(中國石油大學(華東) 化學工程學院，山東 青島 266580)

近年來，機械臂在工業(yè)生產(chǎn)、制造等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。目前很多任務(wù)如裝配、運輸、焊接等需要多個機械臂操作末端相互配合、協(xié)作形式才能完成，一個單獨的機械臂無法實現(xiàn)這些任務(wù)[1-3]。因此，在工業(yè)應(yīng)用中采取多機器人系統(tǒng)外部同步、互同步、協(xié)同同步或主從同步等同步策略實現(xiàn)協(xié)作，共同完成給定任務(wù)[4]。同時由于多機械臂的關(guān)節(jié)空間同步在工程上的應(yīng)用有限，因此任務(wù)空間中的機械臂同步控制得到了越來越多的關(guān)注[5-6]。

機械臂系統(tǒng)是一個非線性的復雜系統(tǒng)，在控制過程中存在外界干擾、未建模運動學和動力學導致的不確定性。因此，建立各個單機械臂系統(tǒng)之間的耦合關(guān)系，準確估計不確定性，設(shè)計有效的同步控制算法是實現(xiàn)多機械臂任務(wù)空間同步的關(guān)鍵技術(shù)之一[7-10]。

針對機械臂同步控制的問題，國內(nèi)外諸多研究已取得了較大進展。文獻[11]針對主從機械臂的同步控制進行研究，提出一種反饋控制策略，并驗證了在不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下的同步控制效果，但其反饋控制器增益對關(guān)節(jié)角度十分敏感。文獻[12]提出一種空間多機械臂精準協(xié)同控制方法，實現(xiàn)三維空間中機械臂在追蹤目標過程中對期望軌跡的跟蹤，具有較高的精度和穩(wěn)定性。文獻[13]根據(jù)有向圖理論定義新的同步誤差，提出一種新的機械臂同步控制方法，可以補償從動機械臂的不確定性并估計主動機械臂的加速度。文獻[14]針對裝配任務(wù)中的多機械臂協(xié)同設(shè)計了一種新的自適應(yīng)同步控制算法，引入交叉耦合技術(shù)，設(shè)計的自適應(yīng)控制律可以保證位置誤差和同步誤差同時漸近穩(wěn)定。文獻[15]針對存在時變通信延遲和動力學不確定性的異構(gòu)機械臂系統(tǒng)的任務(wù)空間同步控制進行研究，并通過數(shù)值仿真和Phantom Omni機器人系統(tǒng)實驗驗證了所設(shè)計算法的有效性。文獻[16]針對存在動力學和運動學不確定性的單個機械臂的軌跡跟蹤問題進行研究，提出一種新的非奇異終端滑?？刂扑惴ǎ纯紤]多個機械臂的同步問題。盡管目前針對多機械臂同步控制的研究已經(jīng)取得了很多成果，但基于圖論方法的同步誤差和交叉耦合誤差研究還處于起步階段，如何有效處理多機械臂系統(tǒng)的運動學和動力學不確定性仍需進一步探索。

在文獻[16]的基礎(chǔ)上，本研究運用滑?？刂圃?、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法和交叉耦合誤差方法，提出了一種基于圖論的多機械臂系統(tǒng)同步誤差和交叉耦合誤差算法，所設(shè)計的滑模同步控制器充分利用了滑模控制的魯棒性和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學習能力，能夠在線估計運動學和動力學不確定性，提高了機械臂的同步控制精度和同步控制的魯棒性。

1 系統(tǒng)描述

1.1 動力學模型

n個機械臂在任務(wù)空間中進行同步運動，完成同一操作任務(wù)的機械臂系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 多機械臂系統(tǒng)模型Fig.1 Multiple robotic manipulatorssystem model

運用Euler-Lagrange方法在關(guān)節(jié)空間內(nèi)建立n個m關(guān)節(jié)串聯(lián)機械臂動力學模型，如式(1)：

(1)

在工程應(yīng)用中，大多數(shù)操作任務(wù)都是在任務(wù)空間中進行規(guī)劃的，因此需要將機械臂系統(tǒng)動力學模型由關(guān)節(jié)空間轉(zhuǎn)換到任務(wù)空間中。設(shè)xi(t)∈Rm為任務(wù)空間中的位置坐標向量，關(guān)節(jié)空間坐標可以通過式(2)轉(zhuǎn)換到任務(wù)空間中：

xi=hi(qi)，

(2)

其中，hi(·)∈Rm為關(guān)節(jié)坐標空間到任務(wù)空間的轉(zhuǎn)換函數(shù)。

(3)

其中，Ji(qi)∈Rm×m為關(guān)節(jié)空間到任務(wù)空間的Jacobian矩陣。

根據(jù)式(3)可以將關(guān)節(jié)空間中的機械臂系統(tǒng)動力學模型轉(zhuǎn)換到任務(wù)空間中，如式(4)所示：

(4)

1.2 模型不確定性

由于實際機械臂系統(tǒng)的復雜性以及生產(chǎn)任務(wù)的多變性和靈活性，難以建立機械臂的精確模型，使得模型參數(shù)存在偏差。為了確保良好的控制效果和生產(chǎn)任務(wù)的順利完成，在建模過程中考慮這些不確定因素是十分必要的。

(5)

其中，Mi0(·)、Ci0(·)、Gi0(·)為動力學標稱項；Mi1(·)、Ci1(·)、Gi1(·)為動力學不確定性。

考慮系統(tǒng)的運動學不確定性，則：

(6)

將式(5)和式(6)代入動力學方程(4)，可以得到：

(7)

其中fi為模型不確定性：

1.3 同步誤差

定義第i個機械臂的跟蹤誤差為：

ei=xid-xi。

(8)

根據(jù)無向圖理論，以每個機械臂為節(jié)點，互相之間的信息傳遞為邊，定義多個機械臂之間的連接權(quán)系數(shù)矩陣為：

其中aij=aji，且當?shù)趇與第j個機械臂有信息傳遞時aij=1，否則aij=0。

L=P-A。

機械臂系統(tǒng)的同步誤差可以寫為如下形式：

(9)

定義機械臂的交叉耦合誤差：

(10)

2 同步控制器設(shè)計

由于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠在線學習非線性模型[17-19]，本研究應(yīng)用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對模型不確定性進行辨識逼近，并設(shè)計基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)滑模同步控制器。

2.1 滑?？刂破髟O(shè)計

根據(jù)上節(jié)定義的交叉耦合誤差(10)，定義滑模函數(shù)為如下形式：

(11)

其中，λ=λT>0。

滑模趨近律定義為：

(12)

其中，正定對角矩陣K1=diag(k11,k12,…,k1n)，K2=diag(k21,k22,…,k2n)，k1i=diag(k1i1,…,k1im)，k2i=diag(k2i1,…,k2im)，i=1,…,n。趨近律可以保證系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)快速到達滑模面。

機械臂動力學模型(7)可以轉(zhuǎn)換為如下形式：

(13)

定理1如果滑模面設(shè)計為(11)，趨近律設(shè)計為(12)，在模型不確定性f=0的情況下，機械臂系統(tǒng)滑模控制器設(shè)計如下：

τ=τ0+τ1，

(14)

證明：選取Lyapunov函數(shù)如下：

(15)

易知，V>0。將其對時間t求導得：

(16)

(17)

(18)

即系統(tǒng)狀態(tài)可以在有限時間內(nèi)到達滑模面。

(19)

則：

(20)

由于L及ψ均為正定矩陣，由式(9)和式(10)可知，系統(tǒng)跟蹤誤差e及機械臂同步誤差ε是漸近穩(wěn)定的。證畢。

2.2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模控制器設(shè)計

徑向基函數(shù)(radial basis function，RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種單隱層三層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[20-21]。

圖2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 RBF Neural Network structure

其輸入x與其輸出y可以表示為如下形式：

(21)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)律?。?/p>

(22)

定理2如果滑模面設(shè)計為(11)，趨近律設(shè)計為(12)，在模型不確定性f≠0的情況下，自適應(yīng)律設(shè)計為(22)，機械臂系統(tǒng)滑?？刂破髟O(shè)計如下：

τ=τ0+τ1+τ2，

(23)

證明：選取如下Lyapunov函數(shù)：

(24)

則有：

(25)

模型不確定性f由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行估計，因此可以表示為如下形式：

f=WTh+ε，

(26)

(27)

可得：

(28)

(29)

已知外界干擾及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差均有界，當滿足下列收斂條件時：

(30)

(31)

即系統(tǒng)狀態(tài)可以在有限時間內(nèi)到達滑模面。

(32)

則：

(33)

由于L及ψ均為正定矩陣，由式(9)、式(10)可知，系統(tǒng)跟蹤誤差e及機械臂同步誤差ε是漸近穩(wěn)定的。證畢。

3 仿真驗證

為驗證所提出同步控制算法的有效性和穩(wěn)定性，在文獻[16]的基礎(chǔ)上，設(shè)計了兩個2連桿機械臂的同步仿真。

3.1 參數(shù)設(shè)定

假設(shè)所有的機械臂具有相同的動力學和運動學方程，但初始狀態(tài)不同，其關(guān)節(jié)空間中的動力學方程形式如下：

其中：

γ1(q1,q2)=(m1+m2)r1cos(q2)+m2r2cos(q1+q2)，γ1(q1,q2)=m2r2cos(q1+q2)。

關(guān)節(jié)坐標空間到任務(wù)空間的轉(zhuǎn)換矩陣如下：

機械臂Jacobian矩陣為：

機械臂系統(tǒng)的有關(guān)參數(shù)參考文獻[22]，設(shè)置如下：m1=0.5 kg，m2=1.5 kg，r1=1 m，r2=0.8 m，J1=5 kg·m，J2=5 kg·m，g=9.81 m/s2。

任務(wù)空間中期望軌跡設(shè)置為：

兩機械臂兩連桿沿x和y方向的初始位置和初始速度分別為：

控制器參數(shù)及拉普拉斯矩陣設(shè)置為：

網(wǎng)絡(luò)輸入取為：

隱層高斯基函數(shù)的取值若不合適，將使高斯基函數(shù)無法得到有效的映射，從而導致RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)無效。故c按網(wǎng)絡(luò)輸入值的范圍取值：

3.2 仿真結(jié)果及分析

基于上述參數(shù)進行Matlab仿真，仿真結(jié)果如圖3～9所示。

圖3 任務(wù)空間中機械臂軌跡跟蹤曲線Fig.3 Trajectories tracking of robotic manipulators in task space

圖4 機械臂x、y方向軌跡跟蹤Fig.4 Movement trajectories of robotic manipulators in x and y direction

圖3、圖4分別為機械臂在任務(wù)空間和x、y方向上的軌跡跟蹤結(jié)果?？梢钥闯?，兩機械臂在同步控制器(22)的控制作用下，均能從任意初始位置精確跟蹤期望軌跡，并實現(xiàn)同步運動，跟蹤誤差及同步誤差可以漸近收斂到0，且整個機械臂系統(tǒng)在達到穩(wěn)定狀態(tài)后不再發(fā)生較大的波動。即模型不確定性可以被神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)準確估計，并被控制器τ3抵消。機械臂系統(tǒng)的輸入力矩如圖5所示。

圖5 兩連桿機械臂關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩Fig.5 Joint driving torque of two connecting rod manipulators

為進一步驗證所設(shè)計的同步控制器的有效性，在仿真時間第10秒對機械臂1施加一個時長0.5 s的脈沖干擾，幅度為d′=25，同時以兩機械臂無同步耦合時的情況為對比，仿真結(jié)果如圖6～9所示。

圖6 兩機械臂x、y方向跟蹤誤差對比Fig.6 Tracking error comparison of the two robotic manipulators in x and y directions

圖7 兩機械臂x、y方向同步誤差Fig.7 Synchronization error of the two robotic manipulators in x and y directions

圖8 兩機械臂x、y方向跟蹤誤差對比(未同步)Fig.8 Tracking error comparison of the two robotic manipulators in x and y directions (unsynchronized)

圖9 兩機械臂x、y方向同步誤差(未同步)Fig.9 Synchronization error of the two robotic manipulators in x and y directions (unsynchronized)

圖6、圖7為機械臂在滑模同步控制器(23)作用下的軌跡跟蹤誤差和同步誤差，可以看出，當機械臂1受到擾動之后，機械臂2可以快速跟蹤上受擾動機械臂，同步誤差保持在εx≤4.5×10-3m、εy≤0.02 m范圍內(nèi)。由仿真結(jié)果圖8、圖9可以看出，在受到脈沖干擾時機械臂1與機械臂2之間的同步誤差范圍為εx≤0.02 m、εy≤0.055 m，無法達到同步要求。

通過綜合分析仿真結(jié)果圖3～9，可以得到如下結(jié)論：通過合理設(shè)計控制器參數(shù)，利用本研究所提出的基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的滑?？刂扑惴?，考慮系統(tǒng)存在運動學不確定性、動力學不確定性和未知干擾，且機械臂之間存在交互影響的條件下，各機械臂即使存在較大的初始誤差，也能快速精確地跟蹤給定軌跡，且保證機械臂在受到擾動的情況下也能實現(xiàn)同步運動，即本研究所提出的同步控制算法能夠滿足控制要求。

4 結(jié)論

本研究針對存在不確定性的多機械臂系統(tǒng)，對其任務(wù)空間中同步控制問題進行研究。綜合運用滑?？刂啤BF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和交叉耦合誤差等原理和方法，設(shè)計了一種新的滑模同步控制器。主要結(jié)論如下：

1) 提出一種新的基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的機械臂任務(wù)空間滑模同步控制算法，可以對機械臂系統(tǒng)的動力學和運動學不確定性等進行估計并補償，提高了同步控制精度及傳統(tǒng)滑模控制器適應(yīng)性。

2) 基于圖論理論定義同步誤差和交叉耦合誤差，在此基礎(chǔ)上所設(shè)計的滑模同步控制器可以保證機械臂在存在外界干擾的情況下實現(xiàn)同步運動。