薛繼陽 熊鰲魁 桑騰蛟

(武漢理工大學(xué)交通學(xué)院 武漢 430063)

0 引 言

超大型浮體大尺度、小剛度的特點(diǎn)，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)在外載荷的作用下的彈性變形比較重要.相對(duì)于傳統(tǒng)將結(jié)構(gòu)物作為剛體計(jì)算結(jié)構(gòu)物的運(yùn)動(dòng)就不能很好的預(yù)測(cè)超大型浮體結(jié)構(gòu)的變形，必須在考慮結(jié)構(gòu)物剛體運(yùn)動(dòng)的同時(shí)考慮到結(jié)構(gòu)的彈性體變形.關(guān)于超大型浮體結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算的兩種思路：①利用模態(tài)疊加法，即將彈性體的變形位移由很多運(yùn)動(dòng)模態(tài)疊加而成，然后分別計(jì)算各個(gè)模態(tài)所對(duì)應(yīng)的水動(dòng)力，最終帶入運(yùn)動(dòng)方程求解位移；②直接將結(jié)構(gòu)位移進(jìn)行離散處理，將結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程作為邊界條件進(jìn)行求解.而對(duì)于流場(chǎng)的計(jì)算，同樣存在格林函數(shù)和特征函數(shù)匹配兩種方法.其中格林函數(shù)法是在邊界上分布滿足控制方程的格林函數(shù)，通過滿足相應(yīng)的邊界條件求解邊界上分布格林函數(shù)的源強(qiáng)求解速度勢(shì).而特征函數(shù)則是通過匹配其他邊界條件求解級(jí)數(shù)系數(shù)從而得到速度勢(shì).

Newman[1]對(duì)模態(tài)疊加法求解水彈性問題進(jìn)行了詳細(xì)的敘述.Chong等[2]則利用模態(tài)疊加法對(duì)考慮吃水的平板，并且入射波帶有一定的入射角的水彈性問題進(jìn)行了具體分析.Kim等[3]則對(duì)利用特征函數(shù)匹配方法求解水彈性問題進(jìn)行了相應(yīng)研究.Wu等[4]同樣采用模特疊加方法，其中采用了邊界元積分方法去求解散射勢(shì)和輻射勢(shì),Ohmatsu[5]利用板的振動(dòng)方程導(dǎo)出來修改后的自由表面邊界條件，導(dǎo)出新的色散關(guān)系，類比與光學(xué)中的折射定律導(dǎo)出了結(jié)構(gòu)彈性波波幅的傳遞函數(shù)，隨后進(jìn)一步對(duì)時(shí)域、拖曳情形(存在一定的航速)、裝配組合情形，以及超大型浮體系泊風(fēng)險(xiǎn)分析進(jìn)行了進(jìn)一步的討論.金晶哲等[6]比較了求解水彈性問題的模態(tài)展開法及特征函數(shù)展開法，表明兩種方法基本上可以比較準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)浮體結(jié)構(gòu)的撓曲變形，模態(tài)函數(shù)展開方法與試驗(yàn)結(jié)果吻合得略好，特征函數(shù)展開方法在某些波長(zhǎng)下給出的預(yù)報(bào)結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)還有一定的差距.閆紅梅[7]根據(jù)文獻(xiàn)[8]提出的一種矩形平板的撓度函數(shù)進(jìn)行超大型浮式結(jié)構(gòu)物在波浪中的水彈性響應(yīng)分析,提出了一種滿足板振動(dòng)方程的平板格林函數(shù)，將平板的位移用壓力分布函數(shù)與平板格林函數(shù)表示，而根據(jù)伯努利公式將壓力表達(dá)成速度勢(shì)的函數(shù)，即可求解流場(chǎng)的速度勢(shì).

1 基本理論

對(duì)于大型浮體在線性波浪下的水彈性問題，由于其水平尺度比較大.故將其簡(jiǎn)化成平面問題考慮，見圖1.其中入射區(qū)及透射區(qū)均存在級(jí)數(shù)解.假定流體為理想無旋流體，中間計(jì)算域速度勢(shì)滿足Laplace方程，而計(jì)算域與入射區(qū)和透射區(qū)的邊界1和邊界2均滿足速度勢(shì)及法向速度連續(xù)，邊界3即底面邊界條件，滿足物面不可穿透邊界條件，而邊界4即為兩端自由的梁，滿足梁的振動(dòng)方程，同時(shí)滿足速度連續(xù).根據(jù)控制方程以及邊界條件即可對(duì)中間計(jì)算域的流場(chǎng)進(jìn)行求解.

圖1 計(jì)算模型圖

入射區(qū)的速度勢(shì)函數(shù)為

(1)

式中：H為波高；ω為波浪圓頻率；g為重力加速度；k為波數(shù)；d為水深；a為平板半長(zhǎng)；Ap,Kp為相應(yīng)的常數(shù).

速度勢(shì)對(duì)于x的偏導(dǎo)為

(2)

設(shè)定計(jì)算域的速度勢(shì)函數(shù)為Φ，則在邊界1滿足速度勢(shì)及速度勢(shì)法向?qū)?shù)連續(xù).

(3)

利用速度勢(shì)特征函數(shù)的正交性，得到邊界1上的邊界條件為

(4)

(5)

透射區(qū)域速度勢(shì)級(jí)數(shù)解為

(6)

在邊界2上仍然滿足速度勢(shì)以及速度勢(shì)法向?qū)?shù)連續(xù)，處理方式與邊界1類似，得到邊界2上的邊界條件為

(7)

(8)

邊界3為水底滿足物面不可穿透邊界條件，即在邊界3上有

(9)

邊界4忽略了板的吃水，將其簡(jiǎn)化為兩端自由的梁，滿足梁的振動(dòng)方程

(10)

式中:E為材料的彈性模量；I為梁截面的慣性矩；S為截面面積；ρ為材料密度；P為梁上的作用壓力.并且滿足梁兩端偏移量的兩階導(dǎo)和三階導(dǎo)等于0，物理含義為自由梁兩端的力矩以及剪力為0.

2 數(shù)值方法

建立起控制方程和邊界條件之后，即建立離散模型對(duì)方程進(jìn)行求解.首先對(duì)計(jì)算域離散劃分為相應(yīng)的四邊形網(wǎng)格，見圖2.

圖2 中心網(wǎng)格離散

(11)

得對(duì)于計(jì)算域中心的每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有對(duì)應(yīng)的方程，但對(duì)于邊界上的節(jié)點(diǎn)無法提供方程，必須利用相應(yīng)的邊界條件補(bǔ)充方程使得方程組封閉得以求解.這里采用的方法是將邊界上的節(jié)點(diǎn)再外推一排，則原始邊界上的節(jié)點(diǎn)即可利用控制方程給出相應(yīng)的離散方程，而新增加的節(jié)點(diǎn)必須利用邊界條件給出新的方程.

對(duì)于邊界1，該邊界條件為第三類邊界條件，見圖3.

圖3 邊界1離散

對(duì)于梯形積分兩端的端點(diǎn)值取一半：即有A11=ikcosh (k(z1+d))·dz/2，B11=cosh (k(z1+d))·dz/2；A1N=ikcosh (k(zN+d))·dz/2，B1N=cosh (k(zN+d))·dz/2.

對(duì)于速度勢(shì)偏導(dǎo)采用的中心差分格式即：Φxi2=(Φi3-Φi1)/2dx.

對(duì)于式(5)是一個(gè)齊次方程，即當(dāng)j>1，bj=0.且有：Api=kpcos (kp(zi+d))dz，Bpi=-cos (kp(zi+d))dz；Ap1=kpcos (k(z1+d))·dz/2，Bp1=-cos (kp(z1+d))dz/2；ApN=kpcos (k(zN+d))·dz/2，BpN=-cos (kp(zN+d))dz/2.

邊界2的處理方式與此類似，這里不在詳述.

對(duì)于邊界3和邊界4的處理方式比較類似，不同的邊界3上的法向速度為0，而邊界4上的法向速度由梁的振動(dòng)解指定.采用的方式任然是采用外推一排節(jié)點(diǎn)，見圖4.

圖4 邊界3離散

由此可以提供邊界3上的M個(gè)方程.

3 模型驗(yàn)證

圖5 固壁受力級(jí)數(shù)解與計(jì)算結(jié)果對(duì)比

同樣參數(shù)下對(duì)應(yīng)平板作升沉運(yùn)動(dòng)時(shí)的輻射力見圖6.

圖6 輻射力級(jí)數(shù)解與計(jì)算值對(duì)比

由圖5～6可知，通過差分匹配邊界條件求解場(chǎng)方程得到的結(jié)果與相應(yīng)的級(jí)數(shù)解十分接近，證明了該方法的可靠性，下面即用此來研究平面梁板模型的水彈性行為.

4 梁板模型水彈性計(jì)算結(jié)果

圖7 不同波長(zhǎng)板長(zhǎng)比下板梁模型位移與三維實(shí)驗(yàn)值比較

5 結(jié) 束 語

文中將超大型浮體結(jié)構(gòu)的水彈性問題忽略吃水之后將其簡(jiǎn)化為兩端自由的板條梁的水彈性問題，由于未考慮試驗(yàn)室一側(cè)的牽引以及忽略了吃水導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果一側(cè)與試驗(yàn)有一定的差別，但是另一端自由端的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值比較一致.并且在波長(zhǎng)板長(zhǎng)比在比較大的情況下結(jié)果與試驗(yàn)比較一致.