韓 冬，郭建新，郭廷榮，高益軍

0 引 言

低軌小衛(wèi)星常用磁力矩器與地球磁場相互作用產(chǎn)生力矩，用于衛(wèi)星的角動量卸載和姿態(tài)控制.LEO軌道的地球磁場強度較大，一般為20 000 nT左右，使用小型的磁力矩器就可以產(chǎn)生10-4N·m～10-3N·m的力矩.對于太陽同步軌道，衛(wèi)星對地定向狀態(tài)下的地磁場強度周期變化的，可以通過選擇合適的位置開啟磁力矩器產(chǎn)生合適力矩進行角動量卸載[1]或者使用三軸磁力矩器進行姿態(tài)控制[2].對于高軌衛(wèi)星，由于地球磁場較弱，一般不使用磁力矩器.然而高軌衛(wèi)星受到的干擾力矩以太陽光壓力矩為主，量級一般小于10-5N·m，若采用磁力矩器進行角動量卸載，也可以避免使用推力器卸載時對軌道產(chǎn)生的影響，當對衛(wèi)星軌道的預報精度要求較高時，可以采用磁力矩器進行角動量卸載.

1 靜止軌道的磁場

對于地球靜止軌道衛(wèi)星，地理緯度δ為小量，對IGRF地磁場模型取前兩階，并做簡化如下：

式中,Br為徑向的地磁場分量，Bλ為地理經(jīng)度方向的地磁場分量，Bδ為地理緯度方向的分量，

式中，R0為地磁半徑，a是GEO軌道的半長軸.

地磁場在GEO衛(wèi)星軌道系分量可以近似為

基于該磁場模型，磁場方向主要在沿Y軸，衛(wèi)星就不在Y軸安裝測力矩器.Z軸的磁力矩器產(chǎn)生的Y方向力矩較小.X軸磁力矩器對Y軸的卸載能力更強.

圖1 地磁場的XZ分量與定點地理經(jīng)度的關系Fig.1 The relationship for X/Z components ofmagnetosphere and longitude

GEO的磁場由于高度較高，易受太陽風導致的磁暴事件的影響.當強磁暴發(fā)生時，磁層頂部由于受到高速太陽風的劇烈擠壓而被壓縮到地球同步軌道之內(nèi)，發(fā)生同步軌道磁層頂穿越事件.此時不僅會因所處的磁場環(huán)境發(fā)生變化而影響姿態(tài)，還會因為失去了磁場的保護而使衛(wèi)星直接受到太陽風的沖擊.更加精確的描述靜止軌道位置處的磁場可以采用Tyganenko模型[3-4]，這個模型是結合磁場觀測資料和一定的物理考慮建立起來的半經(jīng)驗模型，模型甚至能夠近似磁暴期間的磁場變化情況[5].但是該模型比較復雜，難以用來進行磁卸載策略的設計.這里根據(jù)美國GOES衛(wèi)星磁強計的測量結果[6]，驗證上述近似磁場強度度的正確性.圖2為GOES14和GOES15衛(wèi)星測量的2019年6月11日至6月13日的磁場強度值.可以看到明顯的天周期特性，但是其平均值與上述近似模型的結果都在100 nT左右.磁力矩器工作時產(chǎn)生的力矩也很小，需要靠長時間的積累來產(chǎn)生角動量，磁場強度的周期性變化對積累角動量的影響較小，因此上述近似模型可以用于磁卸載的策略的計算.

圖2 GOES14和GOES15衛(wèi)星在軌測量的地磁場強度Fig.2 Magnetometer measurements ofGEOS 14 and GEOS 15

2 磁卸載方法

GEO衛(wèi)星的干擾力矩具有軌道周期特性，周期變化的角動量可以由動量輪吸收，是不需要卸載的.只有長期積累的角動量需要卸載.因此，可以每天進行一次卸載規(guī)劃，根據(jù)當前需要卸載的角動量確定后續(xù)一天的卸載計劃.

若沿衛(wèi)星的X軸安裝磁力矩器，其產(chǎn)生的本體系的力矩為：

[M0 0]T×[BxByBz]T=

[0 -MBzMBy]T

其中M為磁力矩器的磁矩.

Z軸的磁力矩器產(chǎn)生的本體系的力矩為：

[0 0M]T×[BxByBz]T=

[-MByMBx0]T.

假定X軸磁力矩器的磁矩為400 Am2，磁力矩器工作，產(chǎn)生的Y軸力矩約為1.2×10-5N·m，產(chǎn)生的Z軸力矩約為4.0×10-5N·m.累計一天，Y軸每天最大卸載能力為1.0 N·m·s，XZ平面內(nèi)每天的最大卸載能力為2.2 N·m·s.但兩個方向的卸載能力不可能同時達到最大值.

下面對磁棒的卸載開關控制律進行推導.忽略姿態(tài)偏差、軌道傾角的影響，沿衛(wèi)星星體X軸方向安裝的磁力矩器產(chǎn)生的力矩在慣性系為：

沿衛(wèi)星星體Z軸方向安裝的磁力矩器產(chǎn)生的力矩在慣性系為：

式中，α是衛(wèi)星的赤經(jīng)，此處所述的慣性系與衛(wèi)星過春分點時刻的軌道系重合.X軸磁力矩器和Z軸磁力矩器產(chǎn)生力矩相比，在XZ平面內(nèi)大小相同，僅在相位上差90°.Y方向產(chǎn)生的力矩分別與Bz和Bx有關.

從上式可以看出，Y軸需要卸載的角動量能夠唯一確定磁力矩器正向通電還是負向通電，兩個磁力矩器在Y方向上的力矩大小分別與Bz/Bx相關.在此基礎上，可以選擇磁力矩器工作的“赤經(jīng)”來滿足XZ方向的卸載力矩需求.X/Z兩個磁力矩器在XZ平面上的力矩相同，只是相位相差90°.因此下面基于X軸磁力矩器單獨工作，對卸載方法進行討論.

磁力矩器采用開關設計，只要開啟，其產(chǎn)生的磁矩就是最大磁矩.每個磁力矩器有正向通電、反向通電和關三種狀態(tài).通過調(diào)節(jié)開關時間，可以得到需要的力矩和角動量累積量.設磁力矩器在開啟時刻的相對赤經(jīng)為αON,關閉時刻的相對赤經(jīng)為αOFF，則對X軸磁力矩器慣性系下的力矩進行積分得到磁力矩器工作產(chǎn)生的角動量為：

其中ωe為地球自轉(zhuǎn)角速度.

設當前需要卸載的角動量為ΔH=[ΔHxΔHyΔHz]T.將X軸和Z軸的產(chǎn)生的卸載角動量分別與需要卸載的角動量相反，得到XZ平面的卸載方程：

其中arctan2(y,x)函數(shù)表示反正切函數(shù)，但其結果的取值范圍為[-π,π).

將Y軸產(chǎn)生的卸載角動量與所需卸載角動量相反，得到Y軸方向的卸載方程：

首先，根據(jù)ΔHy確定磁力矩器的正負通電狀態(tài)：

然后，根據(jù)XZ平面內(nèi)的角動量卸載方程可以得到：

或

兩組解分別對應磁力矩器工作時間小于半圈和大于半圈.為了兼顧Y軸的卸載，可以從兩個解中選出對Y軸卸載較為有利的一組解.對兩組解分別計算卸載完成后Y軸剩余的“角動量”即|αOFF-αON-2αy|,并取該值較小的一組解.

磁力矩器第一次通電弧段：

磁力矩器第二次通電弧段：

綜上所述，磁力矩器每天的工作模式有四種，如圖3所示.模式A和模式B均為一次通電，模式A的通電時間小于半個軌道周期，模式B的通電時間大于半個軌道.模式C和模式D均為正負兩次通電，模式D的兩次通電各半個軌道周期，模式C第一次通電時間為半個軌道周期，第二次通電隨時間小于半個軌道周期.

這四種模式下，對XZ平面和Y方向的卸載能力是不同的.圖4給出了在兩個磁力矩器同時工作的情況下的卸載能力范圍、卸載工作模式的對應關系.每一天的磁卸載產(chǎn)生的角動量對應圖中模式A/B/C/D曲線上的某一點.坐標橫軸和縱軸表示每天的干擾角動量累計量.當干擾角動量在模式B和模式C兩條線圍成區(qū)域以下時，磁卸載能自動在四個模式之間自動切換，完成三軸角動量卸載.在模式B/C兩條線以上區(qū)域時，只有XZ方向的角動量可完全卸載，Y方向的角動量將逐漸累積.當每天累計角動量在D區(qū)時，兩個方向的角動量都不能完全卸載，都將逐漸累積.當每天累計角動量在D區(qū)時，會出現(xiàn)卸載模式始終在D模式下運行.此時XZ平面內(nèi)卸載較多，Y方向不進行卸載.Y方向也有可能累計較快.此時可以通過引入XZ平面內(nèi)的卸載比例系數(shù)kxz,使得XZ平面內(nèi)在一圈內(nèi)可以卸載量為kxzαx和kxzαz,同時對Y軸又產(chǎn)生了一定的卸載作用，這樣可以調(diào)節(jié)三軸角動量的增長速度.圖中左上角的四個圓點表示某GEO衛(wèi)星在光壓力矩作用下每天的角動量積累量，在不同的季節(jié)有不同的值.四個點均在區(qū)域B中，說明磁力矩器可以實現(xiàn)卸載，并且一般都工作在模式B下.

圖3 四種角動量卸載工作情況示意圖Fig.3 Four kinds of angular momentum unloading modes

圖4 卸載工作區(qū)域劃分和能力范圍Fig.4 Unloading region and unloading scope

3 磁卸載策略仿真

使用以上的卸載策略進行仿真.仿真中，衛(wèi)星在每天的固定時間進行磁卸載策略計算，根據(jù)當前的角動量進行下一次卸載規(guī)劃.隨后的一天中，按照計算結果控制開關磁力矩器.一天后，再根據(jù)當時的衛(wèi)星三軸角動量重新計算卸載策略.

3.1 仿真算例一

衛(wèi)星本體系下光壓力矩包含常值項和周期項，即以下的形式：

Ti=T0+T1icos(u-u0i),其中i=x,y,z

由于是在衛(wèi)星本體下表示的力矩，其在角動量積累上影響三軸是不同.對于Y軸，常值項引起角動量積累，周期性引起角動量周期變化；對于X軸和Z軸，常值項引起角動量周期變化，周期項引起角動量積累.

仿真算例一的三軸常值項為[0.5 5 0.5]，三軸周期項為[10 22 -10]，干擾力矩的單位為10-6N·m.在這種設置下，衛(wèi)星Y軸角動量累積較快.從圖6磁力矩器工作弧段看，其工作模式在A和B之間切換，大部分時間工作在模式A，每隔1～2天出現(xiàn)一次模式B.

圖5 仿真算例一角動量變化情況及磁力矩器產(chǎn)生的卸載力矩Fig.5 Angular momentum and the torque madeby magnetorquer of example 1

圖6 仿真算例一磁力矩器工作弧段Fig.6 Magnetorquer work arc for example 1

3.2 仿真算例二

仿真算例二的三軸常值項為[0.5 5 0.5]，三軸周期項為[40 22 -40]，干擾力矩的單位為10-6N·m.在這種設置下，衛(wèi)星三軸角動量累積較快.當kxz=1.0進行仿真發(fā)現(xiàn)磁力矩器始終工作在模式D，導致Y角動量增長較快.將XZ卸載比例kxz設置為0.8，仿真結果如下圖所示.磁力矩器工作模式大部分都是模式C.XZ平面內(nèi)的角動量和Y軸的角動量增長速度比較均勻.仿真60天，XZ平面內(nèi)的角動量增加到27 N·m·s左右，Y軸角動量增長到13 N·m·s左右.

圖7 仿真算例二角動量變化情況及磁力矩器產(chǎn)生的卸載力矩Fig.7 Angular momentum and the torque madeby magnetorquer of example 2

圖8 仿真算例二磁力矩器工作弧段Fig.8 Magnetorquer work arc for example 2

4 結 論

針對GEO衛(wèi)星使用磁力矩器進行角動量卸載問題，首先基于近似的地磁場模型分析了同步軌道上磁場的特征.由于地球靜止軌道的地磁場強度基本為常值，磁卸載方法與低軌衛(wèi)星有較大的差別.根據(jù)開關式磁力矩器產(chǎn)生力矩的特點，設計了GEO衛(wèi)星的磁卸載方案.對于中國上空的GEO衛(wèi)星，采用一個沿衛(wèi)星X軸安裝的磁力矩器，對赤道平面內(nèi)(XZ平面)的角動量和南北極方向(Y方向)的角動量有四種卸載工作模式.星上每天根據(jù)星體角動量積累情況，計算下一天的磁力矩器開關機時間，可以有效的兼顧這兩個方向的卸載，從而實現(xiàn)衛(wèi)星三軸角動量卸載.