數(shù)形結(jié)合更入微
——例談“數(shù)形結(jié)合”思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

江蘇無錫市玉祁中心小學(xué) 薛維惠 丁君華

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老也是最基本的研究對象，它們雖然存在于兩個(gè)系統(tǒng)中，但又是一一對應(yīng)的?！皵?shù)形結(jié)合”就是將抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀的圖形相結(jié)合，將形象思維和抽象思維相結(jié)合，從而使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，由表及里去探尋知識(shí)本質(zhì)，尋找優(yōu)化策略的數(shù)學(xué)思想。小學(xué)階段的學(xué)生思維以形象直觀為主，教學(xué)中教師要重視把枯燥復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成形象直觀的圖形，讓學(xué)生感受數(shù)形之間的美妙契合，找到解題的方法。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不是簡單的操作模仿，如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”思想，幫助學(xué)生豐富內(nèi)心體驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)自主建構(gòu)，從而優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)呢？筆者結(jié)合教學(xué)中的一道練習(xí)，粗淺地說說自己的一些思考。

一、聚焦問題——困于遁形的正方形

“明明在一張長8 厘米，寬5 厘米的長方形紙里剪了一個(gè)最大的正方形，這個(gè)正方形的邊長是多少厘米？”這是三年級《長方形和正方形》單元的一道數(shù)學(xué)習(xí)題，旨在讓學(xué)生通過練習(xí)進(jìn)一步了解長方形和正方形的特征及聯(lián)系。從低年級整體直觀感知到三年級深入建構(gòu)長方形和正方形的特征，對學(xué)生來說，是一個(gè)質(zhì)的變化，需要強(qiáng)大的空間觀念作為支撐。事實(shí)上，三年級學(xué)生的空間觀念有限，遇到這樣的實(shí)際問題往往束手無策，不知從哪里開始思考。所以，分析練習(xí)時(shí)往往教師講得口干舌燥，學(xué)生還是一頭霧水。等到下次遇到這種類型的習(xí)題，又有一大批學(xué)生舉“白旗”投降，隨便填寫答案。追問其原因，是因?yàn)樯洗未鸢柑畹氖沁@個(gè)數(shù)，真是令人抓狂。細(xì)細(xì)分析原因，其實(shí)看似簡單的問題對學(xué)生來說還是抽象的，學(xué)生在解答這題時(shí)，思維往往停留在機(jī)械、呆板的模仿階段，知道在長方形中剪一個(gè)最大的正方形，正方形的邊長等于長方形的寬，但為什么邊長會(huì)等于寬？為什么不能更大些？這個(gè)長方形能不能剪出其他的正方形？這些問題沒有得到真正解決，說明學(xué)生對長方形和正方形之間的關(guān)系還沒有真正認(rèn)識(shí)透徹。再深入分析一下，面對一個(gè)長方形，為什么學(xué)生不能自己找到那個(gè)最大的正方形？是因?yàn)檎叫蔚臒o形，學(xué)生看不見摸不著，感覺不到它的存在，所以抽象、難懂，這對學(xué)生的空間觀念確實(shí)是一個(gè)挑戰(zhàn)，因此只靠教師講解，缺少學(xué)生自己的數(shù)學(xué)思考和理解，這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)蒼白無力，因此讓學(xué)生產(chǎn)生了“山窮水盡疑無路”之感。

二、探尋策略——想象動(dòng)態(tài)的正方形

如何帶領(lǐng)學(xué)生走出“困境”，讓簡約變得不簡單，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)豐富起來呢？實(shí)踐證明，數(shù)形結(jié)合就是一種非常有用的思維方式，由數(shù)及形，因形尋法，借助具體的形把抽象的數(shù)學(xué)問題化隱為顯，變得可視、可指、可表述，從而使學(xué)生的抽象思維、邏輯思維和空間想象能力因?yàn)橛幸欢ǖ奈锘味玫接行嵘?，提高了學(xué)生分析問題和解決問題的能力?！皢栴}就在那里，你必須解決它?！保ㄏ柌兀W(xué)生完成練習(xí)的過程，便是探索的過程，教師要引導(dǎo)學(xué)生努力尋求策略——不妨畫個(gè)示意圖，在數(shù)與形的靈活變換中找到聯(lián)系，嘗試解決問題。

具體教學(xué)如下：

師：同學(xué)們，這是一個(gè)長8厘米，寬5厘米的長方形紙（圖1）。如果讓你用剪刀能不能剪出一個(gè)正方形，你能剪出邊長是多少厘米的正方形？

生：能剪出邊長5厘米的正方形。

師：只能剪出邊長5厘米的正方形嗎？你還能在這個(gè)長方形里看到其他的正方形嗎？現(xiàn)在老師把這個(gè)長方形沿著長、寬分成邊長是1 厘米的方格，長是8 格，寬是5 格（圖2），你在長方形中看到正方形了嗎？

圖1

圖2

生：我看到了邊長1厘米的正方形。

生：我看到了邊長2厘米的正方形。

生：我看到了邊長3 厘米、4 厘米、5 厘米的正方形。

（教師在圖中沿著方格線畫出來）

師：哦，原來在這個(gè)長方形中藏著好多正方形呢，有邊長1厘米的正方形、邊長2厘米的正方形、邊長3厘米、邊長4厘米、邊長5厘米的正方形。其中最大的是邊長幾厘米的正方形？

生：邊長5厘米的正方形。

師追問：能不能剪出邊長6厘米的正方形？為什么？

生：(觀察直觀圖)不能，邊長6 厘米的正方形，長夠剪，但寬沒有了。

師：現(xiàn)在老師再把長延長至10厘米（圖3），想一想，你能看到邊長幾厘米的正方形，最大的正方形邊長是多少厘米？

圖3

生：我看到了邊長1 厘米、2 厘米、3 厘米、4 厘米、5厘米的正方形，邊長是5厘米的正方形最大。

師：為什么長變長了，最大的正方形邊長還是5厘米？

生：因?yàn)閷捴挥?厘米。

師：如果寬不變，長變成20 厘米，剪出的最大正方形邊長是多少厘米？

生：邊長5厘米的正方形。

師：如果長不變，寬變成7厘米，剪出的最大正方形邊長是多少厘米？

生：剪出的最大正方形的邊長是7厘米。

師：還能剪出邊長是多少厘米的正方形？

生：還有邊長是1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、6厘米的正方形。

師：在下面的長方形中，能畫出哪些邊長是整厘米數(shù)的正方形？最大的一個(gè)正方形邊長是多少厘米？

圖4

圖5

生：在圖4 中能畫出邊長1 厘米、2 厘米、3 厘米的正方形，最大的正方形邊長3厘米。

生：在圖5 中能畫出邊長1 厘米、2 厘米、3 厘米、4厘米、5厘米、6厘米的正方形，最大的正方形邊長6厘米。

師：想一想，長方形中剪一個(gè)最大的正方形，正方形的邊長和什么有關(guān)？

生：在長方形中剪一個(gè)最大的正方形，正方形的邊長等于長方形中較短邊的長度。

師：隨著我們以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)，就會(huì)知道在長方形中除了能找到邊長整厘米數(shù)的正方形，還能找到無數(shù)個(gè)邊長不是整厘米數(shù)的正方形。

三、反思與解讀——數(shù)形結(jié)合，柳暗花明

1.依托有形，有序建構(gòu)

如何讓藏于長方形中的抽象正方形現(xiàn)身？本案例中，教師別出心裁地將長方形置于方格紙中，借助直觀的方格圖，一個(gè)個(gè)有形的正方形躍然紙上，學(xué)生面對可以感受到的正方形，自然能迅速找到那個(gè)最大的正方形了。當(dāng)然，讓藏匿的正方形現(xiàn)形，這只是第一步。依托這張方格紙，教師不斷讓學(xué)生的思維走向深入：長變化，寬不變，剪出的最大正方形為什么沒有變化？如果長寬都變化了，此時(shí)能剪出的最大正方形又是怎么變化的？讓學(xué)生借助圖形直觀感受數(shù)與形的變化，在變與不變中感悟長方形和正方形之間的緊密聯(lián)系。進(jìn)而，離開方格紙，尋找那個(gè)空白長方形中最大的正方形，此時(shí)這個(gè)無形的正方形已在學(xué)生腦中悄然著陸，變得有形可感，長方形和正方形之間的聯(lián)系也走向了深入，空間觀念的建構(gòu)也變得扎實(shí)、有序。

2.依托動(dòng)態(tài)，靈動(dòng)生長

“在長10厘米，寬6厘米的長方形中，邊長2厘米的正方形還可以怎么剪？一定只能剪6 個(gè)不同的正方形嗎？”這樣的變化是否要讓學(xué)生感覺到？又該如何滲透？筆者認(rèn)為，可以借助多媒體手段，讓學(xué)生直觀地看到邊長2 厘米的正方形在長方形中有序的運(yùn)動(dòng)，還可以動(dòng)態(tài)地演示正方形邊長由1厘米逐漸變化為6厘米的過程，讓學(xué)生初步感受到其實(shí)不僅僅只有6個(gè)不同的正方形，內(nèi)含著無數(shù)個(gè)正方形，最大的正方形邊長是6厘米。這樣動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn)，學(xué)生的思維視角也漸趨開闊：所能看到的正方形可以移動(dòng)位置、大小可以不斷發(fā)生變化。數(shù)學(xué)空間觀念的培養(yǎng)離不開想象，這樣以直觀的變化來促成學(xué)生想象視角的變化，以運(yùn)動(dòng)變化的視角來展開想象、展開思維，對學(xué)生的震撼是強(qiáng)烈的、感受是深刻的，無疑打開了想象的新天地，空間觀念得以靈動(dòng)地生長。當(dāng)然，這樣的動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)切忌矯枉過正，需要把握教學(xué)的度，適當(dāng)給學(xué)生些開放的視角，點(diǎn)到即可。

“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微?！碑?dāng)直觀的圖形和抽象的問題相結(jié)合，學(xué)生也就找到了解決問題的腳手架，數(shù)學(xué)在他們的眼中也會(huì)隨之變得簡單而豐富。圖形、動(dòng)態(tài)雖只是依托，但恰恰是這些不可少的巧妙依托，能架起學(xué)生思維與學(xué)科知識(shí)過渡的橋梁，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)穩(wěn)穩(wěn)地著陸——深刻地思考，扎實(shí)地建構(gòu)，靈動(dòng)地生長。