牟奇春

(成都職業(yè)技術(shù)學(xué)院 軟件學(xué)院， 成都 610041)

隨著個(gè)人計(jì)算機(jī)、智能手機(jī)和社交網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，圖像處理已經(jīng)逐漸成為人們生活中不可或缺的一部分[1-2]。圖像處理在眾多領(lǐng)域得到應(yīng)用，如基于視覺的植物生長監(jiān)測和識別[3]、智能交通系統(tǒng)[4]、生物醫(yī)學(xué)成像、醫(yī)學(xué)診斷和治療操作[5-6]、多媒體應(yīng)用、對象跟蹤和識別[7-8]等。

實(shí)際上，圖像在采集或傳輸過程中常被噪聲損壞，因此去噪是圖像預(yù)處理的一個(gè)重要部分，可以提高圖像質(zhì)量。圖像去噪方法包括空間域?yàn)V波器和變換域?yàn)V波器[9]，最常使用的空間濾波器有優(yōu)均值濾波器、高斯濾波器和中值濾波器。這些濾波器能使圖像平滑但會(huì)導(dǎo)致圖像邊緣模糊，另一種常用的維納濾波器需要噪聲頻譜和原始信號頻譜的細(xì)節(jié)[10]。自適應(yīng)去噪濾波器則根據(jù)圖像的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行操作，并以更高的復(fù)雜度實(shí)現(xiàn)更好的性能[11]?；陬l域的去噪方法通常使用傅里葉變換將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻域[12]，然后通過應(yīng)用具有特定截止頻率的濾波器去除噪聲分量，最后使用傅里葉逆變換來獲得去噪圖像。但是，這些方法的時(shí)間復(fù)雜度較高，并且會(huì)模糊圖像的細(xì)節(jié)。與僅提供頻率信息的傅里葉變換相比，小波變換允許通過母小波的平移和頻域擴(kuò)張?jiān)趦蓚€(gè)時(shí)域中定位。小波變換不僅支持多分辨率架構(gòu)，還具有稀疏性和能量壓縮的優(yōu)勢[13]。小波變換可以進(jìn)行與尺度相關(guān)的時(shí)頻信號定位，并進(jìn)行信號分析以檢測局部信號奇異性。這些特性使小波變換成為圖像去噪的理想選擇。

文獻(xiàn)[14]使用基于雙樹復(fù)數(shù)小波變換的局部自適應(yīng)窗雙變量模型設(shè)計(jì)了一種圖像去噪算法，然后根據(jù)鄰域系數(shù)的相關(guān)性，選擇合適的鄰域窗口大小進(jìn)行圖像去噪，但該方法的計(jì)算復(fù)雜度較高。文獻(xiàn)[15]提出一種基于離散小波變換的圖像去噪方法，通過對比不同的小波類型對圖像實(shí)現(xiàn)去噪，其去噪性能比雙樹復(fù)數(shù)小波方法的性能差。文獻(xiàn)[16]提出一種新的分解層數(shù)和噪聲閾值的小波去噪方法，計(jì)算時(shí)不需要噪聲估計(jì)的噪聲閾值，對正負(fù)小波系數(shù)使用單獨(dú)的噪聲閾值，對近似分量進(jìn)行去噪，允許靈活調(diào)整噪聲閾值，但實(shí)驗(yàn)信號對信號失真的耐受性低于圖像。

針對以上圖像去噪方法的不足，本文在研究噪聲圖像的小波分解層數(shù)的基礎(chǔ)上，提出了改進(jìn)二維Haar小波變換的圖像去噪算法。該方法使用子帶的標(biāo)準(zhǔn)偏差來確定小波變換后高頻子帶中信號能量的強(qiáng)弱，并以此來確定是否進(jìn)行下層小波分解。此外，提出了一種新的閾值函數(shù)，比較了多個(gè)閾值方案。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：本文方法能實(shí)現(xiàn)圖像去噪，去噪效果優(yōu)于其他方法。

1 二維Haar小波變換

對于二維Haar離散小波變換(discrete wavelet transform,DWT)，h(n)表示低通濾波器，g(n)表示高通濾波器。首先，通過h(n)和g(n)對圖像的每一行進(jìn)行濾波，然后對濾波器結(jié)果進(jìn)行頻率為2的下采樣，選擇頻率為2的下采樣參數(shù)是由于Haar DWT所要求的簡單性。之后，每個(gè)得到的列進(jìn)一步通過h(n)進(jìn)行低通濾波，并通過g(n)進(jìn)行高通濾波。在頻率為2的下采樣之后，圖像最終被分解為4個(gè)不同的子帶。

圖1 圖像的二維Haar DWT流程

在圖1中，最終2D Haar DWT的結(jié)果為LL，LH，HL和HH四個(gè)不同的子帶，LL對應(yīng)圖像的近似，HL對應(yīng)圖像的水平細(xì)節(jié)，LH對應(yīng)垂直細(xì)節(jié)，HH對應(yīng)圖像的對角細(xì)節(jié)?？梢酝ㄟ^使用LL，HL，LH和HH子帶數(shù)據(jù)來構(gòu)造圖2所示的另一個(gè)新圖像IMG_Haar。

通過二維Haar逆離散小波變換(Inverse discrete wavelet transform,IDWT)處理IMG_Haar以獲得原始圖像。二維IDWT執(zhí)行二維DWT的逆操作。對于二維IDWT，低通濾波器保持不變，但需要翻轉(zhuǎn)高通濾波器系數(shù)。此外，頻率為2的下采樣被更新為頻率為2的上采樣。

圖2 由圖像的二維 Haar子帶數(shù)據(jù)構(gòu)建的新圖像

2 本文改進(jìn)小波去噪方法

2.1 子帶標(biāo)準(zhǔn)差確定小波分解層數(shù)

在圖像數(shù)據(jù)[15]中，將加性高斯噪聲作為主要的不必要干擾源進(jìn)行研究。在二維DWT之后，高斯噪聲在不同頻帶上彼此獨(dú)立，但隨著DWT規(guī)模的增大，噪聲能量迅速降低。另一方面，原始圖像信號在同一位置保持其局部最大值，并且在二維DWT之后其能量不會(huì)迅速降低。

假設(shè)噪聲圖像為Imgnoisy，純圖像Img和添加的白高斯噪聲G_noise可以在等式(1)中表示。

Imgnoisy=Img+G_noise

(1)

為了研究高斯噪聲的行為，假設(shè)加性高斯白噪聲具有零均值和標(biāo)準(zhǔn)差σ_noise，并且上述Img等于零。然后，在二維Haar DWT之后，噪聲能量將在所有子帶中均勻分布。

如等式(2)和(3)所示，在一級二維Haar DWT之后，噪聲將分布在LL，HL，LH和HH這4個(gè)不同子帶中，子帶標(biāo)準(zhǔn)偏差值為σ1，σ2，σ3和σ4。 假設(shè)均值為零時(shí)，子帶平均噪聲能量與子帶標(biāo)準(zhǔn)偏差值相關(guān)聯(lián)。

(2)

σ1≈σ2≈σ3≈σ4

(3)

從等式(2)(3)可以很容易地導(dǎo)出等式(4)，即子帶噪聲標(biāo)準(zhǔn)偏差近似等于σ_noise。

σi≈σ_noise ,i=1,2,3,4

(4)

當(dāng)執(zhí)行更多小波分解時(shí)，所有子帶噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差近似等于σ_noise。在上述分析中，僅考慮使用零均值和標(biāo)準(zhǔn)差為30的高斯噪聲作為512×512大小的Imgnoisy。在二維DWT之后，獲得的子帶標(biāo)準(zhǔn)偏差值是σ1= 29.984 4，σ2= 29.978 2，σ3= 29.980 0和σ4= 30.049 4。這證明高斯噪聲子帶標(biāo)準(zhǔn)偏差值接近原始高斯噪聲標(biāo)準(zhǔn)偏差30。

上述分析表明純高斯噪聲的行為發(fā)生。現(xiàn)假設(shè)Img在等式(1)中不等于零，且將零均值高斯噪聲添加到圖像中。在一級二維Haar DWT之后，子帶LL，HL，LH和HH的標(biāo)準(zhǔn)偏差值分別為σnew1，σnew2，σnew3和σnew4，則有：

(5)

具有較高標(biāo)準(zhǔn)偏差值的子帶通常表示其具有比其他子帶更多的圖像信號能量，其他子帶具有更多的噪聲能量。在小波分解k層，頻圖像分量位于HLk、LHk和HHk中，低頻分量位于LLk頻段。本文算法將在具有更多噪聲能量的子帶上進(jìn)行閾值處理。

本文提出的小波分解層的過程分為以下3個(gè)主要步驟。

步驟1 在噪聲圖像上應(yīng)用第1層二維Haar DWT，然后獲得第1層高頻子帶的標(biāo)準(zhǔn)偏差值為σ_HL1、σ_LH1和σ_HH1，假設(shè)它們中的最小值是σ_min1。如果以上3個(gè)值都接近σ_min1，則表示3個(gè)子帶中的所有子帶都不受圖像能量的支配。因此，閾值處理可以直接應(yīng)用于這3個(gè)高頻頻段。

如果第1層高頻子帶具有比σ_min1高得多的標(biāo)準(zhǔn)偏差值，則表明所識別的子帶具有更多的圖像信號能量，并且還應(yīng)對所識別的第一層進(jìn)行第2層小波分解。高頻子帶去除其相關(guān)的第2層高頻子帶中的噪聲，這個(gè)階段不需要遞歸。

步驟2 在LL1子帶上應(yīng)用二維Haar DWT， 然后獲得第2層高頻子帶的標(biāo)準(zhǔn)差值為σ_HL2、σ_LH2和σ_HH2。假設(shè)它們中的最小值是σ_min2。 如果這3個(gè)值都接近σ_min2，則將閾值直接應(yīng)用于這3個(gè)高頻子帶。另一方面，如果任何子帶標(biāo)準(zhǔn)偏差值遠(yuǎn)高于σ_min2，則只執(zhí)行下一個(gè)層的小波分解，并且還對生成附加的3個(gè)高頻子帶執(zhí)行閾值，這個(gè)階段不是遞歸的。

步驟3 在LL2子帶上應(yīng)用二維Haar DWT， 然后執(zhí)行與步驟2中描述的類似的分解和閾值處理策略，圖像去噪處理在第3步結(jié)束時(shí)停止。

2.2 閾值函數(shù)

閾值的選擇對于使用小波閾值方法進(jìn)行圖像去噪的算法性能至關(guān)重要。非常小的閾值不能充分消除噪聲，而太大的閾值可以消除重要的圖像特征。Donoho定義的通用閾值因?yàn)楹唵涡猿１皇褂谩?/p>

(6)

σ=median(|HH1|)/0.674 5

(7)

其中:λ表示通用閾值，σ表示通用閾值噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差，sig_len是信號的長度。根據(jù)式(8)使用依賴于分解層的閾值。

(8)

其中，k表示二維DWT分解層數(shù)，使用的縮放參數(shù)1/(k+1)是考慮當(dāng)執(zhí)行更多層數(shù)的二維DWT時(shí)子帶中的高頻分量將更多地受噪聲能量支配。常用的閾值函數(shù)有硬閾值、軟閾值和半軟閾值函數(shù)。

硬閾值函數(shù)將小波系數(shù)的絕對值與閾值λ進(jìn)行比較，它保留了絕對值大于閾值的小波系數(shù)，對于低于閾值的小波系數(shù)，則將小波系數(shù)設(shè)置為零，硬閾值函數(shù)描述為：

(9)

硬閾值函數(shù)是不連續(xù)的，具有保留圖像局部特征(例如邊緣)的特點(diǎn)，缺點(diǎn)是可能在重建圖像中產(chǎn)生視覺失真。

軟閾值函數(shù)將小波系數(shù)向零移位，絕對值大于λ的小波系數(shù)減去λ，其他系數(shù)都設(shè)置為0。軟閾值處理后，小波域中的小波系數(shù)更平滑，重建圖像看起來更平滑，軟閾值函數(shù)描述為：

(10)

半軟閾值是一種在軟閾值和硬閾值之間進(jìn)行插值的函數(shù)，它使用閾值λ1和第二閾值λ2，半軟閾值函數(shù)描述為：

(11)

本文在上述閾值函數(shù)的基礎(chǔ)上，提出一種新的閾值函數(shù)，該閾值函數(shù)可以克服硬閾值函數(shù)對于小波系數(shù)過度收縮、軟閾值處理使圖像邊緣模糊的缺點(diǎn)。所提出的閾值函數(shù)是連續(xù)的，且在有噪小波系數(shù)和圖像信號小波系數(shù)之間提供了更平滑的過渡，本文閾值函數(shù)描述為：

(12)

當(dāng)|x|=λ，y=0；當(dāng)|x|=2λ，|y|=λ/2；當(dāng)|x|接近∞，y將近似等于x。本文閾值函數(shù)如圖3所示。

圖3 本文閾值函數(shù)

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本文圖像去噪的性能指標(biāo)是根據(jù)峰值信噪比PSNR和均方誤差MSE。PSNR表達(dá)式為：

(13)

MSE表達(dá)式為：

(14)

其中: IMGnoisyij表示噪聲圖像像素，IMGij表示ith行和jth列中的原始圖像像素值，wd和ht表示圖像的寬度和高度。圖4給出了基于本文討論不同方法的512×512灰度噪聲Lena圖像和去噪圖像，增加的高斯噪聲均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為30。

圖4 使用不同閾值函數(shù)去噪效果

在圖4中，噪聲圖像的PSNR值是18.58， 使用硬閾值、軟閾值、半軟閾值和本文方法的去噪圖像的PSNR值分別為23.87、26.90、26.39和27.30 dB。本文圖像去噪性能優(yōu)于其他3種閾值函數(shù)。圖5和圖6給出了標(biāo)準(zhǔn)差為5時(shí)高斯噪聲圖像的去噪PSNR和MSE值。表1給出了具有從10到25的不同高斯噪聲標(biāo)準(zhǔn)差的512×512 Lena灰度圖像的各種測試結(jié)果。

圖5 不同閾值函數(shù)下圖像去噪PSNR值

圖6 不同閾值函數(shù)下圖像去噪MSE值

從圖5、圖6和表1中數(shù)據(jù)可以得出：本文方法能獲得比硬閾值、軟閾值和半軟閾值方法更好的PSNR和MSE值。當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差為10～15范圍的值時(shí)，本文方法性能比半軟閾值方法好，半軟閾值方法能比硬閾值和軟閾值方法獲得更好的PSNR和MSE值。對于標(biāo)準(zhǔn)差為20～25范圍的值，軟閾值方法具有僅次于本文方法的性能，但比硬閾值和半軟閾值方法能獲得更好的PSNR和MSE值。

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，對200幅噪聲圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到其平均的PSNR和MSE值，如圖7所示，此時(shí)高斯標(biāo)準(zhǔn)差為10。

表1 不同標(biāo)準(zhǔn)值噪聲下的去噪性能

圖7 不同閾值函數(shù)下圖像去噪PSNR和MSE值

從圖7中可以看出：本文方法對于多幅圖像去噪得到的平均PSRN值和MSE值優(yōu)于其他3種閾值函數(shù)，說明本文方法的有效性。

所提出的小波去噪方法使用二維Haar DWT和IDWT具有低復(fù)雜度，該算法要求低頻帶的三層小波分解，而與圖像大小無關(guān)。只有當(dāng)相關(guān)的子帶標(biāo)準(zhǔn)偏差遠(yuǎn)高于同一層的其他子帶的最小標(biāo)準(zhǔn)偏差時(shí)，才需要執(zhí)行每個(gè)層的高頻子帶的下一層小波變換；否則，不需要對高頻子帶進(jìn)行進(jìn)一層的小波分解。 因此，本文提出的小波去噪方法的復(fù)雜程度與原始圖像像素的總數(shù)呈線性關(guān)系，即O(n)，其中n表示總圖像像素?cái)?shù)。

4 結(jié)束語

本文提出了一種能夠確定小波分解層數(shù)的改進(jìn)二維Haar小波閾值圖像去噪方法。該方法能夠根據(jù)子帶的標(biāo)準(zhǔn)差來確定是否進(jìn)行下一層小波分解。此外，提出了一種新的閾值函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了比硬閾值、軟閾值和半軟閾值方法更好的去噪性能。該方法復(fù)雜度低、易于實(shí)現(xiàn)，且小波分解的層數(shù)不依賴于圖像大小。提出的小波去噪算法僅需要O(n)個(gè)實(shí)數(shù)運(yùn)算。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：本文方法能夠有效實(shí)現(xiàn)圖像去噪，去噪效果優(yōu)于硬閾值、軟閾值和半軟閾值方法。未來工作將研究高頻子帶的標(biāo)準(zhǔn)差對小波閾值的影響。