魏春嶺，袁 泉，張 軍，王夢菲

0 引 言

隨著空間任務要求的提高，越來越多的航天器要求進行姿態(tài)快速機動和穩(wěn)定控制.然而，對于具有大型撓性附件的航天器來講，快速機動會激起附件的振動，縱使姿態(tài)機動到位了，平臺穩(wěn)定度指標則長時間達不到載荷工作要求，錯失工作時間窗口.因此對于帶有低頻大型撓性附件的航天器，研究其快速機動與穩(wěn)定的控制方法，控制機動過程中其大型撓性附件的振動具有重要意義[1-2].

為了解決大型航天器機動時的撓性附件振動問題，國內外的學者提出了各種機動路徑規(guī)劃方法，主要包括：多項式規(guī)劃法、正弦規(guī)劃法、指數(shù)規(guī)劃法等[3-4]，從原理上講，這些方法為工程化設計方法，主要是通過平滑姿態(tài)機動路徑來減小撓性附件的振動.這些方法涉及的設計參數(shù)較多，主要是通過反復調整參數(shù)，然后仿真來驗證機動效果，缺乏理論設計依據(jù).

本文從本質上分析附件振動的原理，設計了一種基于濾波器的路徑規(guī)劃方法，該方法設計簡單、魯棒性強，通過物理試驗驗證了該方法能極大減小姿態(tài)穩(wěn)定的時間，相比不采用撓性抑制方法時的100～1 000 s級的振動穩(wěn)定時間，該方法能使姿態(tài)穩(wěn)定時間降低到幾秒鐘量級.

1 系統(tǒng)模型

1.1 動力學模型

考慮一個中心剛體帶n個撓性附件的航天器，對撓性附件進行有限元模態(tài)分析，第j個撓性附件的模態(tài)坐標可表示為ηj=[ηj1ηj2…ηjl]T.

星體的姿態(tài)動力學方程可表示為[5]

式中,Js為整星相對于質心的轉動慣量，ωb為星體的姿態(tài)角速度，在本文中上標“×”代表相應三維列陣的反對稱斜方陣，Abaj為從附件坐標系到本體坐標系的轉換矩陣，Hj為星體中心體與撓性附件j的耦合矩陣，Cj為附件j的阻尼陣，Kj為附件j的剛度陣，Torq為作用于星體的控制力矩.

1.2 姿態(tài)控制算法

ωb=ωe+Abdωd(3a)

其中Abd為從期望姿態(tài)到星體本體姿態(tài)的坐標轉換矩陣，ωe為誤差姿態(tài)角速度.

將式(3)代入式(1)，并整理得

其中：

星體的誤差姿態(tài)滿足下列運動學方程：

取控制器形式如下：

Tr=k1qe+k2ωe-

其中，k1，k2為正的常值.本文重點在于對姿態(tài)機動問題的研究，在此不對控制器的設計展開分析，該控制器的穩(wěn)定性證明可見文獻[6].

2 指令濾波設計方法

指令濾波設計方法的框圖如圖1所示.

圖1 指令濾波設計方法控制框圖Fig.1 Illustration of Command Filter Method

考慮對撓性附件的振動抑制，撓性附件實際上是一個弱阻尼的二階振動系統(tǒng)，它與航天器的耦合動力學方程可改寫為如下式子：

考慮機動時繞歐拉軸轉動，設歐拉軸的方向余弦為VEuler,則有如下關系：

因此方程(8)可表示為

對a(t)設計如下形式的濾波器：

上述濾波器中，兩個慣性環(huán)節(jié)是考慮執(zhí)行機構、敏感器的慣性特性；兩個二階環(huán)節(jié)是考慮對撓性附件的振動抑制能力，其參數(shù)設計方法可完全參考慣用的結構濾波器設計方法，詳見文獻[7].不失一般性，可以根據(jù)實際需要，加入更多的一階環(huán)節(jié)、二階結構濾波器(如低通濾波器、陷阱濾波器).

一般在不考慮撓性影響時，Bang-Bang姿態(tài)機動過程中，機動路徑按下列方式規(guī)劃過程見圖2所示.機動過程分為勻加速度段、勻速段、勻減速段.設勻加速度段加速度為常值a，加速度時間為Δt1；勻速時間段為Δt2-Δt1；勻減速段的加速度為常值-a，減速時間段也為Δt1.如圖2所示，整個機動過程機動的角度為：

本論文提出利用設計的濾波器對上述Bang-Bang指令進行濾波.由于通過濾波的指令，已經考慮了執(zhí)行機構、敏感器的動態(tài)特性，同時利用結構濾波器的思想，實現(xiàn)了對撓性附件的振動抑制.下面證明：只要合理設計上述加減速持續(xù)時間，通過上述濾波器對指令進行濾波后，機動的角度仍然為aΔt1Δt2,從而滿足姿態(tài)機動的需求.

對于圖2中的加速度段，機動角度的拉氏變換為

下面以(11)式中的結構濾波器為例，對濾波后的指令進行分析，則經過濾波后的姿態(tài)角為：

對上式求反拉式變換，則上述響應在寬度為Δt1的方波輸入下，輸出為：

θ1(t)=θf(s)-θf(s-Δt1)(15)

于是有

等穩(wěn)定的極點都收斂后，該角度為：

在第一個方波輸入延時Δt2后，加入反向的另一個方波，即減速段，則其響應角度為：

θss2(t)=θss1(t-Δt2)

上述兩項相加，即得最終的機動角度：

θss(t) =θss1(t) +θss2(t) =aΔt1Δt2(19)

即通過上面的推導，可以看到，通過濾波后，要想使最終機動的角度還為aΔt1Δt2，需要滿足的條件是上述θss1(t)、θss2(t)中的穩(wěn)定極點項收斂到足夠小，一般上述極點與撓性航天器的振動模態(tài)相關，其收斂時間在振動模態(tài)的周期的量級，比如對于0.1 Hz的振動模態(tài)，其收斂時間約10 s，對于更高頻率，該收斂時間更短.因此通過本方法，可以保證在低頻模態(tài)情況下，系統(tǒng)收斂時間保持在低水平.

圖2 Bang-Bang機動過程規(guī)劃方案Fig.2 Attitude Maneuver with Bang-Bang Method

3 仿真驗證

3.1 數(shù)學仿真

設某大型航天器星體轉動慣量：

兩翼帆板的頻率為[0.318 0.92 1.728 1.883 4.83]Hz，其中第1階和第2階模態(tài)的耦合系數(shù)最大，是主要模態(tài).本文考慮執(zhí)行機構的響應能力設計一個慣性低通濾波器，并針對第1、2階模態(tài)設計兩個陷阱波器，取三軸機動指令濾波器形式如下：

其中，τ1=0.1，ξ1z=ξ2z=0.05，ξ1p=ξ2p=1.0，ω1z=ω1p=1.998 1，ω2z=ω2p=5.780 5.

滾動軸、俯仰軸分別需要進行20°、24°的姿態(tài)機動，機動角加速度最大值分別取0.025(°)/s2、0.03(°)/s2.仿真結果見圖3～圖13所示.通過圖3、圖4可以看到，進行濾波后，加速度指令相比Bang-Bang指令，波形上約有變化，在跳變處變得連續(xù)，從圖5～圖7可以看到，角速度的最大值變化并不大，但機動到位后，采用濾波算法，穩(wěn)定的時間要遠小于傳統(tǒng)的Bang-Bang算法，Bang-Bang算法穩(wěn)定時間超過了100 s，而采用濾波算法后，穩(wěn)定的時間在幾秒量級，不超過10 s.因此對振動的抑制效果非常顯著.圖8、圖9分別為滾動軸、俯仰軸機動角速度曲線，兩軸分別在Bang-Bang算法和本文濾波算法下，均機動到了期望角度；圖10、圖11分別為Bang-Bang算法和本文濾波算法中星體實際的控制力矩，可以看到，兩者在幅值和波形上區(qū)別并不大，但結合上述分析，對星體角速度的穩(wěn)定時間的影響卻區(qū)別非常大；同樣，還可以通過圖12、圖13對比Bang-Bang算法和本文濾波算法中撓性模態(tài)的振動情況，可以看到傳統(tǒng)的Bang-Bang算法，撓性模態(tài)得到了很大的激勵，是典型的二階撓性模態(tài)的振動，但采用本文的濾波算法后，撓性模態(tài)只變形，基本上不振動，機動過程中處于一種近似靜止的靜態(tài)變形，其最大形變幅度與Bang-Bang算法在一個量級，但其振動幅度比Bang-Bang要小二個量級以上.

圖3 滾動軸角加速度濾波前后對比圖Fig.3 Angular Acceleration in Roll Axis

3.2 物理試驗

本次試驗采用單軸氣浮臺，轉動慣量約為150 kg·m2左右.采用專門設計的撓性模擬板模擬衛(wèi)星太陽翼的撓性特性.其尺寸為：3 700 mm×300 mm×5 mm，材料為鋼.

本試驗中，為了突出撓性附件的振動特性，在太陽翼模擬器的端部安裝砝碼，使其基頻降低到0.1 Hz.針對該模態(tài)頻率，設計如下濾波器：

其中，τ1=0.1，ξ1z=0.05，ξ1p=1.0，ω1z=ω1p=0.628 3.

圖4 俯仰軸角加速度濾波前后對比圖Fig.4 Angular Accelerations in Pitch Axis

圖5 滾動軸角速度濾波前后對比圖Fig.5 Angular Velocities in Roll Axis

圖6 滾動軸角速度濾波前后對比圖(放大)Fig.6 Detailed Angular Accelerations in Roll Axis

圖7 俯仰軸角速度濾波前后對比圖(放大)Fig.7 Detailed Angular Accelerations in Pitch Axis

圖8 滾動軸機動角度Fig.8 Angles in Roll Axis

圖9 俯仰軸機動角度Fig.9 Angles in Pitch Axis

采用濾波器方法時，進行了30°的機動，仿真結果可以看到，進行30°機動時，機動加穩(wěn)定的時間不過40 s，采用本文中設計的濾波器方法后，穩(wěn)定的時間小于10 s，整個系統(tǒng)機動和穩(wěn)定的時間遠小于項目預期指標.

而采用普通的Bang-Bang方法做機動時，撓性附件激起的振動持續(xù)時間達到近100 s.采用本文所用的濾波方法，將穩(wěn)定時間降低了約90%.

圖10 Bang-Bang指令下三軸控制力矩Fig.10 Control Torques in Bang-Bang Command

圖11 濾波后三軸控制力矩Fig.11 Control Torques in Command Filter

圖12 濾波前后第一模態(tài)坐標對比圖Fig.12 Vibration of First Mode

圖13 濾波前后第二模態(tài)坐標對比圖Fig.13 Vibration of Second Mode

圖14 單軸氣浮臺照片F(xiàn)ig.14 Air Floating Test-bed in Single Axis

圖15 平行構型安裝的SGCMGFig.15 SGCMG in Parallel Configuration

圖16 機動角度Fig.16 Maneuver Angles

圖17 機動角度放大圖Fig.17 Detailed Maneuver Angles

圖18 機動角速度Fig.18 Maneuver Angular Velocities

圖19 機動角速度放大圖Fig.19 Detailed Maneuver Angular Velocities

4 結 論

針對低頻模態(tài)航天器的姿態(tài)機動控制，本文設計了基于濾波方法的機動路徑規(guī)劃，結合姿態(tài)跟蹤控制器，實現(xiàn)了撓性航天器機動后的快速穩(wěn)定控制.相對Bang-Bang及其它機動路徑規(guī)劃方法，本方法的特點是參數(shù)設計有依據(jù)，可針對具體航天器對象的撓性模態(tài)頻率進行針對性設計，并且機動到位后穩(wěn)定時間可預判，約為航天器主導撓性模態(tài)的振動周期.通過數(shù)學仿真和物理試驗驗證了方法的有效性和結論的正確性.