萬紅　楊文

摘要：利用“將軍飲馬”的數(shù)學(xué)問題模型，解決軸對稱路徑最短問題是數(shù)學(xué)問題解次中的一種重要思想，通過探究“將軍飲馬”模型的直線“前世”，拓展至曲線“今生”，試圖妙用、巧用和活用思想，促進(jìn)學(xué)生的思維多元發(fā)展和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

關(guān)鍵詞：將軍飲馬;對稱;路徑最短

1 提出問題

題目 已知F是雙曲線等x²/4-y²/12 =1的左焦點，定點A（1，4），P是雙曲線右支上的動點，則|PF|+|PA|的最小值為_____.

此題是求兩條線段之和最小值.如果僅僅從雙曲線的定義和性質(zhì)去解決問題，未免有些單一.為了與初中數(shù)學(xué)內(nèi)容銜接，為了活用數(shù)學(xué)知識和培養(yǎng)拓展能力，解決該問題，可以追溯到初中學(xué)習(xí)的“將軍飲馬”模型.以下將從“將軍飲馬”模型的前世今生，詳細(xì)闡述這類問題解決的關(guān)鍵.

2 解析“將軍飲馬”模型

“將軍飲馬”模型在古羅馬時代就有了.傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫.一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題.

將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的B地開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？

從此，這個被稱為“將軍飲馬”的問題廣泛流傳.

抽象為數(shù)學(xué)問題為：如圖1，A，B兩點為直線Z同側(cè)的兩點，點P為直線l上一動點，求點P位置使得AP+ PB最短.

解決該問題的做法為：如圖2，作點B關(guān)于直線2對稱的點B，連接AB交直線l于點P，則點P為所求點.

證明連接PB，由對稱的性質(zhì)可知PB= PB，則AP +PB =AP+ PB=AB.根據(jù)兩點之間線段最短可得此時AP+ PB的長度最短.

3“將軍飲馬”模型在直線型條件的拓展

拓展1（一點兩線）如圖3，點A為∠BOC內(nèi)部一點，M，N分別為OB，OC邊上動點，求△AMN周長最小值.

拓展2（兩點兩線）如圖4，點A、B為∠BOC內(nèi)部兩點，點M，N分別為OD，OC邊上動點，求四邊形ABMN周長最小值.

這兩類拓展均為分別作兩邊的對稱點，根據(jù)兩點之間線段最短即可解決.（如圖5，圖6所示）

通過以上幾種情況，可以發(fā)現(xiàn)，解決“將軍飲馬”模型的關(guān)鍵在“兩點之間線段最短”.但是被我們忽略的問題是：對稱的目的是什么？其實對稱的目的是進(jìn)行線段轉(zhuǎn)化，在直線型的條件下，如果將點進(jìn)行對稱變換，則很容易將線段AP與PB從直線Z的同側(cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)，通過“兩點之間線段最短”即可證明.

4 解決上述問題

在提出的問題中，點A與點P是兩個定點，點p為雙曲線上一動點，符合“將軍飲馬”中“兩點一線”的描述.但問題是：直線變成了曲線，對稱還有用嗎？其實此時再抓住對稱這樣的做法顯然不能解決問題，但如果抓住解決“將軍飲馬”問題時對稱目的是為了進(jìn)行線段轉(zhuǎn)化，將直線同側(cè)兩條線段轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩條線段，那問題就可以解決了.

6 小結(jié)

“將軍飲馬”模型常常以角、三角形、四邊形、圓、坐標(biāo)軸和拋物線為載體進(jìn)行演繹，主要考查學(xué)生的綜合實踐能力、空間想象能力和判斷推理能力[1].以上研究，一是促進(jìn)初中數(shù)學(xué)知識與思想和高中數(shù)學(xué)知識與思想的銜接.許多初中知識在高中階段發(fā)揮著極其重要的作用，在高中講解時，由于沒有聯(lián)系初中已有的知識與經(jīng)驗，導(dǎo)致學(xué)生沒有搞清楚問題的來龍去脈，使得學(xué)生不能在一個問題上舉一反三;二是體現(xiàn)新課程實施的目標(biāo)和要求在“經(jīng)典”問題上開辟新的東西，找準(zhǔn)“經(jīng)典”問題生長的源泉和動力[2'.通過上述問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決，希望對模型思想有更加深刻的認(rèn)識.理解“知其然”，還要“知其所以然”和“知何由以知其所以然”[3].

參考文獻(xiàn)：

[1]張進(jìn)，唐芬，談“將軍飲馬”問題—一以2015年全國各地中考試題為例[J].中國數(shù)學(xué)教育，2016（7 -8）：110 -113.

[2]李克民.從經(jīng)典模型的改造談數(shù)學(xué)試題的命制——以“將軍飲馬”問題為例[J].教育研究與評論，2016（1）：41 -45.

[3]榮賀，曲藝.與阿氏圓有關(guān)的廣義將軍飲馬問題[J].數(shù)學(xué)通報，2018，57（8）：48 -52.