圓柱滾子軸承徑向跳動的仿真分析

司卓一,余永健,馬偉,,李濟順,,薛玉君,

(1.河南科技大學 機電工程學院,河南 洛陽 471003;2.河南省機械設計與傳動系統(tǒng)重點實驗室,河南 洛陽 471003)

滾動軸承是整個機械設備系統(tǒng)重要的零部件，軸承的旋轉精度在一定程度上決定了機械系統(tǒng)的運動精度，軸承的旋轉精度是評價軸承精度等級的重要指標。國內外學者對軸承旋轉精度做了大量研究，文獻[1]通過數值仿真與試驗相結合的方法分析了滾動體數量、尺寸誤差和滾道形狀誤差對軸心軌跡形狀誤差的影響；文獻[2]建立考慮外圈溝道形狀誤差及鋼球尺寸誤差的球軸承非重復性跳動仿真計算模型，分析了軸承溝道形狀誤差、鋼球數量、鋼球尺寸誤差對球軸承非重復跳動的影響；文獻[3]建立角接觸球軸承旋轉精度計算模型，分析了軸承內外圈溝道及鋼球波紋度對軸承非重復性跳動的影響；文獻[4]建立深溝球軸承非重復性跳動的五自由度靜力學模型，分析了鋼球直徑誤差分布、內外圈溝道的圓度誤差對深溝球軸承非重復性跳動的影響；文獻[5]考慮圓柱滾子軸承內、外圈滾道形狀誤差建立圓柱滾子軸承幾何精度模型，分析了滾子尺寸誤差、滾道形狀誤差幅值和階次對軸承幾何精度的影響；文獻[6]建立基于五自由度擬靜力學模型的高速角接觸球軸承非重復性跳動模型，分析了軸承零件波紋度對角接觸球軸承非重復性跳動的影響；文獻[7]建立基于軸承內圈滾道圓度誤差的軸承旋轉精度模型，分析了軸承旋轉精度與內圈滾道幾何誤差之間的關系；文獻[8]考慮軸承外圈滾道圓度誤差建立軸承旋轉精度數學模型，分析了外圈滾道圓度誤差階數及幅值對軸承旋轉精度的影響。

上述對滾動軸承旋轉精度的研究取得了一定成果，但多在空載下進行。文獻[5]分析了載荷約束和軸承零件間的幾何協(xié)調關系，但并沒有考慮軸承徑向游隙和套圈旋轉速度，而文獻[7-8]深入分析了軸承內、外圈滾道輪廓對軸承旋轉精度的影響，但未考慮軸承在實際工況下受到的載荷約束和軸承旋轉帶來的流體壓力及摩擦力。鑒于此，以NU209圓柱滾子軸承為例，基于擬靜力學法對軸承零件的運動及受力進行了分析，得到滾子、保持架、套圈的受力平衡方程，再通過聯立幾何協(xié)調關系建立圓柱滾子軸承旋轉精度的數學仿真模型。并通過該模型分析了外圈滾道圓度誤差幅值、諧波階次以及徑向載荷、轉速對軸承旋轉精度的影響。

1 軸承徑向跳動仿真模型

軸承徑向跳動是直觀表征軸承旋轉精度的一項重要數據。建立軸承徑向跳動的數學仿真模型的假設：1)由于載荷約束，外圈沿受載方向發(fā)生變形和位移，僅考慮載荷方向上的徑向跳動；2)滾子和滾道表面沒有軸向的幾何和形貌誤差；3)由于保持架的關系，滾子在圓周方向上等間隔分布，保持架為理想元件，僅與滾子之間存在相互作用力，沒有幾何形狀誤差；4)滾子受離心力作用時各個滾子受力相同。

1.1 徑向跳動幾何模型

由于僅考慮軸承外圈滾道圓度誤差的存在，外圈滾道為非圓輪廓，軸承幾何模型如圖1所示，xeOeye為以外圈滾道旋轉中心為坐標原點建立的坐標系，xOy為以軸承中心O為坐標原點建立的坐標系，內圈中心與O重合。內圈固定，外圈旋轉。δr表示外圈旋轉時Oe和O在豎直方向的偏移距離。外圈徑向偏移量最大值為δrmax，最小值為δrmin，則軸承徑向跳動量Kea=δrmax-δrmin。

圖1 軸承幾何模型

軸承外圈滾道輪廓用Fourier級數可表示為

(1)

θ=ψj-θe，

式中：θ為在坐標系下外圈輪廓任意一點與xe方向的夾角；de為軸承外圈滾道理想圓直徑；m為諧波階次；Cm為外圈滾道第m階諧波幅值；φm為內圈滾道第m階諧波初始相位角；ψj為第j個滾子的位置角；θe為外圈轉動的角度；θr為隨外圈轉動滾子及保持架轉動角度；Z為滾子數量。

滾子和保持架會隨著外圈旋轉而轉動，則

(2)

滾子由于受到套圈的載荷作用產生了變形，第j個滾子的變形為

(3)

Gr=Re(θ)-di-2Dw，

式中：δj為第j個滾子與內外圈總的彈性接觸變形；δij，δej分別為滾子與內、外圈之間的接觸變形；hij，hej分別為彈流潤滑下滾子與內、外圈之間的最小油膜厚度；Gr為軸承徑向游隙；di為軸承內圈滾道直徑；Dw為滾子直徑。

1.2 滾子與套圈之間的接觸判斷

在載荷作用和軸承零件幾何約束下，由于滾子受離心力作用，會出現滾子與內圈滾道分離的現象。假設第j個滾子剛好與內圈接觸，則其中心在坐標系xeOeye中的參數方程為

(4)

式中:Fc為離心力;mr為滾子質量；Dpw為滾子組節(jié)圓直徑；ωm為滾子和保持架的公轉速度；K為滾子與套圈接觸的載荷-變形常數。

其載荷-變形常數為

(5)

式中:l為滾子有效接觸長度；E1，E2分別為兩接觸材料的彈性模量；ν1，ν2分別為兩接觸材料的泊松比。

在坐標系xeOeye中，內圈輪廓方程為

(6)

聯立(4)，(6)式，若有實數解，則滾子與內圈接觸，若無實數解，則滾子與內圈不接觸。

1.3 擬靜力學平衡方程

第j個滾子與套圈的相對運動關系如圖2所示，ωe為外圈角速度，ωbj為滾子自轉角速度。

圖2 相對運動關系

第j個滾子與內、外圈滾道的相對滑動速度為

(7)

γ=Dw/Dpw,

第j個滾子與內、外圈滾道接觸點的平均速度為

(8)

為方便計算，將(7)～(8)式量綱一化，即

(9)

式中：Ri，Re分別為滾子與內外圈接觸處的當量曲率半徑；E0為當量彈性模量；η0為潤滑油的動力黏度。

第j個滾子受力模型如圖3所示,滾子平衡方程為

圖3 滾子受力模型

(10)

式中:Pij,Pej分別為滾子與內、外圈滾道接觸時的流體動壓力；Tij，Tej分別為考慮油膜作用時內、外圈滾道對滾子的切向摩擦力；Fmj為保持架對滾子的法向作用力；fm為摩擦因數；Qij，Qej分別為內、外圈與滾子的徑向接觸載荷；Fc為滾子離心力。

由于勻速旋轉,保持架受力平衡方程為

(11)

外圈在徑向載荷Fr和滾子載荷Frj(圖1)作用下受力平衡，平衡方程為

(12)

滾子與內、外圈滾道接觸的流體動壓力Pij，Pej為

(13)

式中：λ為潤滑油黏壓指數，在恒定溫度下為常數。

考慮油膜作用時內、外圈滾道對滾子的切向摩擦力Tij，Tej為

(14)

式中：Fhij和Fhej為滾道通過油膜作用于滾子上的滑動摩擦力。

內、外圈與滾子之間的徑向接觸載荷Qij，Qej為

(14)

(3)，(10)，(11)，(12)式共4Z+2個未知數:每個滾子有4個未知數δij，δej，ωbj，Fmj，共計4Z個未知數，對應 (3)，(10)式共4Z組方程；還有保持架轉速ωm和外圈徑向偏移量δr這2個未知量，結合 (11)，(12)式可以通過Newton-Raphson法求解得到。

2 計算流程

1) 設定圓柱滾子軸承的相關參數，并設定徑向載荷Fr和外圈轉速ωe，把軸承幾何中心和軸承最下方滾子幾何中心都處在y軸上的情況設定為軸承的初始狀態(tài)，計算出當前狀態(tài)下軸承外圈的徑向偏移量δr，并求得外圈滾道輪廓方程Re(θ);

2) 根據計算出的δr和Re(θ)判斷滾子與內圈滾道是否接觸，然后計算出當軸承處于初始狀態(tài)時每個滾子與內、外圈之間的接觸變形量δij,δej,以及軸承零件做純滾動時每個滾子的自轉速度ωbj和保持架轉速ωm，再根據文獻[9]計算出保持架與滾子間的作用力Fmj；

3) 根據 (3)，(10) 式，以上一步計算得到的δij，δej，ωbj，Fmj為初始值(共計4Z個)，利用Newton-Raphson法進行迭代，計算得到軸承運轉時的δij，δej，ωbj，Fmj共計4Z個值，并更新代替上步中的值；

4) 將更新后的δij，δej，ωbj，Fmj共計4Z個值代入 (3)，(10)，(11)，(12)式，以步驟(1),(2)中的外圈徑向偏移量δr和保持架轉速ωm為初始值，利用Newton-Raphson法進行迭代計算，得到新的δr和ωm值；

5) 將步驟(4)中的δr，ωm與步驟(1)，(2)中的進行對比，若|Δδr|和|Δωm|不能同時滿足給定的精度要求，則用步驟(4)中的計算結果替代步驟(1)和步驟(2)中的結果，重復步驟(2)～(4)，直至滿足精度要求；

6) 外圈以1°的步長旋轉，將上一個步長中迭代計算得到的結果作為初始值代入當前步長的計算中，重復步驟(2)～(5)，迭代計算出當前步長下外圈的徑向偏移值δrn(n為步長數)，依次類推，當滾子公轉一周，找出外圈徑向偏移量的最大值δrmax和最小值δrmin，軸承徑向跳動值Kea=δrmax-δrmin。

3 模型驗證

以NU209圓柱滾子軸承為例，其主要結構參數如下：外圈滾道直徑為75 mm，內圈滾道直徑為55 mm，滾子數量為14，滾子有效長度為9 mm。套圈和滾子材料均為GCr15，材料泊松比為0.3，彈性模量為204.083 GPa。潤滑油牌號為MIL-L-7808。徑向游隙為0.034 94 mm。

假設軸承各零件均為理想狀態(tài)，當外圈轉速為15 000 r/min時，取軸承徑向載荷分別為1 500，2 000，3 000，4 000，5 000 N，仿真計算得到保持架公轉速度ωm。文獻[9]中有與上述工況條件相同的計算，其結果與仿真結果對比見表1。由表可知，仿真與文獻計算結果相對誤差較小，在允許范圍之內，說明文中提出的徑向跳動計算模型是合理的，能夠用于預測圓柱滾子軸承的旋轉精度。

表1 仿真結果與文獻結果對比

4 仿真分析

以第3節(jié)的NU209圓柱滾子軸承為例分析，若未提及，則文中計算默認軸承參數外圈諧波幅值Cm為1 μm，滾子數為14。

4.1 外圈滾道圓度誤差幅值對徑向跳動的影響

在徑向載荷為5 000 N、外圈轉速為1 000 r/min的情況下,外圈滾道圓度誤差幅值對徑向跳動的影響如圖4所示，由圖可知，隨外圈滾道圓度誤差幅值增大，徑向跳動增大，圖4中3條曲線幾乎呈直線，說明外圈滾道圓度誤差幅值對徑向跳動的影響呈線性。

圖4 外圈滾道圓度誤差幅值對軸承徑向跳動的影響

4.2 外圈滾道圓度誤差階次對徑向跳動的影響

外圈轉速為1 000 r/min、外圈滾道圓度誤差幅值為1 μm的條件下,徑向載荷、滾子數不同時，外圈滾道圓度誤差階次對徑向跳動的影響如圖5、圖6所示。由圖5可知，隨著外圈圓度誤差諧波階次的增加，外圈徑向跳動呈現出波動。當軸承徑向載荷較小時，軸承徑向跳動值隨外圈滾道圓度誤差階次的波動越劇烈；軸承徑向載荷越大，徑向跳動值隨圓度誤差階次波動越平緩；隨徑向載荷增加，徑向跳動呈減小趨勢。由圖6可知，當諧波階次數等于滾子數時，徑向跳動出現最大值。由于圖5中軸承滾子數為14個，也可驗證這點。滾子數為10時諧波階次對軸承徑向跳動的影響如圖7所示，由圖7可知隨外圈圓度誤差諧波階次增加，徑向跳動值呈周期性變化，當諧波階次等于滾子數的整數倍時，徑向跳動出現極大值。

圖5 徑向載荷不同時諧波階次對軸承徑向跳動的影響

圖6 滾子數不同時諧波階次對徑向跳動的影響

圖7 滾子數為10時諧波階次對軸承徑向跳動的影響

綜上所述，在軸承的加工過程中，為提高軸承旋轉精度，需根據軸承零件參數控制軸承套圈滾道的諧波階次。

4.3 徑向載荷對徑向跳動的影響

在外圈轉速為1 000 r/min、外圈滾道圓度誤差幅值為1 μm、諧波階次為2的條件下，軸承徑向載荷對徑向跳動的影響如圖8所示。從圖8可以看出，隨徑向載荷增加，徑向跳動呈減小趨勢。

圖8 徑向載荷對徑向跳動的影響

4.4 軸承轉速對外圈徑向跳動的影響

在徑向載荷分別為1 500，5 000 N,外圈滾道圓度誤差幅值為1 μm，諧波階次為2的條件下，軸承轉速對徑向跳動的影響如圖9所示。由圖可知，隨外圈轉速的增加，徑向跳動呈增大趨勢。

圖9 軸承轉速對徑向跳動的影響

5 結論

1) 隨外圈滾道圓度誤差幅值增大，徑向跳動值明顯增大，且外圈滾道圓度誤差幅值對徑向跳動的影響近似呈線性。

2) 諧波階次對軸承旋轉精度的影響比較復雜，隨外圈滾道圓度誤差諧波階次的增加，徑向跳動值呈周期性變化，當諧波階次數等于滾子數時，徑向跳動出現最大值。

3)隨軸承徑向載荷增大，徑向跳動減小;隨軸承轉速增加，徑向跳動值增大。