黃 浩，王良龍

(1.合肥師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽合肥230601；2.安徽大學數(shù)學科學學院，安徽合肥230039)

積分微分方程可以對生物學、化學動力學、電力學、流體力學等許多領域中的問題進行建模。近年來，確定型的Volterra型積分微分方程由于其很強的應用性而備受關注，一些學者利用預解算子理論研究其溫和解的存在性和可控性，獲得了一系列結(jié)果[1-3]。此處的預解算子與抽象空間中微分方程的發(fā)展算子在形式上類似，但由于其不滿足半群性質(zhì)，因此本質(zhì)不同。

Sakthivel[1]考察了式(1)形式的非線性發(fā)展積分微分方程

借助預解算子理論和不動點定理得到了方程(1)可控的結(jié)果。顯然，方程(1)是退化的,而在很多實際應用領域中，用中立型積分微分方程去刻畫現(xiàn)實模型更為貼切,如:可以將具有有限波速的剛性熱傳導方程抽象為中立型Volterra型積分微分方程來研究[4]。慮到現(xiàn)實生活中一些系統(tǒng)的當前狀態(tài)都充分依賴于過去的狀態(tài),Liu[2]研究了一類具無窮時滯的非線性中立型發(fā)展積分微分方程,利用Schaefer不動點定理、預解算子理論和粘貼技巧獲得了系統(tǒng)可控性的充分條件。

時滯依賴于狀態(tài)的微分方程可以用來建立電動力學中的粒子運動數(shù)學模型[5],在近些年被廣泛應用于物理、生態(tài)學、神經(jīng)網(wǎng)絡等領域[6-7]。此外,Ito型隨機微分方程(SDE)能夠更為貼切地描述現(xiàn)實世界中的隨機現(xiàn)象[8]。因此,考慮脈沖和隨機白噪聲的綜合影響,研究時滯依賴于狀態(tài)的脈沖中立型隨機積分微分方程更具現(xiàn)實意義。Lin等[9]和Li等[10]分別利用解析預解算子理論和不動點定理獲得了脈沖中立型隨機積分微分方程溫和解的存在性和漸近可控性結(jié)果,Ma等[11]利用分數(shù)階算子理論、算子半群方法和不動點定理研究了一類分數(shù)階布朗運動驅(qū)動的脈沖中立型隨機積分微分方程的指數(shù)穩(wěn)定性，但他們并沒有考慮時滯依賴于狀態(tài)的情形，而且文獻[9-11]中所用到的解析預解算子理論和分數(shù)階算子理論也不能用來處理如方程(1)中帶有算子族A(t)的隨機發(fā)展積分微分方程的相關問題。

受文獻[1-2]啟發(fā),本文研究如下帶有無窮時滯且時滯依賴于狀態(tài)的脈沖中立型隨機發(fā)展積分微分方程溫和解的存在性。

1 預備知識

L(K;H)表示由K到H的有界線性算子的全體，賦以范數(shù)||?||。設對稱的非負定跡族算子Q:K→K，滿足是Q的非負特征值序列。記L(K,H)為L(K;H)的完備化空間，其范數(shù)定義為Q。將強可測且均方可積的H—值隨機變量的集合記為L2(Ω,H)，范數(shù)定義為。記C(J,L2(Ω,H))為所有將J映到L2(Ω,H)，且滿足 supt∈JE||x(t)||2＜∞的連續(xù)映射組成的Banach 空間，其子集定義為是L0可測的}。關于Q-Wiener過程更為詳細的介紹參見文獻[12]。

如果函數(shù)x:[α,β]→H是分段連續(xù)且在區(qū)間(α,β]上左連續(xù)，則稱x在區(qū)間[α,β]上是標準的分段連續(xù)函數(shù)。將區(qū)間[α,β]映到H的標準分段連續(xù)且Ft—適應的可測過程的集合記為P([α,β],H)。用P來表示所有Ft—適應可測的H—值隨機過程{x(t):t∈[0,T]}的全體，其中x在t≠tk處連續(xù)，且存在，k=1,2,…,n，則(P,||·||P)是一個Banach空間，其上范數(shù)為

將(-∞,0]映到H的F0—可測函數(shù)的集合定義為相空間?并賦以半模||·||?，則?滿足以下公理性假設[13]：

Hg1：若x:(-∞,η+T]→H，T＞0 使得xη∈? 和x|[η,η+T]∈P([η,η+T],H)，則對任意的t∈[η,η+T)，下列條件成立：

1)xt∈?,

2)E||x(t)||≤γ||xt||,

其中γ＞0 是一個常數(shù)，M(·),N(·):[0,+∞)→[0,+∞)，M(·)是連續(xù)的，N(·)是局部有界的，γ，M(·)，N(·)與x(·)無關。對于 Hg1中的x(·)，xt在 [η,η+T]上是 ? —值連續(xù)函數(shù)。

Hg2：空間?是完備的。

引理1[9]設x:(-∞,T]→H是一個Ft適應的可測過程，使得F0—適應過程且x|J∈P(J,H)，則有

對于?t∈[0,T]，方程(2)中的A(t)是閉線性算子族。設：D(A)為其定義域，為稠密的且與t無關；0≤s≤t≤T，B(t,s)也是閉線性算子族；Y是D(A)的子集，賦以圖范數(shù)||y||Y=:||A(0)y||+||y||，?y∈Y，則Y是一個Banach空間。將Y映到H的有界線性算子全體記為B(Y,H)，用B(H)表示H中的有界線性算子。此外，假設A(t)和B(t,s)分別在0≤t≤T和0≤s≤t≤T上連續(xù)。

定義1[1,14]方程(2)的預解算子R(t,s)∈B(H)，0≤s≤t≤T具有如下性質(zhì)：

1)R(t,s)關于s和t是強連續(xù)的，R(s,s)=I，0≤s≤T，且存在常數(shù)M和β使得||R(t,s)||≤Meβ(t-s)；

2)R(t,s)Y?Y，R(t,s)在Y上關于s和t是強連續(xù)的；

3)對于任意的x∈D(A)，R(t,s)x關于s和t強連續(xù)可微，且有

2 主要結(jié)論

定義2如果x0=φ∈?，xρ(s,xs)∈? 滿足，x|J∈P，s∈J。當s∈[0,T]時，函數(shù)A(s)R(t,s)h(s,xs)可積，且如下條件成立：

1){xt:t∈J}是 ? —值的，且x(·)在(tk,tk+1]，k=1,2,…,n上連續(xù)；

2) Δx(tk)=Ik(xtk)，k=1,2,…,n；

3)對于任意的t∈J}，x(t)滿足

則稱Ft適應的隨機過程x:(-∞,T]→H是方程(2)的一個溫和解。

假設ρ:J×?→(-∞,T]是連續(xù)的且φ∈?，并作如下假設：

(H1)令R(ρ-)={ρ(s,ψ)≤0,ρ(s,ψ):(s,ψ)∈J×?}。 函數(shù)t→φt將集合R(ρ-)映到 ?，且存在連續(xù)有界函數(shù)Jφ:R(ρ-)→(0,∞)使得||φt||?≤Jφ(t)||φ||?，t∈R(ρ-)。

(H2)存在常數(shù)Mi＞0，i=1,2,3，使得||R(t,s)||2≤M1，||R(t,s)A(s)||2≤M2，||B(t,s)||2≤M3。

(H3)映射F:J×?→H是連續(xù)的且存在常數(shù)MF＞0 和，對于任意的x,y∈?，有。

(H4)映射f:J×?→H是連續(xù)的且存在常數(shù)Mf＞0和，對于任意的x,y∈?，有。

(H5)映射σ:J×?→LQ(K,H)是連續(xù)的且存在常數(shù)Mσ＞0 和，對于任意的x,y∈?，有。

(H6)映射Ik：?→H是連續(xù)的且存在常數(shù)MIk＞0 和，k=1,2,…,n,對于任意的x,y∈?，有。

由公理性假設Hg1及假設條件(H1)易得如下引理：

引理2設x：(-∞,T]→H，x0=φ且x|J∈P，則有

定理1假設條件(H1)-(H6)成立且。若

則方程(2)存在一個溫和解。

證明令Y={x∈P:x(0)=φ(0)}為一個一致收斂拓撲空間。對于任意的正數(shù)r，記Br(0,Y)={x∈Y:E||x||2≤r}，則Br(0,Y)是Y中的一個有界閉凸子集。定義算子Φ:Y→Y如下：

第一步：存在常數(shù)r＞0，使得Φ(Br(0,Y))?Br(0,Y)。

對于任意的r＞0，Br(0,Y)={x∈Y|E||x||2≤r}顯然是P的一個有界閉凸子集?？蓴嘌源嬖谡龜?shù)r＞0使得Φ(Br(0,Y))?Br(0,Y)成立。假如斷言不成立，則對?r＞0，存在xr(tr)∈Br(0,Y)，但Φ(xr)?Br(0,Y)，即存在tr∈J使得r＜E||(Φxr)(tr)||2。然而，由引理2，Ho¨lder不等式和其他假設條件可知

這與式(5)矛盾，故斷言成立。

第二步：Φ是壓縮的。取x,y∈Br(0,)，有

其中

由式(3)可知l1＜1，從而可證算子Φ是壓縮的。利用Banach不動點定理知算子Φ在Br(0,Y)存在唯一的不動點，其實該不動點也就是方程(2)的一個溫和解。

3 實例論證

考慮如下時滯依賴于狀態(tài)的隨機熱傳導方程：

其中w(t)表示實可分的Hilbert空間H中的一個Wiener過程。設H=L2[0,1]，a(t,y)和B(t,s)是連續(xù)函數(shù)且存在正數(shù)M使得||B(t,s)||2≤M。

定義A(t):H→H為 (A(t)ω)(y)=a(t,y)ω″，其定義域為D(A)={ω∈H:ω,ω″絕對連續(xù)，ω″∈H,ω(0)=ω(1)=0}。R(t,s)為方程(6)的一個預解算子并滿足||R(t,s)||2≤M1，||R(t,s)A(s)||2≤M2，其中M1和M2為兩個正數(shù)。

這里取相空間 ?=P0×L2(g,H)，其驗證見文獻[13]。假設當t≤0 時，函數(shù)φ(t,·)∈? 且φ(t,y)=φ(t)(y)，(t,y)∈(-∞,0]×[0,1]。定義映射h，f，ρ，σ，Ik如下：

于是方程(6)能抽象為方程(2)。另外，作如下假設：

1)函數(shù)z1，z2在(-∞,0]上連續(xù)，且有

2)函數(shù)bk在R上連續(xù)且。

3)函數(shù)c:R→R，ρi:[0,∞)→[0,∞)(i=1,2)均連續(xù)，且有

在以上假設條件下，可得h，f，σ，Ik(k=1,2,…,n)均有界，即||h||2≤Mh，||f||2≤Mf，||σ||2≤Mσ，||Ik||2≤MIk,k=1,2,…,n。因此，由定理1可知方程(6)在J上存在一個溫和解。