關(guān)注核心內(nèi)容 讓數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課增值
——以蘇教版六下《圓柱和圓錐的整理與復(fù)習(xí)》的教學(xué)為例

華東師范大學(xué)崔允漷教授在《課堂轉(zhuǎn)型就是讓學(xué)生的學(xué)習(xí)增值》一文中指出：課堂教學(xué)變革的專業(yè)性在于在同等條件下帶來學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的增值。對于數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)課而言，學(xué)習(xí)的增值就是打破學(xué)生原有知識(shí)結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)，通過對所學(xué)知識(shí)進(jìn)行梳理和建構(gòu)，在新的認(rèn)知沖突中實(shí)現(xiàn)思維優(yōu)化，從而達(dá)到新的、更高層次的平衡。其中，關(guān)注單元核心內(nèi)容，讓學(xué)生通過整理零碎的知識(shí)構(gòu)建完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提升其學(xué)科關(guān)鍵能力，是一個(gè)擺在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課面前值得研究的重要課題。下面，筆者僅以蘇教版六下《圓柱和圓錐的整理與復(fù)習(xí)》一課為例，談?wù)勅绾巫寯?shù)學(xué)復(fù)習(xí)課增值。

【課例呈現(xiàn)】

一、梳理

1.交流課前學(xué)習(xí)單1：請你用自己喜歡的方式將有關(guān)圓柱和圓錐的知識(shí)進(jìn)行整理。

（1）學(xué)生交流：整理了什么？怎么整理的？

（2）點(diǎn)評并補(bǔ)充不同的整理方式或內(nèi)容，在此過程中隨機(jī)板貼主要知識(shí)點(diǎn)，完善表1。

表1

2.交流課前學(xué)習(xí)單2：為什么圓柱和圓錐歸在一個(gè)單元學(xué)？嘗試分析兩者之間的聯(lián)系（共同點(diǎn)）。

（1）圓柱和圓錐的聯(lián)系：①特征（靜態(tài)觀察和動(dòng)態(tài)想象：面旋轉(zhuǎn)成體）；②測量。

（2）圓柱和長方體、正方體等立體圖形之間的聯(lián)系：為什么它們的體積計(jì)算公式都是V=Sh？出示三棱柱，它的體積計(jì)算公式是什么？為什么？（面平移成體）

二、練習(xí)

參觀“數(shù)學(xué)城堡”。發(fā)現(xiàn)城堡建筑的設(shè)計(jì)元素以圓柱形和圓錐形為主。

1.出示城堡中的一個(gè)圓柱形房子（底面直徑為4米，高5米），根據(jù)圖中的信息，你能提出哪些實(shí)際問題？

2.出示城堡里小矮人的一塊橡皮泥團(tuán)（不規(guī)則），求它的體積。

【課例分析】

一、問題引領(lǐng)，讓自主學(xué)習(xí)能力增值

復(fù)習(xí)課上的知識(shí)是舊知，復(fù)習(xí)課的意義就是幫助學(xué)生將學(xué)過的零散知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，提升其自主學(xué)習(xí)能力，是新能。要在復(fù)習(xí)課上實(shí)現(xiàn)“舊知”中出“新能”，問題引領(lǐng)是關(guān)鍵。復(fù)習(xí)課中問題的設(shè)計(jì)要遵循趣味性、適切性、自主性等原則。

1.趣味性原則。常規(guī)的復(fù)習(xí)課往往是單調(diào)的知識(shí)整理與練習(xí)，學(xué)生可能會(huì)感覺枯燥乏味，學(xué)習(xí)效果也就可想而知了。因此，在復(fù)習(xí)課中如果能創(chuàng)設(shè)合理的問題情境，讓復(fù)習(xí)課與新授課一樣新穎、有趣，將能更好地吸引學(xué)生進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。如本課設(shè)計(jì)了“數(shù)學(xué)城堡”的問題情境，城堡中有很多圓柱形和圓錐形建筑，還有很多圓柱和圓錐相關(guān)知識(shí)應(yīng)用的情境，對學(xué)生來說既生動(dòng)有趣又具有一定的挑戰(zhàn)性。

2.適切性原則。學(xué)生自主學(xué)習(xí)離不開問題的引領(lǐng)，復(fù)習(xí)課上學(xué)生探究的問題是否適切主要看兩個(gè)方面：一是問題的廣度。復(fù)習(xí)課知識(shí)點(diǎn)多，重難點(diǎn)分散，一般要抓住復(fù)習(xí)內(nèi)容的主線來設(shè)計(jì)。本課讓學(xué)生自主探索圓柱與圓錐、圓柱與長方體之間的聯(lián)系與區(qū)別，使他們逐步建立起完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。二是問題的深度。問題的深度主要指問題設(shè)計(jì)既要觸及知識(shí)的內(nèi)涵和本質(zhì)，又要體現(xiàn)知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想和方法。

3.自主性原則。復(fù)習(xí)課的目的不僅是使學(xué)生鞏固學(xué)過的知識(shí)，更要為他們以后的學(xué)習(xí)做好鋪墊和準(zhǔn)備。因此，問題要有一定的開放性和自由度，要為學(xué)生的自主探索和思維發(fā)展留下足夠的空間。本課抓住“面動(dòng)成體”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，給予學(xué)生自由探索的空間，引發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)面與體之間的聯(lián)系，進(jìn)而思考不同的面怎么動(dòng)成不同的體，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力。

二、合作探究，讓數(shù)學(xué)思考與表達(dá)能力增值

學(xué)生學(xué)習(xí)的方式是多樣的，獨(dú)立思考和小組合作探究都值得嘗試。在復(fù)習(xí)課中，要給學(xué)生充裕的獨(dú)立思考時(shí)間，并讓他們相互合作、交流分享，從而獲得思考、交流和表達(dá)的機(jī)會(huì)，提升其數(shù)學(xué)思考與表達(dá)能力。

1.學(xué)習(xí)前置，資源共享。

本課采用前置性學(xué)習(xí)的方式，并在前置性學(xué)習(xí)單中設(shè)計(jì)了兩個(gè)主題：一是讓學(xué)生系統(tǒng)整理圓柱和圓錐的知識(shí)結(jié)構(gòu)；二是讓學(xué)生探索圓柱與圓錐之間的聯(lián)系與區(qū)別。學(xué)習(xí)單提前一天發(fā)給學(xué)生，學(xué)生一般都能獨(dú)立、自主完成。

課前，通過瀏覽學(xué)生完成的學(xué)習(xí)單，筆者發(fā)現(xiàn)：學(xué)生所做的初始整理內(nèi)容上有共性，但整理方式上是有差異的，有的學(xué)生畫思維導(dǎo)圖，有的列圖表，有的通過語言敘述，還有的創(chuàng)作了一個(gè)繪本……這樣的共性與差異正是課堂交流時(shí)很好的資源。筆者將學(xué)生的整理作業(yè)制作成PPT，在課堂上讓大家欣賞，讓他們在相互欣賞中看到同學(xué)的優(yōu)勢和自己的不足，思維的火花悄悄地在學(xué)生心頭跳躍。

在接下來的生生互動(dòng)過程中，教師的主導(dǎo)作用體現(xiàn)在引領(lǐng)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法方面。對于較復(fù)雜的圓柱側(cè)面積和體積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，可以利用課件動(dòng)態(tài)展示回顧，讓學(xué)生再次體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性。而對圓錐體積計(jì)算公式推導(dǎo)過程的回憶，讓學(xué)生再次領(lǐng)會(huì)到實(shí)驗(yàn)是解決問題的重要方法。

2.合作探究，深化理解。

在交流、探究過程中，除了可以在靜態(tài)中觀察到圓柱和圓錐特征的共同之處，還可以引導(dǎo)學(xué)生由線到面、由面到體地進(jìn)行動(dòng)態(tài)想象，然后以課件直觀呈現(xiàn)驗(yàn)證，得出兩者都可以由面旋轉(zhuǎn)得到體。這樣，不僅從運(yùn)動(dòng)的視角進(jìn)一步豐富了學(xué)生對特征的認(rèn)識(shí)，還用一種運(yùn)動(dòng)的方式勾連起了它們與其他立體圖形的關(guān)聯(lián)。

“圓柱、長方體、正方體統(tǒng)一的體積計(jì)算公式是什么？為什么都是V=Sh？能用面—體的運(yùn)動(dòng)方式來說明嗎？”這一問題的提出與分析，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到這些圖形的共同之處——都是由面平移得到體。再出示三棱柱這個(gè)沒研究過的立體圖形，學(xué)生一下就能由已有知識(shí)遷移想到它的體積計(jì)算公式應(yīng)該也是底面積×高，因?yàn)樗部梢杂梢粋€(gè)平面圖形平移得到體，從運(yùn)動(dòng)的視角順理成章地完成了更大層面的立體圖形的體系架構(gòu)。在此過程中，學(xué)生學(xué)會(huì)了研究圖形的一般方法，而轉(zhuǎn)化、猜想、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)思想方法已悄然進(jìn)入學(xué)生頭腦中，成為他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不竭動(dòng)力。

三、拓展延伸，讓問題解決能力增值

除了查缺補(bǔ)漏、連線結(jié)網(wǎng)，復(fù)習(xí)課還要在一定程度上拓展延伸，讓學(xué)生跳一跳才能摘到桃子，從而提高其問題解決能力，提升其學(xué)科素養(yǎng)。

1.合理分層，逐層推進(jìn)。

單元復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)要著重考慮復(fù)習(xí)內(nèi)容的層次性，讓學(xué)生在復(fù)習(xí)過程中由易到難、由表及里逐層推進(jìn)。本課，筆者嘗試用橡皮泥這一素材引導(dǎo)學(xué)生改造問題，發(fā)展其數(shù)學(xué)思維。具體教學(xué)過程如下：

課件出示一塊不規(guī)則的橡皮泥團(tuán)，讓學(xué)生求它的體積。

（1）同桌交流求橡皮泥團(tuán)體積的方案：利用其他規(guī)則的容器來測量，并與同學(xué)交流自己的思路與方法。

（2）出示橡皮泥團(tuán)捏成的圓柱體（底面直徑為4厘米，高5厘米），讓學(xué)生對這塊圓柱形橡皮泥繼續(xù)加工，然后提問：想一想，還可以怎么加工？

小組合作：分工，每人選用不同的加工方式（削、捏、切、挖……）編題提問。組長負(fù)責(zé)分工、指導(dǎo)、收集。

編題過程：對這塊圓柱形橡皮泥進(jìn)行加工；編題（加工情景用文字簡潔表述或直接圖示出示，寫出所求問題）；提供參考解答方案；收集編題（每組編題粘貼在對應(yīng)的表格里）。

指向明確的編題要求確保小組內(nèi)呈現(xiàn)的問題是豐富多彩的。而后的集體交流則選擇一個(gè)小組當(dāng)代表，由組長組織。教師給出一些提示：（1）最好按編題難度星級，由易到難編排；（2）交流時(shí)注意詳略得當(dāng)，難度星級低的可直接讓學(xué)生口答，說說思路即可；難度星級高的可以讓學(xué)生列列算式，多點(diǎn)時(shí)間思考；（3）交流時(shí)要注意互動(dòng)。

2.聚焦核心，引發(fā)新疑。

散文的特點(diǎn)是形散而神不散，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課也有類似的特點(diǎn)。尤其在復(fù)習(xí)課尾，要引導(dǎo)學(xué)生回顧復(fù)習(xí)過程，抓住復(fù)習(xí)的核心問題，進(jìn)一步完善自己的新知識(shí)結(jié)構(gòu)，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生通過知識(shí)間的結(jié)構(gòu)和聯(lián)系發(fā)現(xiàn)新的問題，從而引發(fā)他們新的思考。圖形間的聯(lián)系無疑是本課復(fù)習(xí)的核心內(nèi)容，有的學(xué)生在回顧總結(jié)圓柱與長方體的聯(lián)系時(shí)就想到了如何探索三棱柱、六棱柱的表面積和體積計(jì)算方法，有的學(xué)生在回顧圓柱和圓錐的聯(lián)系時(shí)就想到了其他錐體的相關(guān)內(nèi)容，這些豐富的聯(lián)想、大膽的猜測和進(jìn)一步探索的欲望為他們后面的學(xué)習(xí)做了很好的孕伏。

這樣的數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)課，教師從臺(tái)前走到幕后，學(xué)生通過前置性研究與學(xué)習(xí)，緊扣單元核心內(nèi)容，激活了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、問題解決經(jīng)驗(yàn)。課堂上的對話與交流、質(zhì)疑與思辨不僅使學(xué)生構(gòu)建了知識(shí)結(jié)構(gòu)，拓展了學(xué)習(xí)路徑，還有效提升了他們的數(shù)學(xué)思維，讓他們切實(shí)經(jīng)歷了真學(xué)習(xí)、真研究。