基于解方程組的替代定理的證明方法

文/吳志剛

1 問題的提出

電路分析中的替代定理，是指：如果已知電路中某條支路的電壓U 或電流I，那么無論該條支路是由何種元件構成的，它都可以用一個電壓源U 或者電流源I 來代替該支路，替代之后，整個電路的電壓和電流均不變。

可以參照圖1來解釋該定理：圖1（a）的電路中，第k 支路的電壓U0 和電流I0 已知，則根據(jù)替代定理，可以將該支路用電壓源U0或者電流源I0 來代替，而不會對原電路產(chǎn)生影響，在圖1（b）中用電流源I0 來代替原支路k。

對于該定理的證明，在電路分析方面的教科書中大多采用文字描述性的方法，似乎有點欠缺說服力，本文則給出嚴格的數(shù)學證明，證明過程嚴謹，不容易產(chǎn)生歧義，具有較強說服力。

2 證明過程

2.1 證明思路

對圖1中的a、b 兩個電路，欲求各個支路的電壓和電流，分別根據(jù)基爾霍夫電壓定理（KVL）、基爾霍夫電流定理（KCL）和每個支路的伏-安關系列方程組，如果兩個電路的方程組解出來的結果相同，也就是說對應支路的電壓和電流都相同，則說明用電流源I0 來代替原電路的k 支路，對原電路沒有影響。下面就分別對圖1的a、b 兩個電路分別列方程求解。

2.2 解原電路的方程

原電路即為圖1(a)電路，假設它總共有b個支路和n 個節(jié)點，根據(jù)基爾霍夫電壓定理、基爾霍夫電流定理以及各支路的伏-安關系，可以列出以下總共2b 個方程：

除去支路k 外其余部分支路的伏-安關系：b-1 個

注意，在上面所列的方程中，單獨把第k支路的伏-安關系（2）列出來，其它的方程統(tǒng)稱為方程組（1）。

接下來解上述方程組，先看方程組（1）：

對于方程組（1）而言，它的未知數(shù)是圖1（a）中各個支路的電壓和電流，根據(jù)假設，共有b 個支路，因此有2b 個未知數(shù)，但是方程組1 中的方程個數(shù)為：

KCL 方程數(shù)（n-1 個）+KVL 方程數(shù)（b-（n-1）個）+除去支路k 外其余部分支路的伏-安關系方程（b-1 個）=2b-1 個

即方程個數(shù)為2b-1 個，未知數(shù)為2b 個，方程個數(shù)比未知數(shù)少1 個，因此，方程組（1）的解無法確定，但是如果利用線性代數(shù)中自由變量的概念，把第k 支路的電流I 看作自由變量，則方程組（1）中每一個未知數(shù)都可以表示成第k 支路電流I 的函數(shù)，特別的，根據(jù)方程組（1）可以把第k 支路的電壓U 也表示成第K 支路電流I 的函數(shù)，即：

聯(lián)立式（3）和第k支路的伏-安關系式（2），即U=f（I），得到：解上面方程組就可以得到第k 支路的電壓和電流。解出的電壓和電流是曲線U=g（I）和曲線U=f（I）的交點，分別是記為U0 和I0，其示意圖見下面圖2。利用解出的I0，帶入方程組（1），可以得到圖1(a)電路的所有參數(shù)。從圖2可以看出，在曲線U=g（I）上，I0 點對應的電壓是U0，這一點在下面的證明中需要用到。

2.3 解替換后的電路的方程

替換后的電路為圖1(b)電路，同樣的方法可以列出下面的2b 個方程：

除去支路k 外其余部分支路的伏-安關系：b-1 個

在上面所列的方程中，也單獨把第k 支路的伏-安關系（5）單獨列出來，其它的方程統(tǒng)稱為方程組（4）。

由于采用電流源代替原電路的k 支路后，a、b兩個電路的拓撲關系相同，因此，方程組（4）和方程組（1）中所含的基爾霍夫電流方程和基爾霍夫電壓方程都一樣；又因為電路其余部分元件也沒有改變，因此，除了第k 支路外的電路其余部分的伏-安關系也不變，所以方程組（4）和方程組（1）是相同的。

接下來解圖1(b)電路的方程，先解方程組（4）：

圖1：替代定理

圖2：圖1中（a）電路解的示意圖

由于方程組（4）同樣有2b 個未知數(shù)和2b-1 個方程，并且方程組（4）和方程組（1）相同，因此從方程組（4）得到的U 和I 的關系也是式（3）：U=g（I），于是聯(lián)立式（3）和第k 支路的伏-安關系式（5），得到：

解上面方程組，將（5）式中I=I0 代入（3）式：U=g（I）=g（I0）從圖2中又可以看到，在曲線U=g（I）上，I0 點對應的電壓是U0，即g（I0）=U0，因此，如果用電流源I0 代替k 支路，所得到的電路在k 支路上的電壓也是U0，和原電路（a）在k 支路上的電壓是相等的。將I0 代入方程組（4），可以解出圖1（b）電路中其它所有參數(shù)，并且都等于圖1（a）電路中的相應參數(shù)，因此可以用電流源I0 替代k支路，于是替代定理得到證明。用電壓源替代的情況可以用類似的方法證明。

3 總結

采用本文的證明方法，整個過程是嚴格的數(shù)學證明，不容易產(chǎn)生歧義，而且相對簡單明了，不失為一種好的參考方法。