由“五點(diǎn)共圓”問題引發(fā)的猜想

☉海南省海南中學(xué) 何佳譯

☉海南省海南中學(xué) 屈 韜

2000年12月20日下午，江澤民同志視察澳門濠江中學(xué).在與教師座談時，江澤民同志說：“我高中畢業(yè)參加高考時的一道幾何題，至今印象深刻.”隨后江澤民同志拿過一張白紙畫了個五角星，邊畫邊說：“假設(shè)：任意一個星形，五個三角形，外接圓交于五點(diǎn).求證：這五點(diǎn)共圓.”這就是著名的“五點(diǎn)共圓”問題.

“五點(diǎn)共圓“問題用書面語言可表述為：任意一個五角星，在其五個小三角形上作出五個小三角形的外接圓，兩個相鄰圓各自交兩點(diǎn)，共有十個交點(diǎn)，除去星形本身的五個點(diǎn)，其余五個點(diǎn)必定是共圓的.目前最常見的證明方法如下：

圖1

證明：畫任意五角星，如圖1所示，△FQK、△KEL、△LDH、△HCM和△MBQ各自的外接圓順次相交的交點(diǎn)分別為J、I、A、N、G.

連接CA、HA、JA、LA、NA、JH、NG、GQ、GJ、JF.

根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理可知：

∠FCA+∠FLA=∠AHD+∠FLA=∠ALD+∠FLA=180°.

則F、L、A、C四點(diǎn)共圓.

同理，F(xiàn)、J、L、C四點(diǎn)共圓，從而F、J、A、C四點(diǎn)共圓.

則180°-∠FJA=∠FCA=∠MCA.（注：此處的小技巧好多學(xué)生想不到）

又∠MNA=∠MCA，∠GNM=180°-∠GQM=∠GQF=∠GJF，則∠GNA=∠GNM+∠MNA=∠GJF+（180°-∠FJA）.

則∠GNA+∠GJA=∠GJF+（180°-∠FJA）+∠GJA=180°.

故J、G、N、A四點(diǎn)共圓.

同理可證I、G、N、A四點(diǎn)共圓.

則J、I、A、N、G五點(diǎn)共圓.

上述證明思路為：要證J、I、A、N、G五點(diǎn)共圓→只需證J、G、N、A四點(diǎn)共圓和I、G、N、A四點(diǎn)共圓→由于二者同理可證→只需證J、G、N、A四點(diǎn)共圓→通過圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理轉(zhuǎn)換成證F、L、A、C四點(diǎn)共圓.

在上述證明過程中，直線EB上的點(diǎn)我們一個都沒用到，如果我們?nèi)サ糁本€EB會是什么結(jié)果呢？去掉直線EB，我們得到圖2：

圖2

圖2中每三條相交直線構(gòu)成一個三角形，共有△DHL、△CMH、△CFL、△DMF四個三角形，△DHL和△CMH的外接圓交于點(diǎn)A、H.

由“五點(diǎn)共圓”問題的證明可知F、L、A、C四點(diǎn)共圓，同理可知F、D、A、M共圓，且△DHL、△CMH、△CFL、△DMF的外接圓交于點(diǎn)A.因此我們可以得到圖3：

圖2

圖3

在“五點(diǎn)共圓”問題中，五個小三角形的外接圓，兩個相鄰圓各自交兩點(diǎn)，如點(diǎn)A和點(diǎn)H，共圓的為點(diǎn)A，而非點(diǎn)H.我們知道五角星是由兩兩相交且任意三條都不共點(diǎn)的五條直線相交后構(gòu)成的，結(jié)合圖3，可以將“五點(diǎn)共圓”問題簡化表述為：平面內(nèi)有兩兩相交，且任意三條直線都不共點(diǎn)的五條直線，其中每四條作為一組可確定一個“四圓共點(diǎn)”的點(diǎn)，共有五個這樣的點(diǎn)，這五個點(diǎn)共圓.

圖4

如果在圖3中再去掉直線DM，可得到圖4：

圖4中△CFL有一個外接圓，換句話說就是F、L、C三點(diǎn)共圓.

那么圖3中的問題可以表述為：平面內(nèi)有兩兩相交，且任意三條直線都不共點(diǎn)的四條直線，其中每三條為一組可以確定一個圓，共有四個這樣的圓，這四個圓共點(diǎn).

順著這樣的思路筆者猜想：

如果在圖1的基礎(chǔ)上再增加一條直線，得到六條兩兩相交且任意三條都不共點(diǎn)的直線，那么這六條相交直線每五條一組構(gòu)成一個“五點(diǎn)共圓”，共有六個“五點(diǎn)共圓”，這六個“五點(diǎn)共圓”共點(diǎn).

再增加一條直線的話，得到七條兩兩相交且任意三條都不共點(diǎn)的直線，那么這七條相交直線每六條一組有一個“六圓共點(diǎn)”的點(diǎn)，共有七個這樣的點(diǎn)，這七個點(diǎn)共圓.

…………

推而廣之，筆者猜想：

平面內(nèi)有兩兩相交，且任意三條直線都不共點(diǎn)的n條直線：

當(dāng)n為大于2的偶數(shù)時，n-1條直線可確定一個圓，共有n個圓，這n個圓共點(diǎn)；

當(dāng)n為大于3的奇數(shù)時，其中每n-1條直線可確定一個“n-1圓共點(diǎn)”的點(diǎn)，共有n個這樣的點(diǎn)，這n個點(diǎn)共圓.

筆者曾嘗試證明n=6時的情形，圖形復(fù)雜到在一張A4紙上都難以畫出，因此更談不上證明，而證明上述猜想更是超出了筆者的知識范圍，希望有“大家”能證明這個猜想正確或錯誤.