點的路徑是直線.故點O經(jīng)過的路徑是一條線段，再根據(jù)點P的運動起點和終點確定出點O運動的起點和終點，從而求出點O經(jīng)過的路徑長.此題圖形簡潔，問題設(shè)置有梯度，層層遞進，考查了相似三角形的性質(zhì)和判定、直角三角形的斜邊中線、正方形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等核心知識，綜合性強.第一個難點是判斷點O經(jīng)過的路徑是何種類型，進而根據(jù)類型求路徑長，第二個難點是圓心到AB邊的距離的最大值，通過相似三角形對應邊成比例的性質(zhì)來建構(gòu)二次函數(shù)求最大值，區(qū)分度高，具有選拔功能.

二、圓弧型

類型1：動點到定點的距離不變時，動點的路徑是圓

在同一平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一端點A運動所形成的圖形叫做圓.根據(jù)圓的定義，可知動點到定點的距離不變時，動點的路徑是以定點為圓心，動點到定點的距離為半徑的圓.

例4（2017年江蘇·連云港卷）如圖7，在平面直角坐標系xOy中，過點A(-2，0)的直線交y軸正半軸于點B，將直線AB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后，分別與x軸、y軸交于點D，C.

（1）若OB=4，求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；

（2）連接BD，若△ABD的面積是5，求點B的運動路徑長.

圖7

解：（1）y=2x+4.

（2）設(shè)OB=m，

因為△ABD的面積是5，

即m2+2m-10=0.

因為 ∠BOD=90°，

所以點B的運動路徑為以點O為圓心半徑為的圓弧.

所以點B的運動路徑長為

【評析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)——對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，點B運動的路徑為以旋轉(zhuǎn)中心O為圓心，以O(shè)B為半徑的圓弧，根據(jù)△ABD的面積為5，可求出半徑為，圓心角度數(shù)為90°.根據(jù)弧長公式可求出點B的運動路徑長.此題考查了一次函數(shù)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、一元二次方程、弧長公式等重要知識點.

例5（2017年江蘇·宿遷卷）如圖8，在矩形紙片ABCD中，已知，點E在邊CD上移動，連接AE，將多邊形ABCE沿直線AE折疊，得到多邊形AB′C′E，點B，C的對應點分別為點B′，C′.

（1）當B′C′恰好經(jīng)過點D時（如圖8（1）），求線段CE的長；

（2） 若B′C′分別交邊AD，CD于點F，G，且∠DAE=22.5°時（如圖8（2）），求△DFG的面積；

（3）在點E從點C移動到點D的過程中，求點C′運動的路徑長.

圖8

解：（1）；

（3）如圖9，連接AC′，

所以動點C′的運動路徑是以點A為圓心，AC為半徑的圓弧.

當點C運動到點D時，點C′恰好在CD的延長線點H處.

因為AC=AH=CH=2，

所以∠CAH=60°.所以點C′運動的路徑長為.

圖9

【評析】此題以折疊變換為背景，重在考查學生相似三角形、等腰直角三角形、等邊三角形、勾股定理、弧長公式、折疊變換等知識點，根據(jù)折疊變換的性質(zhì)，得AC′=AC.動點C′到定點A的距離為2，點C′運動的路徑為以點A為圓心，AC為半徑的圓弧CH，根據(jù)弧長可求點C′運動的路徑長.發(fā)現(xiàn)AC′=AC是解題的切入口.

類型2：動點是定斜邊直角三角形的直角頂點時，動點的路徑是圓

90°的圓周角所對的弦是直徑.由此可知，動點若是定斜邊直角三角形的直角頂點時，動點的運動路徑是以定斜邊為直徑的圓.

例6（2016年安徽卷）如圖10，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為（ ）.

圖10

解：因為∠PAB=∠PBC，

所以∠PAB+∠PBA=∠PBC+∠PBA=∠ABC=90°.

所以動點P的運動路徑是在Rt△ABC內(nèi)部，以AB為直徑的圓?。ㄈ鐖D10）.

連接OC交⊙O于點P，則此時CP的長最短.

所以CP=CO-OP=5-3=2.

故選B.

圖11

【評析】此題以線段長的最小值為立意，以動態(tài)幾何為背景，重在考查學生分析問題、解決問題的能力，解答此題的關(guān)鍵在于確定動點P的運動路徑，由定線段AB所對張角∠APB=90°，可知動點的路徑是以AB為直徑的圓.當圓心O和點P，C在同一條直線上時，PC的長取得最小值.

類型3：在定線段定張角時，動點的路徑是圓

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半.根據(jù)定理，動點對定線段所成的張角是定角時，動點的路徑是以已知線段為弦，定張角為圓周角的圓.

例7（2014年浙江·金華卷）如圖12，等邊三角形ABC的邊長為6，在AC，BC邊上各取一點E，F(xiàn)，連接AF，BE相交于點P.

（1）若AE=CF.

①求證：AF=BE，并求∠APB的度數(shù)；

②若AE=2，試求AP·AF的值.

（2）若AF=BE，當點E從點A運動到點C時，試求點P經(jīng)過的路徑長.

圖12

解：（1）①120°；

②12.

（2）AF=BE，得AE=CF或AE=BF.

①當AE=CF時，由（1）得∠APB=120°.

如圖13，動點P在以AB為弦，所對圓心角為120°的圓弧上運動.

設(shè)圓心為點O，連接OA，OB，

所以點P經(jīng)過的路徑長為

圖13

②當AE=BF時，點P經(jīng)過的路徑為過點C作AB的垂線段的長度.

所以點P經(jīng)過的路徑長為.

所以綜上所述，點P經(jīng)過的路徑長為.

【評析】此題以動點問題為背景，考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、垂徑定理、弧長等知識.在第（2）小題中，由AF=BE，得AE=CF或AE=BF.當AE=BF時，由（1）知∠APB=120°，動點P與定點A，B連線所成角為定角.以定線段AB為弦，構(gòu)造出以AB為弦，定角∠APB=120°為圓周角的圓.

近幾年中考試卷中，填空題、選擇題、解答題的最后一兩道題，常涉及動點路徑問題.此類問題難在其運動軌跡的隱蔽性上，若能引導學生聚焦圖形的特點，關(guān)注其內(nèi)在的數(shù)學本質(zhì)，根據(jù)動點的運動特征，抓住變化之中不變的規(guī)律，便可以將動點路徑化隱性為顯性、化抽象為直觀、以不變應萬變.在教學中，讓學生自主探究問題的過程，要留有余地，讓學生有思有想，培養(yǎng)學生解決問題的方法，體會從幾個特殊點入手，通過觀察、猜想、驗證、證明的過程，從中積累經(jīng)驗，從而達到授之以漁的目的.在解題過程中，要求學生不能滿足于問題的解決，要引導學生審視問題，探究問題的本質(zhì)，通過歸納總結(jié)，從而提高學生的思維水平，使思維得到拓展，從而達到做一題會一類，甚至知一片的目的.讓學生立足基礎(chǔ)之上，在知識的綜合中進行知識的生長、數(shù)學模型的建構(gòu)、數(shù)學思想的感悟、活動經(jīng)驗的積累，從而提高學生的數(shù)學素養(yǎng).