李 強(qiáng),亢 婷,陳飛飛,張啟敏

(1.東南大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,江蘇南京211189)

(2.寧夏大學(xué)新華學(xué)院,寧夏銀川750021)

(3.南京林業(yè)大學(xué)林學(xué)院,江蘇南京210037)

(4.寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,寧夏銀川750021)

1 引言

隨機(jī)微分方程廣泛應(yīng)用于多個(gè)領(lǐng)域,比如環(huán)境,生物,金融,經(jīng)濟(jì)和其他科學(xué)方面[1–3].近年來(lái),年齡相關(guān)隨機(jī)種群系統(tǒng)已成為熱點(diǎn)研究問(wèn)題,并取得了很大的成就.比如Zhang 和Liu 展現(xiàn)了年齡相關(guān)隨機(jī)種群系統(tǒng)的存在性、唯一性和指數(shù)穩(wěn)定性[4];Li 和Leung 研究了帶Markov 轉(zhuǎn)置年齡相關(guān)隨機(jī)種群系統(tǒng)數(shù)值解的收斂性[5];Ma 和Zhang 分析了帶分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)年齡相關(guān)隨機(jī)種群系統(tǒng)的數(shù)值解[6];Pang 和Li 給出了半隱式歐拉法年齡相關(guān)隨機(jī)種群系統(tǒng)數(shù)值解的收斂性[7].

然而,據(jù)我們所知,關(guān)于帶Poisson 跳年齡相關(guān)隨機(jī)時(shí)滯種群系統(tǒng)(Stochastic Agedependent Delay Population Systems,SADDPSs)的均方穩(wěn)定性研究很少.帶跳模型也出現(xiàn)在許多其他應(yīng)用領(lǐng)域,并且能描述意想不到的突然的狀態(tài)變化[8].針對(duì)年齡相關(guān)隨機(jī)種群系統(tǒng),由于一些突發(fā)事件的變化,比如地球外物體的影響人口系統(tǒng)的規(guī)模大大增加或減少,因此使用跳躍擴(kuò)散系統(tǒng)能更好得描述人口密度的動(dòng)態(tài).此外研究這些問(wèn)題的解的性質(zhì)是很有價(jià)值的.本文我們將討論如下帶Poisson 跳年齡相關(guān)隨機(jī)時(shí)滯種群系統(tǒng)

其中a ∈[0,A]為年齡,t ∈[0,T]為時(shí)間,P=P(t,a),Q=(0,T)×(0,A),=[?τ,0]×[0,A],P0=P(0,a)=η(0,a),τ 為時(shí)滯,Pτ=P(t ?τ,a).時(shí)滯意味著種群密度和以前某時(shí)刻的種群密度是相互獨(dú)立的.dtP 表示P 對(duì)t 的微分,即P(t,a)表示在t 時(shí)刻年齡為a的種群密度,β(t,a)表示在t 時(shí)刻年齡為a 的種群的生育率,μ(t,a)表示在t 時(shí)刻年齡為a的種群死亡率,Wt是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的Brown 運(yùn)動(dòng),f(t,P,Pτ)dt+g(t,P,Pτ)dWt+h(t,P,Pτ)dNt表示外界環(huán)境對(duì)種群系統(tǒng)的擾動(dòng),比如遷移、地震、火山爆等等.

本文對(duì)帶Poisson 跳年齡相關(guān)隨機(jī)時(shí)滯種群系統(tǒng)的均方穩(wěn)定性問(wèn)題討論是對(duì)文獻(xiàn)[9–15]的擴(kuò)展,具有重要的研究意義.

論文安排如下,我們研究了帶Poisson 跳年齡相關(guān)隨機(jī)種群系統(tǒng)補(bǔ)償隨機(jī)θ 法的均方穩(wěn)定性.第二部分給出了一些定義,并且也給出了數(shù)值解均方穩(wěn)定性的定義和條件;第三部分討論了系統(tǒng)解析解的均方穩(wěn)定性;第四部分研究了補(bǔ)償隨機(jī)θ 法的均方穩(wěn)定性;第五部分,給出了一個(gè)數(shù)值算例對(duì)結(jié)論的有效性和正確性進(jìn)行了驗(yàn)證.

2 預(yù)備知識(shí)

V =H1([0,A])≡{?|? ∈L2([0,A]),∈L2([0,A]),其中是廣義偏導(dǎo)數(shù)},V 是Sobolev 空間,H=L2([0,A]),滿(mǎn)足

V'=H?1([0,A])是V 的對(duì)偶空間;定義|·|和·分別為V,V'上的范數(shù);·,·表示V 與V'空間的內(nèi)積;(·,·)是H 空間上的數(shù)量積.m 是一個(gè)常數(shù),即有

令C=C([?τ,0];H)表示所有從[?τ,0]到H 的連續(xù)函數(shù)組成的空間,其范數(shù)定義為和是Borel

設(shè)(?,F,{Ft}t≥0,P)是完備概率空間,假設(shè){Ft}t≥0是由三個(gè)完全獨(dú)立的過(guò)程生成的濾波算子(左極限是右連續(xù)的,并且F0包含所有的零測(cè)集).Wt是定義在完備的概率空間(?,F,P)上并且取值在可分的Hilbert 空間K 上的Wiener 過(guò)程,具有增量協(xié)方差算子W.Nt是定義在相同的概率空間帶有參數(shù)λ 的標(biāo)準(zhǔn)Poisson 過(guò)程.設(shè)Wt和Nt是相互獨(dú)立的.B ∈L(K,H)是所有從K 到H 的有界線性算子空間,B2表示Hilbert-Schmidt 范數(shù),即

并且假設(shè)φ(t)是F0可測(cè)的,右連續(xù)的,有Eφ2<∞.我們也假設(shè)f(t,0,0)=0,g(t,0,0)=0,h(t,0,0)=0,這樣系統(tǒng)(1)有零解P(t,a)≡0.

定義2.1(見(jiàn)文[16])如果存在一系列正常數(shù)λ 和C,使得

那么系統(tǒng)(1)的零解是p 界矩指數(shù)穩(wěn)定.當(dāng)p=2 時(shí),通常為指數(shù)均方穩(wěn)定.

為了證明本章的主要結(jié)論,我們給出如下假設(shè)條件.

(i)μ(t,a),β(t,a)在V 上非負(fù)可測(cè)的,存在常數(shù)μ0和使得

(ii)存在一些常數(shù)bi,ci,di,i=1,2 滿(mǎn)足

3 帶Poisson 跳SADDPSs(1)的均方穩(wěn)定性

下面給出帶Poisson 跳SADDPSs(1)具有均方穩(wěn)定性的一些充分條件.

定理3.1假設(shè)系統(tǒng)(1)滿(mǎn)足條件(i)–(ii),P(t):=P(t,a)是其解,令α2b1+2b2+c1+c2+λ(1+2d1+2d2)<0,那么系統(tǒng)(1)的解析解是指數(shù)均方穩(wěn)定的.

證令t ≥0,δ>0,利用公式,得

從式(3)和(4),可以得到

相似地,從式(5)和(6)可以得到

由于

把式(9)–(11)和假設(shè)條件(i)帶入到式(8)中,可以得出

令ν(t)=E|P(t)|2,ε=2b2+c1+c2+λ(1+2d1+2d2),則

其中

由于α<0,則?2b1>ε ≥0.結(jié)合文獻(xiàn)[4]中引理1.1,存在正常數(shù)κ 和σ 使得

基于上述結(jié)果,以下部分我們將研究系統(tǒng)(1)數(shù)值解補(bǔ)償隨機(jī)θ 法的穩(wěn)定性.

4 帶Poisson 跳SADDPSs(1)補(bǔ)償隨機(jī)θ 法的均方穩(wěn)定性

這一部分,將研究系統(tǒng)(1)補(bǔ)償隨機(jī)θ 法的均方穩(wěn)定性. 由于補(bǔ)償?shù)腜oisson 過(guò)程是一個(gè)鞅,滿(mǎn)足以下的性質(zhì)

重新寫(xiě)系統(tǒng)(1)的等價(jià)形式

對(duì)式(17)利用隨機(jī)θ 方法誘導(dǎo)出以下補(bǔ)償隨機(jī)θ 方法的形式

在此,Pn表示P(t,a)的逼近,參數(shù)θ 的范圍為0 ≤θ ≤1,?t:=tn+1?tn是步長(zhǎng),存在正整數(shù)m 滿(mǎn)足τ=m?t,正整數(shù)N 滿(mǎn)足T=N?t,Wn:=Wtn+1?Wtn和

定義4.1給出步長(zhǎng)?t=τ/m,如果帶Poisson 跳SADDPSs(1)的數(shù)值解Pn滿(mǎn)足

則系統(tǒng)(1)的數(shù)值解Pn是均方穩(wěn)定的.

定理4.1假設(shè)條件(3)–(6)成立.如果1/2 ≤θ ≤1,對(duì)于每個(gè)步長(zhǎng)?t=τ/m 補(bǔ)償隨機(jī)θ 法是均方穩(wěn)定的.

證從式(18)可以得到

其中

這樣對(duì)于1/2 ≤θ ≤1,有

從式(3),(4)和(6),可以得到

和

對(duì)式(22)兩邊取期望,把式(23)–(27)帶入到式(22)中,有

因此對(duì)不等式(28)遞歸計(jì)算得到

重新整理式(30),利用假設(shè)條件(i),得到

為了給出數(shù)值方法的指數(shù)穩(wěn)定性,需要給出以下引理,在文獻(xiàn)[17]中是定理1.

引理4.1(見(jiàn)文[17])給出一些確定的整數(shù)N ≥0,對(duì)于?t>0,假設(shè)tn=t0+n?t,是一系列正數(shù)序列并滿(mǎn)足

如果β?t=0,則N=0,其中T:={?N,···,?1,0}.如果

定理4.2假設(shè)條件(3)—(6)成立,漂移系數(shù)f 滿(mǎn)足線性增長(zhǎng)條件,存在一個(gè)常數(shù)D 使得

標(biāo)記

其中

如果0 ≤θ<1 和步長(zhǎng)?t ∈(0,?t0)并且?t0=min{?t1,?t2,?t3},補(bǔ)償隨機(jī)θ 方法是指數(shù)均方穩(wěn)定的.

證從式(18)可以得到

因此有

其中Mn定義在式(21).從式(6),(17)和(34),可以得到

將式(23)–(27)和式(37)帶入到式(36)中,取期望可以得到

可以導(dǎo)出

因此

其中

結(jié)合引理4.1,得出步長(zhǎng)隨機(jī)θ 方法是均方穩(wěn)定的,如果

可以得出

和

明顯地

其中

因?yàn)镹(θ,0)=1,則必存在?t3>0,使得當(dāng)?t0.另一方面,如果N(θ,?t)≥0 總是正確的,定義?t3為∞.因此令

當(dāng)?t ∈(0,?t0)時(shí),式(43)成立,即定理4.2 得證.

通過(guò)證明定理4.2,很容易能得到以下的結(jié)果.

定理4.3假設(shè)(3)–(6)式和α<0 成立,如果θ=1,對(duì)于每個(gè)步長(zhǎng)?t=τ/m,補(bǔ)償隨機(jī)θ 法是指數(shù)均方穩(wěn)定的.

5 數(shù)值算例

這一部分的主要目的是通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證結(jié)論的有效性和正確性.考慮如下帶Poisson跳年齡相關(guān)隨機(jī)時(shí)滯種群系統(tǒng).

Wt是標(biāo)準(zhǔn)的Brownian 運(yùn)動(dòng),Nt是帶有參數(shù)λ=1 標(biāo)準(zhǔn)的Poisson 過(guò)程.在這種情況下,條件(3)–(6)和α<0 是滿(mǎn)足的.b1=?4,b2=1,c1=0,c2=1,d1=1 和d2=0,這樣可以得到α=?2,確保系統(tǒng)(46)在給出的條件下是均方穩(wěn)定的.

圖1:(a)當(dāng)θ=0.5 時(shí);(b)當(dāng)θ=0.8 時(shí),在步長(zhǎng)為?t=1/8,1/4,1/2,1 數(shù)值解的軌跡.

接下來(lái)的數(shù)值模擬將會(huì)呈現(xiàn)出補(bǔ)償隨機(jī)θ 法中的參數(shù)θ 和步長(zhǎng)?t 是如何影響系統(tǒng)數(shù)值解的均方穩(wěn)定性.我們對(duì)E|Pn|2模擬1000 次,也就是

定理4.1 說(shuō)明在假設(shè)條件(3)–(6)成立下.當(dāng)1/2 ≤θ ≤1,對(duì)于每個(gè)步長(zhǎng)?t=τ/m 補(bǔ)償隨機(jī)θ 法是均方穩(wěn)定的.圖1 是分別選取θ 為0.5 和0.8,?t 為1/8,1/4,1/2,1 利用式(18)解決(46)得到的.從圖1 發(fā)現(xiàn)在這些步長(zhǎng)下補(bǔ)償隨機(jī)θ 法是均方穩(wěn)定的.

圖2:(a)當(dāng)θ=0 時(shí);(b)當(dāng)θ=0.2 時(shí),在不同步長(zhǎng)?t=1/20,1/8,1/2,1 數(shù)值解的軌跡.

定理4.2 說(shuō)明在假設(shè)條件(3)–(6)成立下,當(dāng)0 ≤θ ≤1,對(duì)于步長(zhǎng)?t ∈(0,?t0)補(bǔ)償隨機(jī)θ 法是指數(shù)均方穩(wěn)定的.Nt是帶有參數(shù)λ=1 的標(biāo)準(zhǔn)的Poisson 過(guò)程. 式(34)成立,b1=?3,b2=0,c1=0,c2=1,d1=0,d2=1,τ=1,D=9 和α=?2,因此系統(tǒng)(46)是指數(shù)均方穩(wěn)定的.根據(jù)定理4.2,計(jì)算出?t1=1/19(1 ?θ)2,?t2=5/18(1 ?θ)2,和N(θ,?t)=18(1?θ)2(?t)2?5(1?θ)?t+1.很明顯得到對(duì)于每個(gè)步長(zhǎng)?t>0,N(θ,?t)>0,取?t3=∞,因此得到?t0=min{?t1,?t2,?t3},將補(bǔ)償隨機(jī)θ 法用到系統(tǒng)(46),隨著參數(shù)θ 的增加,步長(zhǎng)限制很小.圖2 是我們分別選取θ 為0 和0.2,?t 為1/20,1/8,1/2,1 利用(18)時(shí)候解決(46)式得到的.結(jié)合定理4.2,我們計(jì)算出θ=0 時(shí),?t0=0.0526；θ=0.2 時(shí),?t0=0.0822.從圖2 發(fā)現(xiàn)在步長(zhǎng)?t=0.05 下,補(bǔ)償隨機(jī)θ 法是指數(shù)均方穩(wěn)定的,?t 最好在(0,?t0)中選取.當(dāng)步長(zhǎng)選取大于?t0時(shí),這種方法將不會(huì)穩(wěn)定.?t=0.125 時(shí),這種方法穩(wěn)定,?t=1 時(shí),這種方法將會(huì)不穩(wěn)定,這表明在定理4.2 中,步長(zhǎng)?t0的限制不是最優(yōu)的.并且從圖2 中也發(fā)現(xiàn)參數(shù)θ 取值越大,步長(zhǎng)?t 取值越小時(shí),補(bǔ)償隨機(jī)θ 法穩(wěn)定性效果會(huì)更好.

6 結(jié)論

本文主要討論了帶Poisson 跳年齡相關(guān)隨機(jī)時(shí)滯種群系統(tǒng)解析解和數(shù)值解的均方穩(wěn)定性.給出系統(tǒng)解析解及數(shù)值解均方穩(wěn)定的充分條件,并展示出補(bǔ)償隨機(jī)θ 法的均方穩(wěn)定性.更精確地是,當(dāng)1/2 ≤θ ≤1 時(shí),對(duì)于任意的步長(zhǎng)?τ/m,數(shù)值解是均方穩(wěn)定的.當(dāng)0 ≤θ<1,時(shí),如果步長(zhǎng)?t ∈(0,?t0)時(shí),數(shù)值解是指數(shù)均方穩(wěn)定的.最后,我們得出補(bǔ)償隨機(jī)θ 法研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性可能不是最優(yōu)的數(shù)值方法.以后我們將會(huì)采取不同的方法繼續(xù)研究帶跳年齡相關(guān)隨機(jī)時(shí)滯種群系統(tǒng)的穩(wěn)定性.