董改芳

(朔州師范高等?？茖W(xué)校.山西 朔州 036002)

0 引言

1 符號(hào)及概念

H是復(fù)的完備的不定內(nèi)積空間,B(H)是H上所有有界線性算子構(gòu)成的代數(shù),I是單位元,C*,R*是非零復(fù)數(shù)集和實(shí)數(shù)集，I*(H),I(H)表示B(H)的非零冪等元、一秩冪等元集合.

?x,y∈H,若?S∈B(H)使得[Tx,y]=[x,Sy],稱S是T相對(duì)于不定內(nèi)積的不定共軛,記S=T+.假設(shè)(H,〈·,·〉)是一個(gè)Hilbert空間,J∈B(H)是自伴可逆算子,定義[·,·]=〈J(·),·〉, 那么(H,[·,·]J)是一個(gè)由J誘導(dǎo)出的完備的不定內(nèi)積空間.設(shè)T∈B(H),那么T相對(duì)于[·,·]J的不定共軛T+有形式T+=J-1T*J,這里T*表示T相對(duì)于〈·,·〉通常意義下的共軛.

2 主要結(jié)果

定理1Ω?B(H)且I∈Ω,C*I1(H)?Ω.Φ:Ω→Ω為滿射,Φ(I)=I.則對(duì)?A,B∈Ω,Φ滿足AB+A∈I*(H)?Φ(A)Φ(B)+Φ(A)∈I*(H)??c∈R*,?有界可逆線性或共軛線性算子U∈B(H),U+U=c-1I使得Φ(A)=cUAU+對(duì)所有的A∈Ω成立,或Φ(A)=cUA+U+對(duì)所有的A∈Ω成立.

3 證明

引理1設(shè)A,B∈Ω,其中至少一個(gè)不同于0和I.則下列條件等價(jià):

(i)A=B;

(ii)對(duì)每一個(gè)T∈Ω,TAT∈I*(H)?TBT∈I*(H).

證明 (i)→(ii)顯然.

(ii)→(i).首先假定A=λI,λ∈C且λ≠0,1.若B為非數(shù)乘算子,則?x∈H

使得x與Bx線性無關(guān),從而x與Bx-x線性無關(guān),故?y∈H使得[x,y]=〈x,Jy〉=1,

此蘊(yùn)涵λ=μ,因此A=B.

如果A,B都是非數(shù)乘算子,首先我們斷言:?x∈H,x與(A-B)x線性相關(guān).事實(shí)上,若?x∈H使得x與Ax-Bx線性無關(guān),則x與Ax-Bx-2x線性無關(guān),于是?y∈H使得[x,y]=〈x,Jy〉=1,且[Ax-Bx-2x,y]=〈Ax-Bx-2x,Jy〉=0,從而[Ax-Bx,y]=〈Ax-Bx,Jy〉=〈Ax,Jy〉-〈Bx,Jy〉=2.令Tλ=λx?y∈Ω,則

TλATλ=λ2〈Ax,Jy〉x?y,TλBTλ=λ2〈Bx,Jy〉x?y.

現(xiàn)在由斷言知A=B+αI對(duì)某個(gè)α∈C成立.我們將證明α=0.由于A為非數(shù)乘算子,故?x∈H使得x與Ax線性無關(guān).于是?y∈H使得[x,y]=〈x,Jy〉=1,且[Ax,y]=〈Ax,Jy〉=1.令T=x?y∈Ω,則TAT=x?yAx?y=〈Ax,Jy〉x?y=x?y∈I*(H),蘊(yùn)含〈Bx,Jy〉=〈Ax,Jy〉-α〈x,Jy〉=1-α=1.故α=0.所以A=B.證畢.

引理2令A(yù)∈Ω,則下列條件等價(jià):

(i)A=0;

(i)對(duì)每個(gè)T∈Ω,TAT?I*(H).

證明 (i)→(ii)顯然.

TAT=x?yAx?y=〈Ax,Jy〉x?y=x?y∈I*(H),矛盾.所以A=0.證畢.

引理3Φ(0)=0,Φ為單射,且Φ雙邊保冪等元.

證明 由引理2知,A=0?Φ(0)=0.如果?A,B≠O使得Φ(A)=Φ(B),則Φ(A)+=Φ(B)+.于是對(duì)每個(gè)Φ(T)∈Ω,Φ(T)Φ(A)+Φ(A)∈I*(H)?Φ(T)Φ(B)+Φ(A)∈I*(H).

由于對(duì)每個(gè)T∈Ω,Φ(T)Φ(A)+Φ(A)∈I*(H)?TA+T∈I*(H),Φ(T)Φ(B)+Φ(A)∈I*(H)?TB+T∈I*(H).

因此,對(duì)每個(gè)T∈Ω,TA+T∈I*(H)?TB+T∈I*(H).再次利用引理1可得A+=B+,從而A=B.因此Φ為單射.對(duì)?P∈Ω,由于P∈I*(H)?P+∈I*(H)?IP+I∈I*(H)?Φ(I)Φ(P)+Φ(I)∈I*(H?Φ(P)+∈I*(H)?Φ(P)∈I*(H),且T=0?Φ(T)=0.所以Φ雙邊保冪等元.證畢.

引理4設(shè)P∈I*(H),則下列條件等價(jià):

(i)rank(P)=1;

(ii)對(duì)每個(gè)Q∈I(H),QPQ∈I*(H)?PQP∈I*(H).

證明 (i)→(ii).令P=x?y,[x,y]=〈x,Jy〉=1.對(duì)每個(gè)Q∈I(H),由于

QPQ=Qx?yQ=Qx?Q+y,PQP=x?yQx?y=[Qx,y]x?y=〈Qx,Jy〉P,且[Qx,Q+y]=[Qx,J-1Q*Jy]=〈Qx,Q*Jy〉=〈Qx,Jy〉,

故可得〈Qx,Jy〉=1?QPQ∈I*(H)?PQP∈I*(H)對(duì)每個(gè)Q∈I(H)成立.

(ii)→(i).假設(shè)rank(P)>1,則存在線性無關(guān)的向量x1,x2∈rng(P),于是?y∈H使[x1,y]=〈x1,Jy〉=1,[x2,y]=〈x2,Jy〉=0,且對(duì)?x∈ker(P),

[x,y]=〈x,Jy〉=0.取u∈ker(P)≠{0},w∈H使得[u,w]=〈x,Jy〉=1,且對(duì)?z∈rng(P),[z,w]=〈z,Jy〉=0.令Q=(x1+x2)?y+(x2+u)?w∈I*(H),則QPQ={(x1+x2)?y+(x2+u)?w}P{(x1+x2)?y+(x2+u)?w}={(x1+x2)?y+(x2+u)?w}{(x1+x2)?y+x2?w}=(x1+x2)?y,PQP=P{(x1+x2)?y+(x2+u)?w}P={(x1+x2)?y+x2?w}P=(x1+x2)?P+y+x2?P+w,(PQP)2={(x1+x2)?P+y+x2?P+w}2=(x1+x2)?P+y.

由于[x1+x2,y]=〈x1+x2,Jy〉=1,x2?P+w≠0,故QPQ∈I*(H),(PQP)2≠PQP,PQP?I*(H),矛盾.所以rank(P)=1.證畢.

引理5Φ雙邊保一秩冪等元.

證明 對(duì)?P∈I1(H),由引理4知,rank(P)=1?rank(P+)=1.

?對(duì)每個(gè)Q∈I(H),

QP+Q∈I*(H)?P+QP+∈I*(H)?PQ+P∈I*(H).

?對(duì)每個(gè)Φ(Q)∈I(H),

Φ(Q)Φ(P)+Φ(Q)∈I*(H)?Φ(P)Φ(Q)+Φ(P)∈I*(H)?Φ(P)+Φ(Q)Φ(P)+∈I*(H).?

rank(Φ(P)+)=1?rank(Φ(P))=1.

因此,Φ雙邊保一秩冪等元.證畢.

引理6[1]設(shè)P≠Q(mào),P,Q∈I1(H),且dimH≥4.則下列等價(jià)：

(i)P～Q;

(ii)?R∈I1(H),R≠P,R≠Q(mào)且對(duì)?T∈I1(H),PTP,QTQ∈I*(H)蘊(yùn)含RTR∈I*(H).

引理7設(shè)P,Q∈I1(H),則P～Q?Φ(P)～Φ(Q).

證明 由引理5,引理6,再由Φ的單射性知,

P～Q??R∈I1(H),R≠P,R≠Q(mào)且對(duì)?T+∈I1(H),PT+P,QT+Q∈I*(H)蘊(yùn)含RT+R∈I*(H).

??Φ(R)∈I1(H),Φ(R)≠Φ(P),Φ(R)≠Φ(Q)且對(duì)?B=Φ(T)+∈I1(H)

Φ(P)BΦ(P)∈I*(H),Φ(Q)BΦ(Q)∈I*(H)蘊(yùn)含Φ(R)BΦ(R)∈I*(H).

?Φ(P)～Φ(Q).證畢.

引理8[1]設(shè)P,Q∈I1(H),則P⊥Q?不存在R∈I1(H)使得PR且QR.

引理9設(shè)P,Q∈I1(H),則P⊥Q?Φ(P)⊥Φ(Q).

證明 若Φ(P)⊥Φ(Q)不成立,由引理8,?T∈I1(H)使得Φ(P)T且Φ(Q)T.由引理5,引理7,?R=Φ-1(T)∈I1(H)使得PR且QR.再次利用引理8,P⊥Q不成立,所以必要性成立.若P⊥Q不成立,由引理8,?R∈I1(H)使得PR且QR.由引理5,引理7,?B=Φ(R)∈I1(H)使得Φ(P)B且

Φ(Q)B.再次利用引理8得,Φ(P)⊥Φ(Q)不成立.故充分性成立.

引理10設(shè)H為無限維,為定理1中所述,則?c∈R*,?有界可逆線性或共軛線性算子U,U+U=c-1I使得Φ(P)=cUPU+對(duì)所有的P∈I1(H)成立,或Φ(P)=cUP+U+對(duì)所有的P∈I1(H)成立.

證明 引理9說明Φ雙邊保一秩冪等元的正交性,因此存在有界可逆線性或共軛線性算子S使得Φ(P)=SPS-1對(duì)所有的P∈I1(H)成立,或Φ(P)=SP*S-1對(duì)所有的P∈I1(H)成立.下面我們將證明?c∈R*,?有界可逆線性或共軛線性算子U,U+U=c-1I使得Φ(P)=cUPU+對(duì)所有的P∈I1(H)成立,或Φ(P)=cUP+U+對(duì)所有的P∈I1(H)成立.

對(duì)?x∈H,取z∈H使得〈x,z〉≠0且〈x,Jz〉=1.再取y,w∈H使得x?y,z?w∈I1(H)且〈J-1w,y〉=1.由于

x?y(z?w)+x?y=x?yJ-1(z?w)*Jx?y=x?yJ-1w?Jz·x?y=〈J-1w,y〉〈x,Jz〉x?y,且〈J-1w,y〉〈x,Jz〉〈x,Jy〉=1.

故x?y(z?w)+x?y∈I*(H).因而我們有Φ(x?y)Φ(z?w)+Φ(x?y)∈I*(H).

如果Φ(P)=SPS-1對(duì)所有的P∈I1(H)成立,由于

Φ(x?y)Φ(z?w)+Φ(x?y)=Sx?yS-1(Sz?wS-1)+Sx?yS-1=

Sx?(S-1)+yJ-1(Sz?(S-1)+w)*JSx?(S-1)+y=

Sx?(S-1)+yJ-1(S-1)+w?JSzSx?(S-1)+y=

〈J-1(S-1)+w,(S-1)+y〉〈Sx,JSz〉Sx?(S-1)+y∈I*(H),

所以有

〈J-1(S-1)+w,(S-1)+y〉〈Sx,JSz〉〈Sx,J(S-1)+y〉=

〈J-1(S-1)+w,(S-1)+y〉〈Sx,JSz〉〈Sx,(S-1)*Jy〉=

〈J-1(S-1)+w,(S-1)+y〉〈Sx,JSz〉〈x,Jy〉=

〈J-1(S-1)+w,(S-1)+y〉〈Sx,JSz〉=1.

令〈Sx,JSz〉=α,則α≠0,且〈Sx,JSz〉=α〈x,Jz〉.于是可得

〈Sx,JSz〉-α〈x,Jz〉=〈S*JSx,z〉-〈αJx,z〉=〈(S*JS-αJ)x,z〉=0.

由于〈x,z〉≠0,故我們有S*JS=αJ,等式兩邊同時(shí)左乘以J-1得,J-1S*JS=αI,從而S+S=αI.令c-1=I,U=S,則S-1=α-1S+=cU+,U+U=c-1I.

又因?yàn)閏-1I=(U+U)+=U+U=c-1I,所以c∈R*.因此?c∈R*,?有界可逆線性或共軛線性算U,U+U=c-1I使得Φ(P)=cUPU+對(duì)所有的如果Φ(P)=SPS-1對(duì)所有的P∈I1(H)成立.

如果Φ(P)=SP*S-1對(duì)所有的P∈I1(H)成立,由于

Φ(x?y)Φ(z?w)+Φ(x?y)=S(x?y)*S-1(S(z?w)*S-1)+S(x?y)*S-1=

Sy?(S-1)+xJ-1(Sw?(S-1)+z)*JSy?(S-1)+x=

Sy?(S-1)+xJ-1(S-1)+z?JSxSy?(S-1)+x=

〈J-1(S-1)+z,(S-1)+x〉〈Sy,JSw〉Sy?(S-1)+x∈I*(H),

所以有

〈J-1(S-1)+z,(S-1)+x〉〈Sy,JSw〉〈Sy,J(S-1)+x〉=

〈J-1(S-1)+z,(S-1)+x〉〈Sy,JSw〉〈Sy,(S-1)*Jx〉=

〈J-1(S-1)+z,(S-1)+x〉〈Sy,JSw〉〈y,Jx〉=

〈J-1(S-1)+z,(S-1)+x〉〈Sy,JSw〉=1.

令〈J-1(S-1)+z,(S-1)+x〉=α-1,則α-1≠0.注意到J2=I.所以

〈J-1(S-1)+z,(S-1)+x〉=〈J-1(S-1)+z,J-1(S-1)*Jx〉=

〈(S-1)+z,(S-1)*Jx〉=〈JS-1(S-1)+z,x〉=α-1=α-1〈x,Jz〉=〈α-1Jz,x〉.

引理11[1]設(shè)P∈I1(H),A∈Ω,α∈C,且α≠0,1,則下列等價(jià)：

(i)A=αP;

(ii)對(duì)每個(gè)Q∈I1(H),αQPQ∈I*(H)?QAQ∈I*(H)蘊(yùn)涵RTR∈I*(H).

引理12[1]設(shè)A,B∈Ω,且A,B?CI,則下列等價(jià)：

(i)A=B;

(ii)對(duì)每個(gè)P∈I1(H),?α∈C,我們有αPAP∈I*(H)?αQBQ∈I*(H).

引理13[1]設(shè)A,∈Ω,λ∈C,且λ≠0,1,則下列等價(jià)：

(i)A=λI;

(ii)對(duì)每個(gè)P∈I1(H),我們有PAP?I*(H).

下面我們給出定理1的證明

定理1的證明 充分性是顯然的,下面來證明必要性.

由引理10知,?c∈R*,?有界可逆線性或共軛線性算子U,U+U=c-1I使得Φ(P)=cUPU+對(duì)所有的P∈I1(H)成立,或Φ(P)=cUP+U+對(duì)所有的P∈I1(H)成立.下面我們證明Φ(A)=cUAU+對(duì)所有的A∈Ω成立,或Φ(A)=cUA+U+對(duì)所有的A∈Ω成立.

如果Φ(P)=cUPU+對(duì)所有的P∈I1(H)成立.定義Ψ:Ω→Ω如下：

Ψ(A)=cU+Φ(A)U,(?A∈Ω)

則Ψ(P)=cU+cU+PUU=P對(duì)所有的P∈I1(H)成立,且Ψ(I)=I.

對(duì)任意的A,B∈Ω,

AB+A∈I*(H)?Ψ(A)Ψ(B)+Ψ(A)=

cUΦ(A)UcU+Φ(B)+UcU+Φ(A)U=cUΦ(A)Φ(B)+Φ(A)U∈I*(H).

如果Φ(P)=cUP+U+對(duì)所有的P∈I1(H)成立.定義Ψ:Ω→Ω如下：

Ψ(A)=cU+Φ(A)+U,(?A∈Ω)

則Ψ(P)=cU+(cU+P+U)+U=cU+cUPU+U=P對(duì)所有的P∈I1(H)成立,

且Ψ(I)=I.對(duì)?A,B∈Ω,

所以無論哪種情形都有Ψ(P)=P對(duì)所有的P∈I1(H)成立,Ψ(I)=I.且對(duì)?A,B∈Ω,AB+A∈I*(H)?Ψ(A)Ψ(B)+Ψ(A)∈I*(H).即Ψ也滿足定理的條件.

由此我們可以看出,為了完成定理的證明,只需要下列幾步就可證明對(duì)所有的A∈Ω,Ψ(A)=A.

第一步.對(duì)?P∈I1(H),?α∈C,且α≠0,1,我們有Ψ(αP)=αP.

對(duì)每個(gè)Q∈I1(H),Q(αP)+Q∈I*(H)?Ψ(Q)Ψ(αP)+Ψ(Q)∈I*(H).因?yàn)棣?Q)=Q,所以,對(duì)每個(gè)Q∈I1(H),Q(αP)+Q∈I*(H)?QΨ(αP)+Q∈I*(H).

由引理11知,Ψ(αP)+=(αP)+,故Ψ(αP)=(αP).

第二步.對(duì)?A∈Ω,且A?CI,我們有Ψ(A)=A.

對(duì)每個(gè)P∈I1(H),?α∈C,αPA+P∈I*(H)?Ψ(αP)Ψ(A)+Ψ(P)∈I*(H).

因?yàn)棣?P)=P,且由第一步知Ψ(αP)=αP,故對(duì)每個(gè)P∈I1(H),?α∈C,

αPA+P∈I*(H)?αPΨ(A)+P∈I*(H).由引理12可得Ψ(A)+=A+.所以Ψ(A)=A.

第三步.對(duì)?λ∈C,且λ≠0,1, 我們有Ψ(λI)=λI.

由定理1,我們可以得到以下推論1,它刻畫了無限維Hilbert空間上保持算子Jordan-*-triple乘積冪等性的映射.

推論1設(shè)H為復(fù)的無限維的Hilbert空間,Ω?B(H)且I∈Ω,C*I1(H)?Ω.

Φ:Ω→Ω為滿射,Φ(I)=I.則對(duì)?A,B∈Ω,Φ滿足

AB*A∈I*(H)?Φ(A)Φ(B)*Φ(A)∈I*(H)

??酉算子或共軛酉算子U∈B(H)使得Φ(A)=UAU*對(duì)所有的A∈Ω成立,或Φ(A)=UA*U*對(duì)所有的A∈Ω成立.