陶偉文，劉 韋，羅跟東，卜繼玲，劉振光

(1.株洲時(shí)代新材料科技股份有限公司，湖南 株洲 412007；2.無(wú)錫地鐵集團(tuán)有限公司，江蘇 無(wú)錫 214023)

在鐵路機(jī)車車輛動(dòng)力學(xué)研究中，通常假設(shè)車輛勻速行駛在勻質(zhì)的軌道上，因此在傳統(tǒng)的車輛動(dòng)力學(xué)研究中輪對(duì)振動(dòng)可以認(rèn)為是屬于平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)過(guò)程[1]。但實(shí)際工程中，除了在恒定工況下和不變環(huán)境下運(yùn)行的機(jī)械部件的振動(dòng)是穩(wěn)態(tài)的，其余機(jī)械系統(tǒng)的振動(dòng)幾乎都屬于非穩(wěn)態(tài)。事實(shí)上，輪對(duì)的振動(dòng)具有高度非穩(wěn)態(tài)的振動(dòng)特點(diǎn)，出現(xiàn)以下3種情況時(shí)輪對(duì)的振動(dòng)將不能當(dāng)作平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)來(lái)處理，例如：

（1）由于鋼軌存在接頭、裂紋、三角坑及磨損等空間軌面非均質(zhì)不平順時(shí)，輪軌系統(tǒng)的時(shí)域激勵(lì)將變?yōu)榉欠€(wěn)態(tài)隨機(jī)過(guò)程；

（2）當(dāng)車輛加速或減速運(yùn)行時(shí)，即使軌面不平順頻為均質(zhì)的，由車輛變速運(yùn)行所產(chǎn)生的輪軌激勵(lì)也是非穩(wěn)態(tài)隨機(jī)過(guò)程；

（3）系統(tǒng)的剛度或阻尼等參數(shù)為時(shí)變參數(shù)[2]。這時(shí)振動(dòng)信號(hào)的結(jié)構(gòu)，包括頻譜都隨時(shí)間變動(dòng)，它們都屬于非穩(wěn)態(tài)振動(dòng)信號(hào)，在穩(wěn)態(tài)情況下本來(lái)不容易顯現(xiàn)出來(lái)的現(xiàn)象在變速或變工況情況下可以得到充分的顯現(xiàn)[3]。因此，針對(duì)以上情況，采用傳統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)頻域分析方法無(wú)法獲知輪對(duì)的振動(dòng)特點(diǎn)。實(shí)際工程中，機(jī)車車輛自身的振動(dòng)特性和激勵(lì)特性具有時(shí)變的特點(diǎn)，因此振動(dòng)響應(yīng)可能是非平穩(wěn)的，其統(tǒng)計(jì)量（如相關(guān)函數(shù)、功率譜等）是時(shí)變函數(shù)。對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)，時(shí)域中各統(tǒng)計(jì)量會(huì)隨時(shí)間發(fā)生變化，進(jìn)而使其失去統(tǒng)計(jì)意義；而在頻域中其頻譜結(jié)構(gòu)也會(huì)隨時(shí)間變化，進(jìn)而導(dǎo)致譜值也失去意義。

因此，為了分析非平穩(wěn)信號(hào)的特征，需要使用時(shí)頻聯(lián)合函數(shù)來(lái)表征振動(dòng)信號(hào)。該方法認(rèn)為非平穩(wěn)信號(hào)在全局是非平穩(wěn)的，而在局部域內(nèi)則是平穩(wěn)的，它克服了傳統(tǒng)的傅立葉變換不能反映非平穩(wěn)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)量隨時(shí)間變化這一缺陷。就分析方法而言，平穩(wěn)信號(hào)可用單一的時(shí)間軸或頻率軸進(jìn)行一維表示，但非平穩(wěn)信號(hào)則需用時(shí)間-頻率或時(shí)間-尺度平面進(jìn)行二維表示；平穩(wěn)信號(hào)采用的是全局變換，而非平穩(wěn)信號(hào)則采用局部變換。小波變換是非平穩(wěn)信號(hào)時(shí)頻分析方法中的一種，它具有多分辨分析的特點(diǎn)，而且在時(shí)頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力，其時(shí)頻窗口大小固定不變，但形狀可以改變，即在低頻部分具有較低的時(shí)間分辨率和較高的頻率分辨率，而在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率。該特征很適合提取信號(hào)的局部特征，因此小波變換具有振動(dòng)信號(hào)分析顯微鏡的稱號(hào)。Priestley[4]從理論和工程實(shí)際應(yīng)用角度研究了非穩(wěn)態(tài)隨機(jī)振動(dòng)過(guò)程的功率譜密度函數(shù)問(wèn)題，Ruzzene[5]應(yīng)用連續(xù)小波變換提取瞬態(tài)激勵(lì)下系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)?；谶B續(xù)小波變換，Staszewski[6]提出了非線性系統(tǒng)的參數(shù)識(shí)別方法，Ta[7]將該方法進(jìn)行了進(jìn)一步擴(kuò)展。Spanos[8]基于統(tǒng)計(jì)線性化方法的諧波小波方法研究了隨機(jī)激勵(lì)下非線性系統(tǒng)的響應(yīng)問(wèn)題，并給出了其演化譜。Basu[9]采用基于小波變換的隨機(jī)振動(dòng)方法進(jìn)行了摩擦基礎(chǔ)的地震分析，將基礎(chǔ)的振動(dòng)模擬為非穩(wěn)態(tài)振動(dòng)過(guò)程。Hou[11]使用小波分析方法對(duì)結(jié)構(gòu)損傷及健康監(jiān)測(cè)問(wèn)題進(jìn)行了研究。Wang[12]使用連續(xù)小波變換估計(jì)非穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的時(shí)變頻率。小波變換以其對(duì)振動(dòng)信號(hào)較高的自適應(yīng)性，非常適合于分析機(jī)車車輛輪對(duì)的非穩(wěn)態(tài)振動(dòng)特性。因此，本文主要基于小波變化法研究車輛在運(yùn)行過(guò)程中輪對(duì)的非穩(wěn)態(tài)振動(dòng)問(wèn)題。

1 車輛系統(tǒng)非穩(wěn)態(tài)振動(dòng)特點(diǎn)及分析方法介紹

在對(duì)鐵路機(jī)車車輛進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，需要充分掌握研究對(duì)象的振動(dòng)特點(diǎn)才能對(duì)其存在的問(wèn)題做出準(zhǔn)確判斷。但對(duì)于很多振動(dòng)信號(hào)我們卻無(wú)法在時(shí)域分析中找出其振動(dòng)特征，而且在頻域分析中也無(wú)法找出其全部特征信息。因此，如果明確了機(jī)車車輛的自身振動(dòng)特性、激勵(lì)特性與機(jī)車車輛速度的關(guān)系，在分析中引入速度參量（即時(shí)間參量），就可以從時(shí)頻域中獲得更多的機(jī)車車輛振動(dòng)特征。

軌道激勵(lì)主要表現(xiàn)為隨機(jī)不平順，用軌道譜來(lái)表征，如果考慮車輪的某些缺陷，如周期性車輪不圓順，輪軌激勵(lì)中就會(huì)出現(xiàn)周期激勵(lì)成分。軌道譜是基于軌道的幾何形態(tài)，因此對(duì)其研究主要集中在空間域。但對(duì)于分析鐵路機(jī)車車輛系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)而言，輪軌激勵(lì)還與運(yùn)行速度密切相關(guān)，因此需要將空間頻域下的軌道譜轉(zhuǎn)換成時(shí)間頻域內(nèi)的激勵(lì)功率譜,時(shí)域內(nèi)的輪軌激勵(lì)譜是車輛運(yùn)行速度的函數(shù)。設(shè)y為軌道不平順幾何幅值，x為空間距離，v為車輛速度，t為時(shí)間，f為空間距離與軌道幾何不平順間的函數(shù)關(guān)系，則有

一般來(lái)說(shuō)，車輛自身振動(dòng)就是車輛各個(gè)固有振動(dòng)模態(tài)振動(dòng)，除了與輪對(duì)振動(dòng)相關(guān)的模態(tài)之外，它們不隨車輛速度變化而變化。傳統(tǒng)的振動(dòng)分析都假設(shè)振動(dòng)系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng),但是，在許多實(shí)際工程中，振動(dòng)系統(tǒng)卻是時(shí)變的，比如轉(zhuǎn)向架的蛇行振動(dòng)模態(tài)、系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度或阻尼具有時(shí)變特性時(shí)。因此，用于線性時(shí)不變系統(tǒng)中的振動(dòng)及模態(tài)分析不適合分析時(shí)變系統(tǒng)的振動(dòng)問(wèn)題，變化的質(zhì)量或剛度會(huì)引起系統(tǒng)固有頻率及模態(tài)的變化，變化的速度會(huì)使輪對(duì)相關(guān)的振動(dòng)模態(tài)發(fā)生改變，而傳統(tǒng)的使用傅立葉變換的頻率響應(yīng)分析無(wú)法準(zhǔn)確分析時(shí)變振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)問(wèn)題。但基于小波分析的時(shí)頻分析方法卻可以很好捕捉到非穩(wěn)態(tài)振動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)變化，很適合分析車輛系統(tǒng)的非穩(wěn)態(tài)振動(dòng)問(wèn)題。小波分析的基本原理如下：

對(duì)于離散小波分析來(lái)說(shuō)，其可以實(shí)現(xiàn)振動(dòng)信號(hào)f(t)的多分辨率分析

其中：l和k分別為尺度和平移參數(shù)，*代表復(fù)共軛算子。v和w分別是尺度函數(shù)φ(t)和基本小波函數(shù)ψ(t)的近似函數(shù)和小波系數(shù)。從以上兩式可以看出，離散小波變換通過(guò)將振動(dòng)信號(hào)f(t)分解為低頻近似函數(shù)和不同頻帶的高頻細(xì)節(jié)函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)多分辨率時(shí)頻分析。

對(duì)于連續(xù)小波分析來(lái)說(shuō)，假設(shè)存在一個(gè)基本小波（或母小波），它是一個(gè)均值為零的平方可積函數(shù)

式（4）的規(guī)范化范數(shù)| |ψ(t)=1，且能量集中在以t=0為中心的鄰域內(nèi)。對(duì)Ψ(t)伸縮a，平移b，可得到一族小波函數(shù)

這族函數(shù)仍然有規(guī)范化的范數(shù)| |ψa,b(t)=1。尺度因子a的作用是將基本小波做伸縮，a越大，Ψ(t/a)就越寬；時(shí)間因子b的作用是將基本小波在時(shí)間軸上進(jìn)行平移。通過(guò)對(duì)尺度因子a和時(shí)間因子b的調(diào)節(jié)可以實(shí)現(xiàn)小波變換多分辨率的功能，而且在時(shí)頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力。

從以上對(duì)離散小波和連續(xù)小波特點(diǎn)的分析可以看出，小波分析方法具有很好的信號(hào)局部處理能力，可以準(zhǔn)確捕捉到非穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的振動(dòng)特征。

2 一系定位剛度變化引起的輪對(duì)縱向非穩(wěn)態(tài)振動(dòng)問(wèn)題

在機(jī)車車輛長(zhǎng)期運(yùn)行過(guò)程中，輪對(duì)定位內(nèi)部結(jié)構(gòu)難免會(huì)出現(xiàn)磨損、老化的現(xiàn)象，懸掛參數(shù)也會(huì)發(fā)生變化，再加上生產(chǎn)安裝過(guò)程中難免會(huì)出現(xiàn)誤差等等，會(huì)對(duì)輪對(duì)振動(dòng)產(chǎn)生一定程度影響。本小節(jié)主要研究當(dāng)一系定位剛度為時(shí)變參數(shù)時(shí)輪對(duì)的縱向振動(dòng)特點(diǎn)。

小蠕滑條件下的輪軌摩擦力定義為黏著摩擦力，黏著摩擦力即我們一般理解的蠕滑力，源自于輪軌間未發(fā)生宏觀滑動(dòng)、僅由材料切向應(yīng)變產(chǎn)生的切向應(yīng)力，且未達(dá)到庫(kù)倫摩擦極限。根據(jù)文獻(xiàn)[1] ，將小蠕滑情況下輪軌接觸斑縱向摩擦模型簡(jiǎn)化為具有一定剛度與阻尼的串聯(lián)模型，如圖1所示。

圖1 輪軌摩擦模型

其中剛度與阻尼是輪軌激勵(lì)頻率和縱向蠕滑率的函數(shù)，x0代表輪軌相對(duì)位移，q(t)代表外部位移激勵(lì)。輪對(duì)縱向振動(dòng)簡(jiǎn)化模型如圖2所示，其運(yùn)動(dòng)方程為

其中：k(t)為隨時(shí)間變化的剛度。

假設(shè)某機(jī)車運(yùn)行中輪對(duì)的一系縱向定位剛度發(fā)生了如圖3所示的突變，計(jì)算可得如圖4所示的輪對(duì)縱向振動(dòng)加速度時(shí)間歷程。

為了得到輪對(duì)縱向振動(dòng)特點(diǎn)的信息，對(duì)其進(jìn)行傅立葉變換的結(jié)果如圖5所示。

圖2 單輪對(duì)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化模型

圖3 剛度突變曲線

圖4 輪對(duì)縱向振動(dòng)信號(hào)時(shí)間歷程曲線

從該圖中僅可以看出輪對(duì)相對(duì)構(gòu)架的同向和反向振動(dòng)固有頻率，而無(wú)法獲得更多的振動(dòng)信息。對(duì)圖4所示的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)一步按照離散小波變換進(jìn)行分解，結(jié)果如圖6所示。

從該圖中可以清楚看到，在小波分解的高頻層中，在10 s時(shí)刻發(fā)生了一個(gè)較為明顯的瞬時(shí)沖擊，進(jìn)而可以判斷出輪對(duì)定位剛度在10 s時(shí)發(fā)生了突變。

如果對(duì)圖4進(jìn)行連續(xù)小波變換，可得到如圖7所示結(jié)果。

從該圖中可以清楚看到系統(tǒng)的固有頻率在10 s時(shí)刻從20 Hz左右突然變化到了17.4 Hz。憑此信息可以斷定輪對(duì)的縱向定位剛度在10 s時(shí)刻發(fā)生了突變，由于輪對(duì)質(zhì)量未變，因此能判斷出定位剛度從4×107 N/m突然變化到3×107 N/m。

圖5 頻譜圖(FFT)

圖6 輪對(duì)縱向振動(dòng)信號(hào)的離散小波分解圖

圖7 輪對(duì)縱向振動(dòng)信號(hào)的連續(xù)小波變換圖

3 變速情況下輪對(duì)非穩(wěn)態(tài)振動(dòng)問(wèn)題研究

鐵路機(jī)車車輛動(dòng)力學(xué)基本都是研究勻速情況下車輛的振動(dòng)情況，而實(shí)際情況中車輛經(jīng)常變速運(yùn)行，當(dāng)車輛變速運(yùn)行時(shí)輪軌激勵(lì)是非穩(wěn)態(tài)隨機(jī)過(guò)程，而輪對(duì)振動(dòng)響應(yīng)也是非穩(wěn)態(tài)隨機(jī)振動(dòng)過(guò)程，該問(wèn)題一直是車輛動(dòng)力學(xué)分析的難題，本節(jié)主要應(yīng)用小波分析方法研究車輛變速運(yùn)行條件下輪對(duì)的振動(dòng)特點(diǎn)。

輪對(duì)縱向振動(dòng)響應(yīng)同時(shí)取決于外部激勵(lì)特性與一系縱向定位系統(tǒng)的固有特性。在系統(tǒng)振動(dòng)分析中，單個(gè)組件的動(dòng)態(tài)特性往往是已知的，因此可以通過(guò)時(shí)頻分析將那些特殊的頻率成分與某一組件的振動(dòng)情況聯(lián)系起來(lái)[13-14]。本文以文獻(xiàn)[15] 中的機(jī)車動(dòng)力學(xué)模型為例，該機(jī)車輪對(duì)存在嚴(yán)重的縱向振動(dòng)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期輪軌相互作用可能會(huì)引起車輪周期性磨耗，因此，本文假設(shè)該機(jī)車模型還存在車輪不圓的問(wèn)題，對(duì)該機(jī)車動(dòng)力學(xué)模型施加如圖8(a)所示的驅(qū)動(dòng)力矩，可以得到如圖8(a)所示的輪對(duì)縱向振動(dòng)加速度時(shí)間歷程圖，從該圖中不能獲得輪對(duì)振動(dòng)特征的信息。因此對(duì)圖8(a)分別進(jìn)行傅立葉變換和小波變換，相應(yīng)的頻譜圖和時(shí)頻圖分別如圖8(b)和圖8(c)所示。

從圖8(b)中只能得知輪對(duì)發(fā)生了主頻率為19 Hz和21 Hz的縱向振動(dòng)，而無(wú)法獲取更多的信息；但從圖8(c)中我們可以得到更多的信息，其中隨著時(shí)間近似線性增長(zhǎng)的頻率為車輪橢圓不圓順（通過(guò)車速及車輪半徑等已知條件可以推測(cè)出來(lái)），為系統(tǒng)的主要激勵(lì)源；不隨時(shí)間變化的是輪對(duì)相對(duì)于構(gòu)架的縱向振動(dòng)頻率，分別為19 Hz和21 Hz。在車輪多邊形激勵(lì)頻率與輪對(duì)縱向固有頻率的交點(diǎn)處，輪對(duì)縱向振動(dòng)加速度響應(yīng)達(dá)到了最大值，即輪對(duì)發(fā)生了縱向共振。根據(jù)以上分析可以認(rèn)為，用小波變換方法分析輪對(duì)縱向振動(dòng)問(wèn)題要優(yōu)于傅立葉變換方法，運(yùn)用該方法能夠獲得更多輪對(duì)的振動(dòng)特征。

圖8 變速工況下輪對(duì)縱向振動(dòng)

4 結(jié)語(yǔ)

本文分別采用傅立葉變換、離散小波變換和連續(xù)小波變換法研究了一系定位剛度突變情況下輪對(duì)的振動(dòng)特點(diǎn)以及車輛在變速運(yùn)行工況下輪對(duì)的振動(dòng)特點(diǎn)。研究表明：

（1）傅立葉變換無(wú)法用于分析非穩(wěn)態(tài)振動(dòng)問(wèn)題，采用離散小波變換可以很方便找出車輛系統(tǒng)參數(shù)變化（或外部瞬時(shí)沖擊）發(fā)生的具體時(shí)刻及影響，但無(wú)法獲得車輛系統(tǒng)頻率（或動(dòng)力學(xué)參數(shù)）的具體變化情況，而采用連續(xù)小波變換可以清楚觀察到車輛系統(tǒng)參數(shù)變化情況以及相應(yīng)的變化時(shí)刻及影響；

（2）根據(jù)連續(xù)小波分析可以得到隨車速（或頻率）變化的曲線對(duì)應(yīng)于2階車輪不圓順，而不隨車輛速度變化的曲線對(duì)應(yīng)輪對(duì)的固有頻率，在兩條曲線的交點(diǎn)處，車輛振動(dòng)加速度響應(yīng)幅值較大，即發(fā)生了共振。