F－Gorenstein平坦維數(shù)

劉 苗， 楊曉燕

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅蘭州730070)

自Enochs等引入Gorenstein投射、內(nèi)射和平坦模的概念［1－2］以來，受到許多學(xué)者的關(guān)注，見文獻［3－6］．在Holm［5］引入了相應(yīng)的Gorenstein同調(diào)維數(shù)之后，Gorenstein同調(diào)代數(shù)理論完全建立．

Holm在文獻［5］中證明了Gorenstein投射模類在一般環(huán)上是投射可解的，并且每個具有有限Gorenstein投射維數(shù)的模具有特殊的Gorenstein投射預(yù)覆蓋．但在一般的環(huán)上，Gorenstein平坦模類是否是投射可解的，到目前尚未可知．為了在平坦模的純導(dǎo)出范疇中研究Tate以及完全上同調(diào)理論，Asadollahi等在文獻［3］中引入了F－Gorenstein平坦R－模的定義．Hu等在文獻［6］中證明了 F－Gorenstein平坦模類是投射可解的，并且在凝聚環(huán)的情形下與Gorenstein平坦模類一致．本文的主要目的是進一步研究F－Gorenstein平坦模類的同調(diào)性質(zhì)．

1 F－Gorenstein平坦模

本文中的環(huán)R指有單位元的結(jié)合環(huán)，模都是酉模，用R－Mod表示左R－模范疇．文中所說的模類是指R－Mod中在同構(gòu)封閉下的全子范疇．用P、F和C分別表示所有投射、平坦和余撓左R－模構(gòu)成的模類，用pdR(M)和fdR(M)分別表示左R－模M的投射和平坦維數(shù)．

定義 1．1 設(shè)X是左R－模類．1)稱R－Mod中的正合序列

是HomR(－，X)－正合的，如果對任意的 X∈X，序列HomR(A，X)是正合的．

2)稱M∈⊥X，如果對任意的X∈X，有

類似地，可以定義M∈X⊥．

定義 1．3 設(shè)A、B是左R－模類．

1)稱(A，B)是余撓對，如果A⊥=B且

⊥B=A．

2)稱余撓對(A，B)是遺傳的，如果對任意的A∈A，B∈B，ExtiR≥1(A，B)=0．

3)稱余撓對(A，B)是完備的，如果對任意的左R－模M，存在短正合列

其中A∈A，B∈B;等價地，存在短正合列

其中 A'∈A，B'∈B．

眾所周知，(F，C)形成完備遺傳的余撓對．

定義 1．4［1］稱左 R－模 M 是Gorenstein平坦的，如果存在一個平坦左R－模構(gòu)成的正合序列

使得

定義 1．5［3］稱左 R－模 M 是 F－Gorenstein 平坦的，如果存在平坦左R－模構(gòu)成的正合列

使得

并且對任意X∈F∩C，HomR(A，X)是正合的(這樣的正合列A也簡稱為HomR(－，F(xiàn)∩C)－正合列)．

以下用G(F)表示Gorenstein平坦左R－模類，用H(F)表示F－Gorenstein平坦左R－模類．

下述引理見文獻［6］中的引理3．2 和引理3．4．

引理1．6 設(shè)M是左R－模，則以下條件等價:

1)M是F－Gorenstein平坦左R－模;

2)M∈⊥(F∩C)，且存在HomR(－，F(xiàn)∩C)－正合的正合列

其中每個Ai∈F∩C．

若R是右凝聚環(huán)，則上述的條件也等價于:

3)M是Gorenstein平坦左R－模．

注 1．7 由引理1．6易知，每個F－Gorenstein平坦R－模都有特殊的F∩C－預(yù)包絡(luò)．

下述結(jié)論見文獻［6］中的命題3．7．

引理1．8 模類H(F)是投射可解的，并且H(F)對任意的直和與直和項封閉．

2 F－Gorenstein平坦維數(shù)

引理 2．1 設(shè)M是左R－模，

與

是左 R－模正合列，其中 Gi，Hi∈H(F)，i=0，1，…，n－1，則 Gn∈H(F)當(dāng)且僅當(dāng) Hn∈H(F)．

證明 作第三個正合序列

其中每個Pi∈P．由比較引理可得如下的交換圖:

由此可得如下映射錐正合序列

由于 Gi，Pi∈H(F)，所以由引理 1．8 知

PiGi+1∈H(F)， 0≤i≤n－2．

于是有K∈H(F)當(dāng)且僅當(dāng)Gn∈H(F)．

對第二個正合列作相應(yīng)的論斷，于是也有K∈H(F)當(dāng)且僅當(dāng)Hn∈H(F)．由此得到 Gn∈H(F)當(dāng)且僅當(dāng)Hn∈H(F)．

定義 2．2 設(shè)R是環(huán)，M 是左R－模．若有正合列

其中 F0，F(xiàn)1，…，F(xiàn)n是 F－Gorenstein 平坦模，則稱該正合列是M的一個有限F－Gorenstein平坦分解，其中n稱為此F－Gorenstein平坦分解的長度．令F－GfdR(M)=inf{n|M有長度為n的F－Gorenstein平坦分解}，

稱之為模M的F－Gorenstein平坦維數(shù)．若M不存在上述形式的F－Gorenstein平坦分解，則規(guī)定

F－GfdR(M)=∞．

回顧左R－模M稱為Gorenstein投射的，如果存在投射左R－模構(gòu)成的HomR(－，P)－正合的正合列

使得

用G(P)表示所有Gorenstein投射左R－模構(gòu)成的類．

注 2．3 1)設(shè)R是右凝聚環(huán)，則由引理1．6知從而對任意的左R－模M，其中GfdR(M)表示左R－模M的Gorenstein平坦維數(shù)．

2)設(shè)R滿足P=F∩C，則由文獻［6］中的命題3．5 可知H(F)=G(P)，從而其中GpdR(M)表示左R－模M的Gorenstein投射維數(shù)．

引理 2．4 設(shè)是左R－模的短正合列，其中 F'，F(xiàn)∈H(F)．若對任意的 X∈F∩C，有

則M∈H(F)．

證明 因為 F'∈H(F)，所以由引理1．6可知存在左R－模的正合序列

其中 Q∈F∩C，L∈H(F)．作推出圖:

因為 F∈H(F)且 L∈H(F)，所以 H∈H(F)．用HomR(－，Q)作用于第二行的短正合列，得到正合序列

注意到Ext1R(M，Q)=0，故第二行的短正合列可裂，所以M∈H(F)．

注 2．5 設(shè)

是左R－模中的短正合序列，其中F∈H(F)，則有

用珘F表示平坦維數(shù)有限的左R－模構(gòu)成的類．引理 2．6 設(shè)M是左R－模，且則以下條件等價:

1)M是F－Gorenstein平坦模;

2)對任意的i＞0及任意的X∈F∩C，有

3)對任意的i＞0及任意的X∈珘F∩C，有

下面對m進行數(shù)學(xué)歸納．若m=0，則由2)知對任意 i＞0，有Exti

R(M，X)=0．

設(shè)m＞0，考慮短正合序列

其中 F∈F，K∈C，則fdR(K)≤m－1．從而由歸納假設(shè)可知，對任意的 i＞0，ExtiR(M，K)=0．另一方面，由于 X，K∈C，于是由 2)可知，對任意的 i＞0，有

因此，由正合列

可知，對任意的 i＞0，有

于是存在左R－模的短正合列

其中每個Fi∈H(F)．將(*)打斷成如下短正合列

其中 Kn－1=Fn，C0=M．考慮短正合列

設(shè)Y∈F∩C，則由維數(shù)轉(zhuǎn)移可得

由于 Kn－1，F(xiàn)n－1∈H(F)．從而由引理 2．4 可知，Cn－1∈H(F)，對其余短正合列重復(fù)該論斷，可以得到每個Ci∈H(F)．特別地，M∈H(F)．

下述引理給出了F－Gorenstein平坦維數(shù)的刻畫．

引理 2．7 設(shè)n是非負(fù)整數(shù)，M是左R－模，且

則以下條件等價:

2) 對任意的i＞n，及任意的X∈F∩C，有

3)對任意的i＞n，及任意的X∈珘F∩C，有

4) 設(shè)0→Kn→Fn－1→…→F0→M→0 是左 R－模正合列．若每個 Fi∈H(F)，則 Kn∈H(F)．

其中每個Fi∈H(F)．對任意的左R－模

由于Fn∈H(F)，由維數(shù)轉(zhuǎn)移和引理2．6得

故由引理2．6得到Kn∈H(F)．

以下定理為本文的主要結(jié)論．

定理 2．8 設(shè)M是左R－模，且

證明 考慮R－Mod中的短正合列

其中 F∈F，K'∈C．由F－GfdR(M)≤1 及引理 2．7 可知K'∈H(F)．從而由引理1．6可知存在短正合列

其中H∈F∩C，C∈H(F)．作推出圖:

由于在中間列的短正合列中F，C∈H(F)，從而Q∈H(F)．考慮短正合序列

由于對任意的Q'∈H(F)，有

從而π:Q→M是M的特殊的F－Gorenstein平坦預(yù)覆蓋．

定理 2．9 設(shè)M是左R－模，則

當(dāng)且僅當(dāng)存在左R－模的正合列

其中 A∈H(F)，H∈C，且fdR(H)≤1．

證明 充分性 由于H∈C且fdR(H)≤1，從

而存在短正合序列

其中K，F(xiàn)∈F∩C．作如下拉回圖:

由第二行短正合序列及H(F)的投射可解性可知，Q∈H(F)．所以由第一列短正合列可知

必要性 由定理2．8可知，存在左R－模的短正合列

其中 A'∈H(F)，K∈F∩C．由 A'∈H(F)可知，存在左R－模的短正合列

其中Q∈F∩C，A∈H(F)．因此，有如下推出圖:

考慮短正合列

由于 K，Q∈F∩C，從而

就是所需的短正合列．

定理 2．10 設(shè)環(huán)R滿足每個模的F－Gorenstein平坦維數(shù)不超過1，則(H(F)，Y)是完備遺傳的余撓對，其中

Y={Y∈R－Mod|Y∈C 且 fdR(Y)≤1}．

證明 先證(H(F)，Y)形成余撓對．由引理2．7可知，對任意的X∈H(F)及任意的 Y∈Y，有Ext1R(X，Y)=0．設(shè)左R－模X 滿足對任意的Y∈Y，有Ext1R(X，Y)=0．由于F－GfdR(X)≤1，所以由定理 2．8 可知，存在如下的短正合列

其中 K∈F∩C，G∈H(F)．從而Ext1R(X，K)=0，這說明短正合列(#)可裂，因此X同構(gòu)于G的某個直和項，于是由引理1．8可知X∈H(F)．

設(shè)左R－模Y滿足對任意的X∈H(F)，都有Ext1R(X，Y)=0．由于F－GfdR(Y)≤1，所以由定理 2．9可知，存在短正合列

其中 H∈Y，且 A∈H(F)．于是

綜上所述，(H(F)，Y)形成余撓對．由引理1．8知該余撓對是遺傳的．由于

所以由定理2．8知該余撓對是完備的．