鄭林靜，吳 鋒，孟麗娟

(鹽城工學(xué)院 a.海洋與生物工程學(xué)院；b.數(shù)理學(xué)院，江蘇 鹽城 224051)

液體黏度的研究在水利、醫(yī)療和化工等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用價值[1-2]. 實驗室中，落球法是測定液體黏度的最常用方法，測量黏度的公式為

(1)

其中，ρ為小球密度，ρ0為液體密度，g為當(dāng)?shù)刂亓铀俣?，d為小球直徑，v為小球的終極速度，m為小球質(zhì)量，r為小球半徑. 由不確定度傳遞公式可知，η的誤差主要來自ρ0,v,m和ρ等的測量.

針對ρ0和ρ的測量誤差，文獻[3]通過引入與小球同材質(zhì)的大物體，提高了ρ0/ρ的測量精度，改善了液體黏度的測量精度. 然而，改進后的落球法仍存在不足:一是利用目視手動方法測量v，另一個是利用物理天平測量小球質(zhì)量. 針對v的測量誤差較大，文獻[4]利用視頻分析法代替目視手動方法，提高了v的測量精度. 本文結(jié)合文獻[3]和文獻[4]的優(yōu)點，并改用分析天平稱量物體質(zhì)量，確定液體黏度. 由此測得蓖麻油的黏度，與標(biāo)準(zhǔn)值吻合，而且精度比傳統(tǒng)落球法的結(jié)果提高了近1個數(shù)量級.

1 實驗原理和方法

1.1 改進的落球法

由式(1)有

(2)

式中，m的測量采用舜宇恒平FA2004電子分析天平(量程200 g，分度值0.1 mg)，ρ0/ρ的測量轉(zhuǎn)換為與小球同材質(zhì)的大球質(zhì)量mB及相關(guān)物體質(zhì)量的測量[3,5]——先用分析天平稱出mB和盛有適量待測液體后的燒杯質(zhì)量m1，然后再稱出大球懸沒于該燒杯中液體后(見圖1左圖，輕質(zhì)細線一端粘著大球并懸沒于待測液體中，細線另一端系于固定在分析天平頂蓋內(nèi)側(cè)中心的無粘掛鉤上)燒杯的質(zhì)量m2，則

ρ0=(m2-m1)/VB，

ρ0/ρ=(m2-m1)/mB，

所以

(3)

其中VB為大球的體積.

考慮容器的幾何因素對斯托克斯公式的影響，式(3)修正為[6]

(4)

式中，D為容器內(nèi)徑，H為液柱深度.

考慮液體的運動狀態(tài)對斯托克斯公式的影響，在雷諾數(shù)Re(取為ρ0vd/η1)較小時，式(4)進一步修正為[7-8]

(5)

式中1 280在一些文獻中被誤寫為1 080.

圖1 實驗裝置圖

1.2 視頻分析法確定小球的終極速度

將智能手機(拍攝幀率為30 s-1，圖像分辨率為1 920×1 080)安置于三腳架上. 為確保拍攝質(zhì)量，調(diào)節(jié)手機攝像頭的拍攝焦平面與容器內(nèi)液柱中心軸線平行，調(diào)節(jié)三腳架使手機攝像頭對準(zhǔn)容器中待測液體中部，同時與容器保持適當(dāng)距離避免視差. 接著在容器頂部安置中心開孔的小蓋子以控制小球沿軸線下落. 為給視頻分析提供長

度標(biāo)度，利用鐵架臺、十字夾和萬用夾在容器管壁緊貼固定厘米刻度鋼尺，并使該尺平面通過容器內(nèi)液柱中心軸線(見圖1). 為避免手動操作導(dǎo)致手機拍攝面的抖動，用與三腳架相配套的藍牙遙控控制手機拍攝. 最后，利用視頻分析軟件Tracker[4]實時追蹤小球的位置，并由內(nèi)置的最小二乘擬合功能得到小球的終極速度v.

2 測量結(jié)果和分析

選用同一型號精密不銹鋼球作為落球測量蓖麻油(分析純)的黏度，所有物體的質(zhì)量用上述電子分析天平(儀器允差與具體稱量的物體質(zhì)量占量程的比例有關(guān)，取值參見文獻[9])稱量. 容器內(nèi)徑D=63.94 mm，容器中油深H=39.00 cm，油溫T=24.92 ℃，大球直徑dB=25.07 mm，所在地區(qū)重力加速度[10]g=9.795 9 m/s2. 考慮到實際測量中一般用到多個小球，通過螺旋測微器隨機測量6粒不同小球的直徑(見表1)得到單個小球的直徑d=(2.494±0.003) mm；隨機測量6粒不同小球的質(zhì)量，得到單個小球質(zhì)量m=(65.97±0.56) mg. 此外，由表1數(shù)據(jù)還得，mB=(64.919±0.001) g，m1=(151.592±0.001) g，m2=(159.446±0.002) g.

表1 小球的直徑和質(zhì)量等測量數(shù)據(jù)和結(jié)果

為確定小球下落(測6次)的終極速度v，先用Tracker軟件繪制出小球在蓖麻油中下落的速度-時間曲線[如圖2(a)所示]，根據(jù)曲線確定小球勻速下落的時間段，再對小球在該時間段內(nèi)的位移x-時間t進行線性最小二乘擬合[如圖2(b)所示]，從而得到v及其不確定度uv(表1). 這里計算出的uv只考慮了隨機誤差，所以uv的數(shù)值只反映了在v的測量中隨機誤差很小. 注意到6次測量的v值間差異達到1×10-4m/s，這說明測量v時還存在確定性誤差(例如相機感光相元尺寸對位置測量精度的限制，幀頻和曝光時間對時間測量精度的限制)，所以v的測量值只有3位有效數(shù)字. 由于小球直徑/半徑的測量值有4位有效數(shù)字，結(jié)合式(3)可知，小球質(zhì)量的測量值至少應(yīng)該有3位有效數(shù)字，而使用物理天平測量小球質(zhì)量達不到3位有效數(shù)字，進而成為限制測量精度提高的主要因素，所以利用精度更高的分析天平測量小球質(zhì)量十分必要.

現(xiàn)將計算出的v代入式(4)，算出蓖麻油黏度η1及雷諾數(shù)Re. 由于Re=0.1非常小，僅考慮容器幾何效應(yīng)得到的η1已與標(biāo)準(zhǔn)值0.658 4 Pa·s(根據(jù)文獻[11]的實驗數(shù)據(jù)擬合出的公式η=5.529 2e-0.085 390 T計算)相當(dāng)吻合. 若再對η1進行雷諾數(shù)修正到二級近似，那么由此確定的蓖麻油黏度η2已足夠準(zhǔn)確.

(a)速度-時間曲線

(b)勻速段位移隨時間的變化及其線性擬合結(jié)果圖2 第3次測量時小球下落的速度和位移

根據(jù)不確定度傳遞公式計算η2的不確定度uη2. 若直接計算，過程比較復(fù)雜，但是因為Re很小且d?D,d?H，所以uη2≈uη. 計算可得，6次測量中η2的相對誤差為0.96%或0.97%. 作為對比，使用目視手動方法測量了上述6次小球下落終極速度，得到η2=(0.676±0.017) Pa·s，相對誤差為2.4%. 可見，融入視頻分析法改進后，落球法測量結(jié)果的相對誤差減小為目視手動測量結(jié)果的2/5.

3 討 論

對利用分析天平代替物理天平稱量小球質(zhì)量的原因和意義進一步剖析. 文獻[3]結(jié)合物理天平對傳統(tǒng)落球法進行了改進，提高了黏度的測量精度. 經(jīng)計算分析發(fā)現(xiàn)，文獻[3]中小球質(zhì)量的測量誤差是限制液體黏度精度大幅提高的主要因素. 如果小球質(zhì)量的測量不確定度減小為原來的1/10，那么由文獻[3]改進的落球法得到的黏度的相對誤差將減小為原來的1/3. 所以使用分析天平稱量小球質(zhì)量能大幅度降低小球質(zhì)量的測量誤差，提高液體黏度的測量精度. 如果進一步融入視頻分析法來測量液體黏度，那么可以估算，所得液體黏度的相對誤差約為傳統(tǒng)落球法的2/15. 也就是說，液體黏度的測量精度將比傳統(tǒng)落球法的精度提高了近一個數(shù)量級.

4 結(jié)束語

結(jié)合文獻[3]和文獻[4]的方法改進落球法測量液體黏度后，限制測量精度的主要因素就變?yōu)樾∏蛸|(zhì)量的測量. 為使小球質(zhì)量的測量精度與小球直徑和終極速度的相當(dāng)，應(yīng)該采用精度更高的分析天平來測量. 測量結(jié)果表明，所得液體黏度的精度得到提升. 將物理分析與視頻分析相結(jié)合的模式，對挖掘物理實驗的內(nèi)涵和培養(yǎng)學(xué)生的實踐創(chuàng)新能力都有參考價值.