王雯

摘 要 在數(shù)學(xué)研究中， 構(gòu)造反例研究問題是非常重要的， 它在數(shù)學(xué)研究以及數(shù)學(xué)教學(xué)中有著重要的地位和作用. 本文對反例的基本內(nèi)涵進(jìn)行了簡要介紹， 并深入討論了反例的構(gòu)造原則、構(gòu)造方法， 希望能將反例的構(gòu)造方法應(yīng)用于實(shí)際教學(xué)中。

關(guān)鍵詞 反例 數(shù)學(xué)教學(xué) 構(gòu)造方法 構(gòu)造原則

中圖分類號：G424? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2019.10.082

Abstract In mathematics research， it is very important to construct counterexample research problems. It has an important position and role in mathematics research and mathematics teaching. This paper briefly introduces the basic connotation of counterexamples， and deeply discusses the construction principles and construction methods of counterexamples; hope that the construction method of the counterexample can be applied to the actual teaching.

Keywords counterexamples; mathematics teaching; construction methods; construction principles

1 介紹

在邏輯學(xué)中，反例是相對于某個全稱命題的概念。而命題則由條件與結(jié)論兩部分組成。無論是在生活中還是數(shù)學(xué)學(xué)科以及自然科學(xué)中中，反例都有重要的應(yīng)用。在數(shù)學(xué)中，反例可以用來說明一個命題是假命題，關(guān)鍵在于這個例子的特征，它必須滿足該命題的條件，但是不滿足該命題的結(jié)論.數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性與抽象性為這門學(xué)科披上了一層神秘的面紗，它大多數(shù)時候不會特別簡單而直白，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這門學(xué)科時，很多時候往往不能簡單直觀地理解它，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師除了要教給學(xué)生基本的、嚴(yán)密的邏輯推理以外，還要引導(dǎo)學(xué)生掌握逆向思維的方法，換句話說，就是要讓學(xué)生在掌握正面論證的同時，學(xué)會舉反例。

2 反例的構(gòu)造原則

反例的構(gòu)造需要遵循一定的原則，不是每個題目都適用于構(gòu)造反例，反例也不是多多益善，構(gòu)造反例需視實(shí)際情況，科學(xué)合理地來構(gòu)造。

2.1 正確性原則

數(shù)學(xué)是一門具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系和縝密的思維特點(diǎn)的學(xué)科，數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性要求我們在構(gòu)造反例時要堅(jiān)持正確性原則，也即我們在構(gòu)造反例時要有依有據(jù)，不能想當(dāng)然，憑空捏造，所構(gòu)造的反例必須有明確的依據(jù)，而且構(gòu)造反例時，也要分析已知題目的性質(zhì)、特點(diǎn)，找好切入點(diǎn)，“對癥下藥”。如果所舉的例子本身正確性就存在考究的話，那就沒有意義了。此外，需明白，舉反例不是說讓我們舉一個錯誤的例子，而是舉出能說明其問題錯誤的正確例子。

2.2 簡單性原則

構(gòu)造反例的意義本身就是將問題化繁為簡，因此，反例的構(gòu)造應(yīng)該盡可能簡潔明了，讓人一目了然。也就是說，只有能夠有效地說明問題，所舉的反例只有更簡單，沒有最簡單。

例如，要說明命題“若，則”是假命題，只需要舉例“”即可說明問題。簡單的數(shù)字讓人一目了然又極具說服力。

2.3 全面性原則

數(shù)學(xué)要求嚴(yán)謹(jǐn)、客觀、全面，構(gòu)造反例同樣如此。找反例時，要考慮全面，把所有可能涉及到的情況考慮進(jìn)去，學(xué)生在構(gòu)造反例否定結(jié)論時，往往因?yàn)樗季S不全導(dǎo)致出錯。因此，構(gòu)造反例一定要堅(jiān)持全面性原則。

這都與已知矛盾，所以假設(shè)不成立，即結(jié)論成立，即得證。

2.4 經(jīng)驗(yàn)性原則

在數(shù)學(xué)中，有一些常用的反面對立詞，平時我們可多多積累，形成經(jīng)驗(yàn)。要善于歸納總結(jié)一些常用思想方法，當(dāng)題目中出現(xiàn)關(guān)鍵詞時，能迅速在腦海中定位并找出反設(shè)。因此，我們要清楚一些特殊結(jié)論的反設(shè)。

3 反例的構(gòu)造方法

了解了反例的基本含義，也明確了反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用至關(guān)重要，但這些還不夠，我們需要掌握反例的構(gòu)造方法，學(xué)會自己構(gòu)造反例。知道反例的作用固然重要，但更重要的是知道如何構(gòu)造反例。

3.1 特例法

特例法，顧名思義，就是特殊的例子，通常是符合題設(shè)的某個特殊例子，使得命題的結(jié)論不成立。所謂特殊例子，可以是某些具體情況，也可以是某些極端情況，并且這些情況的結(jié)論是已經(jīng)被證明為真的。如：判斷命題“任何數(shù)的平方都大于它本身”的真假，只要舉出“0.1”這一例子就可以了;而要推翻命題“如果，那么”，只要舉出反例：，但是-3≠3即可。在構(gòu)造反例時，要特別留意題設(shè)中出現(xiàn)的主題詞，找到這一主題詞包含的特殊情況。如，當(dāng)題設(shè)中出現(xiàn)四邊形時，要注意考察平行四邊形、矩形等特例;當(dāng)題設(shè)出現(xiàn)非負(fù)數(shù)時，要注意考察0這一特例;當(dāng)題設(shè)出現(xiàn)三角形時，要注意考察等腰三角形、直角三角形等特例。

3.2 圖形直觀法

圖形往往帶給人最直觀的視覺感受，因此，在構(gòu)造反例時，我們可以利用圖形，直觀清晰地說明問題。

例2 判斷命題“有公共頂點(diǎn)的兩個角是對頂角”的真假，并說明理由。

解：該命題是假命題。

我們根據(jù)對頂角的定義，一個角的兩邊分別為另一個角的兩邊的反向延長線時，這兩個角是對頂角，有公共頂點(diǎn)的兩個角的兩邊不一定互為反向延長線，所以該命題為假命題。

如圖1所示，∠1和∠2有公共頂點(diǎn)，但∠1和∠2不是對頂角。

此例根據(jù)所構(gòu)造的圖形可以給人直觀真切的感受，從而更便捷地說明了問題。

3.3 逆否命題法

在學(xué)習(xí)命題時，我們知道，原命題與它的逆否命題具有同真同假性，因此，對于有些數(shù)學(xué)問題，我們可從它的逆否命題出發(fā)，進(jìn)行真假性的討論。我們可先寫出原命題逆否命題，后從逆否命題的條件出發(fā)構(gòu)造反例，如果推出逆否命題正確，則說明原命題正確，反例錯誤，并從使得逆否命題錯誤的角度出發(fā)尋找條件構(gòu)造反例。

例3 若是合數(shù)，則一定是合數(shù)。

分析：原命題的逆否命題為“若不是合數(shù)，則一定不是合數(shù)”

先從逆否命題的條件出發(fā)，假設(shè)不是合數(shù)，那么可能為質(zhì)數(shù)或?yàn)?。

當(dāng)時，不是合數(shù)，逆否命題正確，反設(shè)錯誤。

因此當(dāng)排除出現(xiàn)矛盾的這一條件“”時，反設(shè)正確。

反例：取為質(zhì)數(shù)。

當(dāng)為質(zhì)數(shù)時，顯然為合數(shù)，逆否命題不真，因此原命題為假命題。

3.4 定義法

運(yùn)用定義法構(gòu)造反例，首先需要對數(shù)學(xué)中的定義、定理、法則較為熟悉，在構(gòu)造反例時，抓住定義中容易被忽視的條件來構(gòu)造。

例4 舉反例說明命題“兩條直線被第三條直線所截，同位角相等”是假命題。

分析：對照同位角相等的定義“兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等”，不難發(fā)現(xiàn)，題設(shè)中少了“兩直線平行”這一條件，因此，我們可以抓住這一條件，再結(jié)合上文提到的圖形直觀法，構(gòu)造出反例：

反例：如圖2所示，當(dāng)直線不平行于直線時，同位角∠1和∠2不相等。

類似地，在說明“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”是假命題時，根據(jù)定義“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，可知在同一平面內(nèi)，只有當(dāng)兩直線平行時，同旁內(nèi)角互補(bǔ)才成立，因此可以此切入構(gòu)造反例。

運(yùn)用定義法構(gòu)造反例時，需要格外注意定義、定理、法則的限定條件，尤其當(dāng)出現(xiàn)“僅僅”、“平行”、“垂直”時，要更加注意對照分析。

4 結(jié)語

數(shù)學(xué)作為一門內(nèi)涵豐富的基本學(xué)科，其教學(xué)既要讓學(xué)生獲得知識，豐富文化內(nèi)涵，又要發(fā)展學(xué)生自主質(zhì)疑與糾錯的能力，而反例常常以它自身的魅力引導(dǎo)學(xué)生對問題探究到底，成為引發(fā)學(xué)生深入思考的催化劑。反例的構(gòu)造方法多種多樣，文中只是選取部分典型例題進(jìn)行說明。需要注意的是，引入反例要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)、思維發(fā)展程度來進(jìn)行，要有針對性的層層深入，要將反例妙用而不是濫用。

參考文獻(xiàn)

[1] 羅騰根.淺談反例的教學(xué)功能與構(gòu)造方法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1996（11）：5-6.

[2] 彭光焰.例談反例的教學(xué)功能[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2002（8）：16-18.

[3] 何華興.數(shù)學(xué)反例的教學(xué)價(jià)值[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2004（6）： 30-32.

[4] 林美娟.注重反例教學(xué)， 培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力[J].科技信息，2008（31）：644-645.

[5] John Mason，Sergiy Klymchuk. Using Counter-examples In Calculus[M].Imperial ?College Press，2009.