楚碩 郭春文 王志軍 李俊杰 王錦程

1)(西北工業(yè)大學,凝固技術國家重點實驗室,西安 710072)

2)(Faculty of Mechanical Engineering,Kyoto Institute of Technology,Kyoto 606-8585,Japan)

3)(西北工業(yè)大學,國防科技工業(yè)精密鍛造與環(huán)軋技術創(chuàng)新中心,西安 710072)

1 引 言

單相合金凝固過程中,枝晶是最典型的微觀結(jié)構特征,直接影響著材料的加工過程及使用性能.定向凝固是定量研究枝晶生長行為的重要手段,也是獲得具有特殊取向和優(yōu)異性能的材料的重要方式.因此,揭示定向凝固過程中枝晶生長形貌的演化規(guī)律,對揭示材料組織演化和凝固技術的發(fā)展具有重要意義.

有很多學者對定向凝固枝晶生長進行了深入的研究,提出了相關的理論模型,如Bower-Brody-Fleming模型[1]、Burden-Hunt模型[2]、Burden-Hunt-Laxmanan(BHL)模型[3]、Kurz-Fisher模型[4]、Trivedi模型[5].這些模型促進了人們對定向凝固的認識并有效地指導了實驗研究.

合金凝固過程中,溶質(zhì)擴散是決定枝晶生長的重要物理過程.理論模型一般將液相中溶質(zhì)擴散系數(shù)簡化為一個常數(shù).但是,當溶質(zhì)分配系數(shù)遠遠偏離1時,界面前沿溶質(zhì)邊界層的成分從界面處的c∞/k到初始的c∞存在較大的變化.實際情況中,擴散系數(shù)對濃度具有一定的依賴性.Shampine[6]提出局部的擴散系數(shù)可以表示為與濃度相關的函數(shù).Lee等[7]通過對Al-Cu合金定向凝固的實驗發(fā)現(xiàn),凝固過程中局部的擴散系數(shù)與濃度相關.Dahlbrog等[8]通過對Al-Cu合金的實驗研究也發(fā)現(xiàn),合金成分不同時Al和Cu具有不同的擴散系數(shù).因此,枝晶生長過程中,存在較大濃度變化的濃度擴散邊界層內(nèi),擴散系數(shù)將成為依賴濃度的變量.

液相中溶質(zhì)擴散系數(shù)是影響枝晶生長動力學的重要參數(shù).枝晶生長的尖端過冷度、尖端半徑、一次臂主干、側(cè)向分枝等都與擴散系數(shù)密切相關.然而濃度相關的擴散系數(shù)對枝晶生長的影響至今沒有得到有效評估.一方面,可變系數(shù)的擴散方程的理論分析相對復雜,幾乎不可能得到解析解;另一方面,擴散系數(shù)隨濃度變化在實驗過程中很難定量測量,對枝晶生長的影響無法直接建立聯(lián)系.定量相場模型已經(jīng)被證實可以定量地描述枝晶生長,是研究這一問題的理想工具.

通過采用相場法對定向凝固微觀組織演化過程已經(jīng)做了大量的模擬研究[9-12].基于此,通過溶質(zhì)擴散系數(shù)與溶質(zhì)濃度之間的耦合關系,本文采用定量相場模型研究定向凝固過程中枝晶在液相可變擴散系數(shù)下的生長行為,發(fā)現(xiàn)可變擴散系數(shù)對定向凝固枝晶尖端過冷度及側(cè)向分枝的生長具有重要影響.

2 模擬方法

2.1 相場方程和溶質(zhì)場方程

利用相場計算定量地再現(xiàn)實驗中觀察到的凝固微觀組織演化過程,是微觀組織演化研究的重要方法之一[13].Karma[14]提出的定量相場模型消除了彌散界面帶來的非平衡效應.薄界面漸進分析表明,Karma定量相場模型與描述單相二元合金凝固過程的尖銳界面模型等價[15],因此定量相場計算結(jié)果為數(shù)學/物理模型的精確數(shù)值解,可以真實地反映凝固微觀組織的演化過程.本文主要采用文獻[11]中的定量相場模型.相場變量φ=1代表固相,φ=—1代表液相.相場演化方程為

溶質(zhì)場方程為

其中,W(θ)=W0(1+γ4cos4θ),

其中,W0為界面厚度參數(shù),τ0為界面弛豫時間參數(shù),λ為耦合常數(shù),γ4為界面能各向異性強度系數(shù),θ為界面方向與界面能擇優(yōu)取向間的夾角,rg為在(—1,+1)之間呈高斯分布的隨機變量,αn為與界面厚度有關的噪聲強度系數(shù),(1—φ2)保證了噪聲只在固/液界面上存在.模型參數(shù)與實際物性參數(shù)的對應關系為:d0=a1W0/λ,τ0=a2λW02/D,其中d0=Γ/(mc∞(1-k)/k)為溶質(zhì)毛細長度.

2.2 耦合溶質(zhì)擴散方程

Shampine等[6]在經(jīng)典的擴散方程?c/?t=?(D?c/?x)/?x中提出了擴散系數(shù)與濃度有關的函數(shù)關系:

式中,c0為液相中的初始濃度,本文選為0.01at.%;c為溶質(zhì)濃度,且c=cl[1+k-(1-k)φ]/2[15].對上式進行無量綱化處理,得

式中,無量綱化后的擴散系數(shù)D0=1,c為液相溶質(zhì)濃度,k為濃質(zhì)平衡分配系數(shù).本文選擇正相關性,即擴散系數(shù)隨溶度的增加而增加.其中,參數(shù)衡量擴散系數(shù)對溶質(zhì)濃度依賴性,為耦合強度因子.當φ=—1,即為液相時,將方程(4)耦合到溶質(zhì)場方程可得

體現(xiàn)液相擴散系數(shù)對濃度的依賴性.

2.3 物性參數(shù)

實驗中通常采用類金屬透明系合金來研究凝固過程,而丁二腈-香豆素(SCN-C152)[16]已在凝固微觀組織演化原位觀察實驗中得到了較深入的研究,這里選取以丁二腈為基準的模型合金作為研究對象.其物性參數(shù)列于表1.

表1 材料物性參數(shù)Table 1. Material physical parameters.

3 結(jié)果與討論

在定向凝固枝晶生長的模擬過程中,采用線性溫度梯度近似20 K/cm,不考慮潛熱對枝晶尖端生長的影響,只考慮溶質(zhì)擴散對尖端生長的影響[17].在不同的抽拉速度條件下,通過設置不同的耦合強度,觀察擴散系數(shù)對溶質(zhì)濃度依賴性的強弱對枝晶生長的影響.

3.1 耦合強度對枝晶形貌及溶質(zhì)場的影響

圖1給出了三種抽拉速度不同耦合強度因子下得到的穩(wěn)態(tài)枝晶生長形貌.結(jié)果表明,在三種抽拉速度下,擴散系數(shù)的濃度耦合強度對枝晶生長均帶來了顯著影響.如圖所示,隨著耦合強度的增加,枝晶主干保持不變,枝晶尖端位置逐漸向冷端移動,且側(cè)向分枝的振幅逐漸減小.η20=80

我們提取了在vp=32 μm/s, 的模擬條件下枝晶的邊界濃度和尖端前沿液相中的濃度,并將其代入(4)式中,計算出液相中與溶質(zhì)濃度相關的擴散系數(shù),結(jié)果如圖2所示.總體而言,擴散系數(shù)隨濃度的變化在25%以內(nèi).可以看出,當在液相的溶質(zhì)場擴散方程中耦合濃度相關的擴散方程后,液相中溶質(zhì)的擴散系數(shù)會隨溶質(zhì)濃度的增加而增加,而且枝晶根部處液相的擴散系數(shù)高于枝晶尖端前沿液相的擴散系數(shù).因此,通過在液相的溶質(zhì)場方程中耦合濃度相關的擴散方程,會增強枝晶間的溶質(zhì)原子沿枝晶尖端方向的擴散能力,進而抑制從尖端排出的溶質(zhì)原子橫向擴散過程,造成尖端處溶質(zhì)原子的富集程度增加.

圖1 耦合強度對枝晶尖端生長形貌的影響(a)vp=20 μm/s;(b)vp=32 μm/s;(c)vp=50 μm/sFig.1.Effect of coupling intensities on the morphology of dendrite tip growth:(a)vp=20 μm/s;(b)vp=32 μm/s;(c)vp=50 μm/s.

在正溫度梯度下,固-液界面前沿中存在成分過冷,會使平界面失穩(wěn),進而生長為具有側(cè)向分枝的枝晶,而且枝晶側(cè)向分枝的發(fā)達程度與成分過冷的大小有關.因此圖1中側(cè)向分枝的振幅隨耦合強度的增加而減小這一現(xiàn)象可以通過成分過冷判據(jù)[18]進行定性的解釋:

其中,GL為液相線溫度梯度,V為界面生長速度,m為液相線斜率,c0為合金平均成分,k為平衡溶質(zhì)分配系數(shù),DL為液相溶質(zhì)擴散系數(shù),ΔT0為平衡結(jié)晶溫度區(qū)間.可以看出,當耦合強度增加時,枝晶間液相中濃質(zhì)擴散系數(shù)也會隨之增加,從而降低枝晶間液相中的成分過冷,最終造成側(cè)向分枝的振幅減小.

圖2 vp=32 μm/s,=80 時枝晶尖端前沿(實線)與邊界(虛線)處液相的溶質(zhì)場特征(a)溶質(zhì)場;(b)溶質(zhì)濃度;(c)與濃度相關的擴散系數(shù)Fig.2.The solute field along the full line and the hidden line of the channel when vp=32 μm/s and =80 :(a)Solute field;(b)solute concentration;(c)concentration-dependent diffusion coefficient.

3.2 耦合強度對尖端狀態(tài)的影響

枝晶的尖端狀態(tài)是枝晶生長理論重要的研究內(nèi)容.定向凝固過程中枝晶尖端狀態(tài)的選擇主要受枝晶列間的溶質(zhì)場相互作用[19]和界面能各向異性[20]的影響,并完全受界面能和溶質(zhì)擴散的控制.其中溶質(zhì)擴散對尖端狀態(tài)的選擇的研究也主要集中在枝晶列之間溶質(zhì)場的相互作用.本文模擬結(jié)果表明,擴散系數(shù)對濃度依賴性的強弱對枝晶尖端狀態(tài)也存在一定的影響.

圖3 不同模擬條件下枝晶的尖端特征(a)尖端半徑;(b)尖端位置;(c)尖端過冷度Fig.3.The characteristics of dendrite tip with different simulated conditions:(a)Tip radius;(b)tip position;(c)tip undercooling.

圖3給出了不同耦合條件下枝晶的尖端狀態(tài).結(jié)果表明,枝晶的尖端半徑幾乎不隨耦合強度發(fā)生變化,尖端位置隨著耦合強度的增加近似呈線性降低,由于在定向凝固中,尖端過冷度的大小與界面位置的高低有關,所以對應的尖端過冷度增加.而且當抽拉速度為20 μm/s時,對應的枝晶尖端位置和尖端過冷度的曲線斜率較大,表明在較低速度下受濃度依賴的擴散系數(shù)對枝晶尖端的影響較大.這是由于低速下溶質(zhì)的擴散邊界層增大,與濃度相關的擴散系數(shù)影響范圍增加.圖3(c)表明,20 μm/s的抽拉速度下當耦合強度=80 時的尖端過冷度已經(jīng)非常接近50 μm/s時耦合強度為0時的尖端過冷度.由此可見,耦合強度對尖端過冷度有顯著的影響.

圖4 vp=32 μm/s時不同耦合強度下枝晶尖端附近的濃度特征(a)邊界濃度;(b)尖端濃度與尖端擴散系數(shù)Fig.4.Concentration characteristics near the dendrite tip under different coupling intensities with vp=32 μm/s:(a)Boundary concentration;(b)tip concentration and tip diffusion coefficient.

由于枝晶間濃度的顯著富集,且高于枝晶尖端的濃度,受濃度依賴的擴散系數(shù)會促進枝晶間的溶質(zhì)向枝晶尖端方向擴散.為了進一步探究耦合強度的大小對液相中溶質(zhì)流動的影響以及造成枝晶尖端位置和尖端過冷的原因,圖4給出了當抽拉速度為32 μm/s時,不同耦合強度下枝晶的尖端濃度及尖端位置附近的邊界濃度.結(jié)果表明,在同一速度下,隨著耦合強度的增加,枝晶尖端前沿及尖端位置附近對應的邊界濃度在逐漸增加.結(jié)合3.1節(jié)對溶質(zhì)場的分析可知,在相同的速度下,造成枝晶尖端位置降低以及尖端過冷度增加的主要原因是耦合強度的逐漸增加會增強枝晶間的溶質(zhì)擴散對尖端排出的溶質(zhì)原子橫向擴散的抑制作用,從而造成枝晶尖端位置的溶質(zhì)富集程度逐漸增加.

在相同的耦合強度下,尖端過冷度隨抽拉速度的增大而減小.這一變化規(guī)律可以依據(jù)BHL模型[3]解釋.BHL模型給出的胞/枝晶列尖端過冷度公式為

(7)式中等號右邊第二項反映枝晶生長的橫向擴散.模擬中DL并非是一個常數(shù),但是其變化相對于抽拉速度的變化非常微小,可以近似采用BHL模型對尖端過冷度的變化進行分析.此時尖端過冷度主要受抽拉速度的控制,隨抽拉速度的增大而增大.

圖3(a)給出了不同速度下枝晶尖端半徑與耦合強度的關系.發(fā)現(xiàn)枝晶的尖端半徑并沒有發(fā)生太大的變化.對于這一現(xiàn)象,可以依據(jù)Hunt模型[21]給出的枝晶尖端半徑與一次間距的公式進行解釋:

模擬過程中,枝晶的一次間距λ1保持不變.所以當在相同的抽拉速度下,根據(jù)模型,DL為常數(shù)時,Ct的增加會導致尖端半徑的減小.但是由于液相的擴散系數(shù)與溶質(zhì)的濃度有關,所以枝晶的尖端半徑受尖端前沿液相的濃度Ct和液相中溶質(zhì)的擴散系數(shù)DL共同影響.擴散系數(shù)對濃度依賴性的增加會導致液相中溶質(zhì)的擴散系數(shù)的增加,尖端處的濃度和擴散系數(shù)同時增大(如圖4(b)).將不同耦合強度下的尖端濃度和擴散系數(shù)代入到Hunt模型[21]中,計算所得的尖端半徑在3.75 μm左右,與模擬結(jié)果吻合較好,誤差在1 μm左右.

在相同的耦合強度下,相當于保持液相中溶質(zhì)的擴散系數(shù)不變,尖端半徑主要受抽拉速度控制,隨抽拉速度的增加而減小.枝晶尖端溶質(zhì)的濃度和擴散系數(shù)的變化量相對于速度的變化量對(8)式中的尖端半徑影響較小,可以忽略.

圖5 (a1)-(a3)=0 時枝晶列的演化過程;(b1)-(b3)=80 時枝晶列的演化過程Fig.5.(a1)-(a3)The evolution of dendrite columns when =0;(b1)-(b3)the evolution of dendrite columns when =80 .

3.3 耦合強度對枝晶列的影響

對于枝晶列的研究,我們選取了=0,80 ,所模擬的區(qū)域?qū)挾葹?400 μm,抽拉速度為50 μm/s,模擬結(jié)果如圖5所示.由圖可見,在枝晶列不斷演化的過程中,擴散系數(shù)與濃度不相關時的枝晶數(shù)量均大于擴散系數(shù)與濃度相關時的枝晶數(shù)量.當擴散系數(shù)與濃度相關時,穩(wěn)態(tài)枝晶的尖端位置也顯著降低.

在枝晶列演化的過程中,最終的穩(wěn)態(tài)一次間距取決于枝晶間距調(diào)整的演化歷程.Hunt-Lu相互作用模型[22]認為枝晶間距的生長競爭通過溶質(zhì)場相互作用反映出來,對于兩個相鄰枝晶,間距較大的枝晶前沿溶質(zhì)會向間距較小的枝晶擴散,導致小間距枝晶的尖端溶質(zhì)富集,尖端逐漸淹沒,最終被淘汰掉.通過3.2節(jié)的分析可知,當擴散系數(shù)與溶質(zhì)濃度相關時,會增加枝晶尖端的溶質(zhì)富集程度,降低枝晶的尖端位置.圖5的模擬結(jié)果表明這種現(xiàn)象在枝晶列的生長中同樣存在.當擴散系數(shù)與溶質(zhì)濃度相關時,由于枝晶尖端前沿溶質(zhì)富集程度的增加,會造成枝晶淹沒淘汰更容易發(fā)生.

4 結(jié) 論

通過在液相溶質(zhì)擴散方程中耦合濃度相關的擴散系數(shù),采用定量相場模型探究了可變擴散系數(shù)對枝晶的溶質(zhì)場以及枝晶生長行為的影響.研究發(fā)現(xiàn),液相中溶質(zhì)擴散系數(shù)對溶質(zhì)濃度依賴性的增加,會增強枝晶間的溶質(zhì)擴散對枝晶尖端排出的溶質(zhì)原子橫向擴散的抑制作用,造成枝晶尖端固-液界面處的溶質(zhì)富集程度升高.對于給定一次間距的枝晶,側(cè)向分枝的振幅會逐漸減小.濃度相關的擴散系數(shù)對枝晶的尖端半徑影響有限,其模擬結(jié)果與理論模型計算較為吻合.對于枝晶列,這種擴散效應會造成枝晶淹沒淘汰更容易發(fā)生,增加穩(wěn)態(tài)枝晶列的一次間距,增加尖端過冷度.