王淑婷

摘要：本文梳理總結了國內外文獻，分別對穩(wěn)健參數(shù)設計以及多響應優(yōu)化方法進行闡述，通過對文獻的整理，了解穩(wěn)健參數(shù)設計的發(fā)展歷程、研究現(xiàn)狀，并分析穩(wěn)健參數(shù)設計和多響應優(yōu)化方法的研究趨勢。

Abstract： This paper summarizes the domestic literature and abroad， elaborates robust parameter design and multi-response optimization methods respectively， Through the literature collation， we understand the development history and research status of robust parameter design， and analyze the research trend of robust parameter design and multi-response optimization methods.

關鍵詞：參數(shù)設計;優(yōu)化算法;質量設計

Key words： parameter design;optimization algorithm;quality design

中圖分類號：TB21? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1006-4311（2019）18-0256-04

1? 穩(wěn)健參數(shù)設計方法

在技術創(chuàng)新、實現(xiàn)量產的情況下，國內外對產品的需求不僅僅局限于數(shù)量，而是更加關注質量，隨著人們的需求變化，工業(yè)界開始了對質量的控制和改進。但是傳統(tǒng)的質量控制集中在事后控制，無法實現(xiàn)從源頭上降低成本、提高產品質量的目標。在70年代，Taguchi提出了穩(wěn)健設計方法來進行質量控制，并在研究者們的深入探索中，不斷對其進行改進，以滿足實際需求。穩(wěn)健參數(shù)設計主要內容是，在產品設計過程中，通過控制可控因子的組合，得到多組實驗數(shù)據(jù)，選取最佳的參數(shù)組合，這一方法能有效的減少波動，提高產品的穩(wěn)健性。

1.1 基于田口方法的穩(wěn)健參數(shù)設計

穩(wěn)健設計[1]也叫三次設計，包括系統(tǒng)設計、參數(shù)設計以及容差設計，其實質在對產品參數(shù)進行設計前，研究對象為可控因子，在考慮噪聲因子的情況下，進行正交試驗設計，得到多組不同的可控因子和噪聲因子組合以及實驗結果即響應值，通過計算信噪比，對于不同特性的響應值采取不同的信噪比計算公式，最終確定最優(yōu)的參數(shù)組合。

在80年代的日本，三次設計被廣泛的使用在電子、化工、鋼鐵等多個行業(yè)[2]，與此同時，我國也逐漸對質量問題重視起來，邀請?zhí)锟诓┦恐v學，在各地推廣田口方法，效果顯著。Taguchi博士根據(jù)不同的響應的特性，包括望大、望小和望目三種將SN比（信噪比）作為評價參數(shù)組合優(yōu)劣的一種指標[1]：

1.1.1 望大特性信噪比：

1.1.2 望小特性信噪比：

1.1.3 望目特性信噪比：

在1992年的一次針對田口方法的討論會[3]上，Box提出田口方法的主要目標是在一組實驗內得到最優(yōu)參數(shù)組合，但是這不具有代表性;Welch認為在使用田口方法需要進行大量的實驗，然而其得到的實驗數(shù)據(jù)卻無法代表實際生產過程，并且田口方法也沒有考慮因子之間是否存在交互作用;Kacker提到田口參數(shù)設計一般情況下無法考慮波動的影響，然而在實際生產過程中，波動是普遍存在的，并且對參數(shù)組合有較大的影響;Shoemaker等人提出建立組合表來同時考慮可控因子和噪聲因子，可以彌補Taguchi方法的不足;Myers提出Taguchi方法需要在試驗之前獲得響應值的散落區(qū)間的這一缺點。

1.2 基于響應曲面法的穩(wěn)健參數(shù)設計

針對田口方法存在的不足，許多專家學者開始對田口方法進行優(yōu)化和創(chuàng)新。90年代初期，Shoemaker考慮了因子之間的交互作用，提出了響應曲面法。但是需要在已知存在何種交互作用的基礎上才能使用響應曲面法，然而實際操作中，確定交互作用并進行試驗是非常復雜的過程。Gunst在響應曲面法中考慮了噪聲因子的存在，使得響應曲面法更加貼近實際操作，進而在工業(yè)界被廣泛使用。（圖1）

基于響應曲面法（RSM）的穩(wěn)健參數(shù)設計可以分為雙響應曲面法（DRSM）和響應建模法（RMA）。1973年，Myers和Carter提出雙響應曲面法，1990年，Vining[4]等人使用該方法來解決參數(shù)設計問題，并擬合出二階多項式模型如式（4）（5）所示：

雙響應曲面法的實質是通過重復試驗獲得多組數(shù)據(jù)，分別擬合均值和方差兩個響應曲面模型，對這兩個模型進行優(yōu)化，得到最優(yōu)解。該方法從多個方面考慮了誤差的作用以及因子之間的相互作用，并且其優(yōu)化精度也較高。

然而這一方法不可缺少的一部分是對模型進行擬合，而對于因子較多、響應之間具有相關性的情況難以擬合。響應建模法是基于Welch等提出的組合表進行試驗設計與建模的一種方法，在1991年，Shoemaker等學者在響應曲面法的基礎上，進一步推導出了響應的均值模型和方差模型。響應建模法的優(yōu)點時，在計算響應的方差模型時，僅以少量的實驗數(shù)據(jù)就能實現(xiàn)，通過建立考慮了噪聲因素的響應的均值模型，對該均值模型直接求方差。Copeland等人在1996年提出將雙響應問題轉化為以次響應為約束條件來優(yōu)化主響應的問題。李昭陽和韓之俊[5]通過設計正交實驗，并且利用計算機技術對噪聲因子變化進行仿真模擬，提高了模型的精度。但已有的雙響應曲面法存在許多問題，如多數(shù)研究集中于提高模型的擬合性，對于當前較為復雜的工藝不適用，因此，崔慶安[6]等人利用支持向量回歸機對模型的均值、方差的進行擬合。除了以上的研究，學者們還發(fā)現(xiàn)權重在穩(wěn)健設計中發(fā)揮重要的作用，但以往的研究多以實驗者的主觀想法來確定權重，但這樣無法客觀的描述實驗結果，因此歐陽林寒[7]等學者將熵權理論引用到穩(wěn)健設計中，并將加權MSE作為優(yōu)化函數(shù)，這一方法同時對均值和標準差進行了優(yōu)化。伍建軍[8]等人將對方差和均值求最優(yōu)解的問題轉化為只求一個綜合滿意度函數(shù)最大值的問題。

1.3 基于廣義線性模型的穩(wěn)健參數(shù)設計

隨著穩(wěn)健參數(shù)設計在各行業(yè)中的使用，學者們發(fā)現(xiàn)并不是所有的響應都是服從正態(tài)分布的，如產品缺陷率服從泊松分布。對于這些非正態(tài)響應問題，無法用響應曲面法對其進行參數(shù)設計，因此學者們開始探索解決非正態(tài)響應問題的方法。1972年，Nelder等學者提出了廣義線性模型。

廣義線性模型的構成包括三個部分：

1984年，Pregibon提出將廣義線性模型法來處理參數(shù)設計非正態(tài)響應的問題。McCullagh、Nelder和Myers[9]等人在書中系統(tǒng)的詳細闡述了廣義線性模型并介紹了該方法在工程領域上的應用。Myers還提出，在一定程度上，廣義線性模型法是響應線性模型法的深化，對于響應符合正態(tài)分布的情況，其方差利用廣義線性模型來構建效果更佳。Lee[11]等學者建立了基于均值與散度的聯(lián)合廣義線性模型對非正態(tài)響應進行優(yōu)化。接著還提出了分層廣義線性模型，Robinson[10]等人利用廣義線性混合模型描述了產品或過程波動的隨機效應。隨著工程領域過程的復雜化，相應的構建的模型也越來越復雜，因此傳統(tǒng)的優(yōu)化方法已不再滿足需求，因此，需要對其進行深入研究。馬彥輝[12]為解決模型較為復雜的問題，對非正態(tài)響應的均值和方差函數(shù)進行二次泰勒級數(shù)展開。汪建均[13]等學者構建了基于GLM的雙響應曲面模型，并運用遺傳算法與模式搜索相結合對構建的模型尋優(yōu)。吳劉倉[14]等學者應用最大擴展擬似然估計和最大偽似然估計來解決數(shù)據(jù)缺失問題。陳夏[15]等人研究了如何使得變量選擇和參數(shù)估計兩個過程同時進行的問題，提出對高維廣義線性模型進行擬似然自適應Lasso估計。

2? 參數(shù)優(yōu)化方法

參數(shù)設計的最后一步就是對參數(shù)進行優(yōu)化，在參數(shù)設計的過程中，已經將設計目標轉化為可定量分析的某種參數(shù)指標，通過優(yōu)化方法對其尋優(yōu)，最終得到最優(yōu)參數(shù)組合。

2.1 滿意度函數(shù)法

為了使?jié)M意度函數(shù)更加適用于實際情況，1980年，Derringer等學者滿意度函數(shù)描述為分段式函數(shù)，其實質是將每個響應轉換成單個的滿意度函數(shù)，建立綜合滿意度函數(shù)D，最優(yōu)解就是D的最大值。

式中，di表示第i個響應的個體滿意度;Li表示第i個響應的下界;Ui表示第i個響應的上界;Ti表示第i個響應的目標值;指數(shù)si和ti決定著滿意度函數(shù)的凹凸性或者線性。

由于滿意度函數(shù)法比較簡單，被廣泛應用在在參數(shù)優(yōu)化中，但是傳統(tǒng)的滿意度函數(shù)法存在許多不足：①未考慮響應之間的相關性;②未考慮響應的方差—協(xié)方差架構;③未考慮參數(shù)設計過程中因子容差擾動的影響;④對當前大量存在的實際工程應用中較為復雜的數(shù)據(jù)進行優(yōu)化時，效果不佳。Shah[16]指出當響應之間的相關性較大時，滿意度函數(shù)法得到的結果不準確。Wu[17]探討了不同響應之間的相關性，并提出將滿意度函數(shù)和田口損失函數(shù)結合來建立優(yōu)化模型。滿意度函數(shù)法的最終目標就是為了實現(xiàn)參數(shù)組合的穩(wěn)健性。Lee[18]等人在滿意度函數(shù)中引入過程能力這一指標來實現(xiàn)過程中所有響應的穩(wěn)健性。Kim等人[19]利用滿意度函數(shù)法同時優(yōu)化了位置、散度模型。何楨[20]用置信區(qū)間來作為穩(wěn)健性的一個衡量標準，考慮了響應的方差-協(xié)方差結構，對滿意度函數(shù)進行了改進。朱鵬飛[21]考慮了因子容差擾動對參數(shù)設計的影響，結合遺傳算法和模式搜索算法對其進行優(yōu)化。張流洋[22]提出了同時考慮主觀、客觀權重對滿意度函數(shù)進行優(yōu)化。劉玉敏[23]引入噪聲因素對傳統(tǒng)的滿意度模型進行改進。Salmasnia[24]同時考慮了實際工程中輸入和輸出之間的關系建立一種基于滿意度函數(shù)法的新型穩(wěn)健參數(shù)設計。伍建軍[25]因此應用熵權理論構建了改進的綜合滿意度函數(shù)，并采用廣義降階梯度法求最優(yōu)解。

2.2 質量損失函數(shù)法

田口博士認為若某產品的質量，僅僅是達到了一般要求，沒有達到其最優(yōu)的狀態(tài)時，就會有質量的損失，因此田口提出質量損失函數(shù)，其表達式如下，其中L（x）表示質量損失，m表示質量特性標準，x表示質量特性值，K為常數(shù)表示質量損失系數(shù)：

質量損失觀點的實質是以定量的方式來質量對顧客造成的損失進行評價，用來評判產品質量的好壞。最初的質量損失集中于單響應研究，但是隨著當前實際工程的復雜化，對于質量的研究早已不是集中于單響應。因此學者們提出將多個響應變量描述成一個較為簡單的函數(shù)，使得質量損失函數(shù)法適用于多響應的參數(shù)優(yōu)化，這個簡單的函數(shù)就是質量損失函數(shù)。Khuri、Kapur和Artiles-leon[27]等學者分別通過定義范式距離、泰勒級展開以及無量綱標準化給出了多變量質量損失函數(shù)。Ames[26]提出了二次損失函數(shù)用來優(yōu)化模型。有學者認為上述的無量綱標準化的多變量損失函數(shù)有以下缺點：①沒有考慮多個響應之間的相關性;②該函數(shù)不適用于望大、望小的響應。因此馬義中[28]等人將無量綱損失函數(shù)進行疊加，把三種類型的質量特性合成一個系統(tǒng)，進而通過主成分分析來解決多響應之間的相關性問題。汪建均[29]通過貝葉斯統(tǒng)計建模，利用后驗概率方法對質量損失函數(shù)進行優(yōu)化，實現(xiàn)了多變量的穩(wěn)健性。楊昌明[30]研究了由于期望值異于響應值帶來的非對稱質量損失問題，引入截尾正態(tài)分布理論推導出均值計算公式，解決了該問題，用來Jenoui[31]利用Topsis方法和田口質量損失函數(shù)結合來解決模型或者參數(shù)等不確定這一問題。Eslamipoor[32]指出過程能力指數(shù)（PCI）在工程領域的實用性，評估了已有的PCI方法，他認為損失函數(shù)是PCI的重要工具。Nezhad[33]利用Taguchi的對稱二次質量損失函數(shù)來評估產品質量。

2.3 主成分分析法

主成分分析法（PCA）是由美國統(tǒng)計學家Pearson提出，之后Hotelling在隨機變量研究中應用主成分分析法。1997年，Su和Tong應用主成分分析法解決多響應優(yōu)化問題，其關鍵步驟就是利用主成分分析法對多響應進行降維。但是該方法在分析過程時，將一些信息篩選出去了，造成最終留下的成分不全面。為克服PCA的這一缺點，Liao[34]提出一種加權的主成分分析法。Shih[35]將Liao提出的方法應用在實際生產過程中，有效的解決了多響應優(yōu)化問題。但是加權主成分分析法僅僅對均值進行了優(yōu)化，忽略了穩(wěn)健性，無法實現(xiàn)穩(wěn)健參數(shù)設計的最終目標。因此何楨[36]等人將PCA與RSM相結合同時優(yōu)化了響應的均值和標準差。朱連燕[37]將PCA與DEA相結合以優(yōu)化傳統(tǒng)的主成分分析法，有效地解決了響應間的相關性問題。Soh[38]設計了一種基于PCA的核方法，該方法允許在構建單個聚合性能度量時捕獲多個特征之間的非線性關系。

2.4 其他優(yōu)化方法

傳統(tǒng)的優(yōu)化方法還有廣義距離函數(shù)法、概率法、多元過程能力指數(shù)法等。宗志宇[39]等多位學者對幾種多響應優(yōu)化方法進行了比較分析，最終通過實際數(shù)據(jù)分析得出滿意度函數(shù)法、概率法的優(yōu)化效果較好的結論。

傳統(tǒng)的響應優(yōu)化方法多集中于理論上的最優(yōu)，而對于實際工程中的較多、復雜的參數(shù)難以實現(xiàn)全局優(yōu)化。Myers等學者利用約束優(yōu)化方法來處理雙響應曲面問題，但該方法只能用在當響應在一個凸可行域內對一個凸函數(shù)求最小的情況下。Copeland等人使用Nelder-Mead單純型算法對雙響應曲面問題進行優(yōu)化求解。Ortiz[40]等人引入遺傳算法對滿意度函數(shù)進行優(yōu)化，較以往的優(yōu)化方法，遺傳算法能實現(xiàn)全局優(yōu)化。在當前的工程問題中，使用遺傳算法以及概率模擬方法等優(yōu)化算法能夠更加高效、準確的實現(xiàn)多響應優(yōu)化。朱飛宇[41]通過構建BP神經網絡模型，實現(xiàn)了響應優(yōu)化問題到非線性規(guī)劃問題的轉變，進而通過次序二次規(guī)劃算法進行計算，得到優(yōu)化結果。張流洋[42]利用混合遺傳算法對通過MSN與RSM相結合構建了綜合期望損失函數(shù)進行優(yōu)化。汪建均[43]在貝葉斯統(tǒng)計建模的基礎上，利用蒙特卡洛模擬方法和混合遺傳算法進行計算優(yōu)化。馮澤彪[44]利用MAP和聚類分析方法實現(xiàn)參數(shù)的全局優(yōu)化。

3? 穩(wěn)健參數(shù)設計發(fā)展趨勢

通過對現(xiàn)有研究的總結和梳理，發(fā)現(xiàn)當前穩(wěn)健參數(shù)設計應用領域廣泛，如機械、航天航空、生物化工等，經過幾十年的發(fā)展，其研究也更加深化、科學。由于質量的優(yōu)劣對于一個產品的影響是非常大的，因此穩(wěn)健參數(shù)設計的研究也會得到不斷地發(fā)展，通過整理總結主要研究方向有如下三點：①不確定性的研究：在進行穩(wěn)健參數(shù)設計時，往往存在模型、參數(shù)或者其他信息的不確定性，在實際測量中往往無法獲取某些信息，因此對于不確定形的研究是非常有必要的;②全局研究優(yōu)化：以往的參數(shù)設計往往無法對過程進行全局優(yōu)化，某一部分的最優(yōu)無法代表整個體系的最優(yōu)，因此，當前多數(shù)研究都在傳統(tǒng)穩(wěn)健參數(shù)設計的基礎上結合計算機技術，最終實現(xiàn)全局優(yōu)化;③穩(wěn)健性研究：穩(wěn)健參數(shù)設計的最終目標就是實現(xiàn)最優(yōu)性和穩(wěn)健性，在多數(shù)已有的研究中往往只尋求的部分的最優(yōu)解，而忽略了對穩(wěn)健性的研究。

參考文獻：

[1]馬林.六西格瑪管理[M].北京：中國人民大學出版社，2004，1：370.

[2]李泳鮮，孟慶國，姬振豫.機械穩(wěn)健設計的研究概況與趨勢[J].工程設計，1999（01）：5-8.

[3]Nair V N， Abraham B， Mackay J， et al. Taguchi＼"s Parameter Design： A Panel Discussion[J]. Technometrics， 1992， 34（2）：127-161.

[4]Vining G.G.，Myers R.H..Combining Taguchi and response surface philosophies： a dual response approach. J. of Quality Technology， （1990）， 22（1）：pp.38-45.

[5]李昭陽，韓之俊.田口方法和雙重曲面響應（DRSM）法[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理，2000（05）：40-44，33.

[6]崔慶安，何楨，車建國.一種基于支持向量機的非參數(shù)雙響應曲面法[J].天津大學學報，2006（08）：1008-1014.

[7]歐陽林寒，馬義中，汪建均，吳鋒.基于熵權理論和雙響應曲面的穩(wěn)健設計[J].管理工程學報，2014，28（02）：191-195，190.

[8]伍建軍，黃裕林，謝周偉，吳佳偉，吳小明.基于改進滿意度函數(shù)法的雙響應曲面穩(wěn)健設計優(yōu)化[J].機械設計與研究，2016，32（03）：1-5.

[9]Myers， R.H.， Montgomery， D. C.， Ving， G. G.， Generalized Linear Models with Application in Engineering and the Sciences[C].2002， New York： John Wiley &Sons.

[10]Robinson， T.J.， Wulff， S. S.， Montgomery， D. C. and Khuri， A.I.， Robust Parameter Design Using Generalized Linear Mixed Models[J]. Journal of Quality Technology，2006， 38（1）：65-75.

[11]Lee， Y.， Nelder， J. A.， Hierarchical Generalized Linear Models： A Synthesis of Generalised Linear Models， Random Effect Models and Structured Dispersions[J]. Biometrika， 2001， 88：987-1006.

[12]馬彥輝.基于GLM的非正態(tài)響應穩(wěn)健設計研究[D].天津大學，2008.

[13]汪建均，馬義中.基于GLM的雙響應曲面法及其穩(wěn)健設計[J].系統(tǒng)工程與電子技術，2012，34（11）：2306-2311.

[14]吳劉倉，邱貽濤，詹金龍.缺失數(shù)據(jù)下雙重廣義線性模型的參數(shù)估計[J].應用數(shù)學，2014，27（04）：714-724.

[15]陳夏，崔艷.高維廣義線性模型的擬似然自適應Lasso估計[J].陜西師范大學學報（自然科學版），2019，47（02）：1-9.

[16]Shah H K， Montgomery D C，Carlyle W M. Response surface modeling and optimization in multiresponse experiments using seemingly unrelated regressions[J]. Quality Engineering，2004， 16（3）： 387-397.

[17]Wu F C. Optimization of correlated multiple quality characteristics using desirability function[J]. Quality engineering，2004，17（1）：119-126.

[18]Lee P H，Yum B J. Multiple-characteristics parameter design：A desirability function approach based on process capability indices[J]. International Journal of Reliability，Quality and Safety Engineering，2003，10（4）：445-461.

[19]Kim K J，Lin D K J. Optimization of multiple responses considering both location and dispersion effects[J]. European Journal of Operational Research，2006，169（1）：133-145.

[20]何楨，宗志宇，孔祥芬.改進的滿意度函數(shù)法在多響應優(yōu)化中的應用[J].天津大學學報，2006（09）：1136-1140.

[21]朱鵬飛，何楨.考慮因子容差的多響應曲面穩(wěn)健優(yōu)化[J]. 系統(tǒng)工程，2011，29（04）：71-76.

[22]張流洋，馬義中，汪建均，歐陽林寒.考慮主客觀權重的多響應穩(wěn)健優(yōu)化設計[J].系統(tǒng)工程，2014，32（04）：87-95.

[23]劉玉敏，趙利肖.基于滿意度函數(shù)的多響應穩(wěn)健優(yōu)化模型及實證研究[J].運籌與管理，2015，24（04）：83-91.

[24]Salmasnia A， Bashiri M . A new desirability function-based method for correlated multiple response optimization[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology， 2015， 76（5-8）：1047-1062.

[25]伍建軍，黃裕林，謝周偉，吳佳偉，吳小明.基于改進滿意度函數(shù)法的雙響應曲面穩(wěn)健設計優(yōu)化[J].機械設計與研究，2016，32（03）：1-5.

[26]Ames A E， MacDonald S， Mattucci N， et al. Quality loss functions for optimization across multiple response surfaces[J]. Journal of Quality Technology， 1997， 29（3）：339-346.

[27]Artiles-leon N. A pragmatic approach to multi-response problems using loss functions[J]. Quality Engineering， 1996， 9（2）：213-220.

[28]馬義中，程少華，李言俊.改進的多變量質量損失函數(shù)及其實證分析[J].系統(tǒng)工程，2002（04）：54-58.

[29]汪建均，馬義中，歐陽林寒，等.多響應穩(wěn)健參數(shù)設計的貝葉斯建模與優(yōu)化[J].管理科學學報，2016，19（02）：85-94.

[30]楊昌明，段勝秋.基于非對稱質量損失模型的函數(shù)機構穩(wěn)健設計[J].西華大學學報（自然科學版），2016，35（02）：30-33.

[31]Jenoui K， Abouabdellah A. Estimating supplier's hidden quality costs with Taguchi quality loss function and Topsis method[C]. International Colloquium on Logistics & Supply Chain Management. IEEE， 2017， Morocco.

[32]Eslamipoor R， Hosseini-Nasab H. A modified process capability index using loss function concept[J]. Quality and Reliability Engineering International， 2016， 32（2）：435-442.

[33]Nezhad F， Saber M， Farsani， et al. Determining the optimum process mean in a two-stage production system based on conforming run length sampling method[J]. Quality Technology and Quantitative Management， 2018， 15（6）：749-757.

[34]Liao H C. Multi-response optimization using weighted principal component[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology， 2006， 27（7-8）：720-725.

[35]Shih J S， Tzeng Y F， Yang J B. Principal component analysis for multiple quality characteristics optimization of metal inert gas welding aluminum foam plate[J]. Materials & Design， 2011， 32（3）：1253-1261.

[36]何楨，張迎冬.基于主成分分析的多響應穩(wěn)健性優(yōu)化方法研究[J].工業(yè)工程與管理，2012，17（06）：47-54.

[37]朱連燕，馬義中，張金紅.基于PCA與偏好強度可調的DEA方法的多響應穩(wěn)健參數(shù)設計[J].數(shù)學的實踐與認識，2015，45（16）：6-15.

[38]Soh W， Kim H，Yum B J. Application of kernel principal component analysis to multi-characteristic parameter design problems[J]. Annals of Operations Research， 2015， 263（1-2）：69-91.

[39]宗志宇，何楨，孔祥芬.多響應優(yōu)化方法的比較和應用研究[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理，2006（06）：697-704.

[40]Ortiz F， Simpson J R， Pignatiello J J， et al. A genetic algorithm approach to multiple-response optimization[J]. Journal of Quality Technology， 2004， 36（4）：432-450.

[41]朱飛宇.基于BP神經網絡的動態(tài)穩(wěn)健參數(shù)設計[J]. 數(shù)學的實踐與認識，2014，44（21）：218-227.

[42]張流洋，馬義中，汪建均，等.考慮偏度特征的動態(tài)多響應穩(wěn)健參數(shù)設計與優(yōu)化[J].系統(tǒng)工程與電子技術，2016，38（02）：339-346.

[43]汪建均，馬義中，歐陽林寒，等.多響應穩(wěn)健參數(shù)設計的貝葉斯建模與優(yōu)化[J].管理科學學報，2016，19（02）：85-94.

[44]馮澤彪，汪建均.考慮模型響應不確定性的穩(wěn)健參數(shù)設計[J].控制與決策，2019，34（02）：233-242.