袁 超，張慧梅，孟祥振，楊更社，吳祿源

內(nèi)摩擦角對凍融巖石損傷本構(gòu)模型的影響探討

袁 超1，張慧梅2，孟祥振1，楊更社1，吳祿源3

(1. 西安科技大學(xué)建筑與土木工程學(xué)院，陜西 西安 710054；2. 西安科技大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710054；3. 中國礦業(yè)大學(xué)深部巖土與地下工程國家重點實驗室，江蘇 徐州 221116)

基于Weibull隨機分布和損傷力學(xué)理論，從巖石變形全過程的特點入手，選用Drucker-Prager準則，建立能反映凍融巖石各變形階段特征的損傷本構(gòu)模型。通過凍融砂巖常規(guī)三軸壓縮試驗，運用Mohr應(yīng)力圓，獲得不同凍融循環(huán)次數(shù)下砂巖的黏聚力和內(nèi)摩擦角；由模型理論曲線與凍融砂巖試驗曲線對比分析，驗證模型的合理性；通過變動內(nèi)摩擦角，分析摩擦角對模型是否存在影響。結(jié)果表明：基于Drucker-Prager準則獲得的理論曲線與試驗曲線吻合較好，驗證了模型的合理性；內(nèi)摩擦角對分布變量的影響較大，且是線性關(guān)系，但對損傷本構(gòu)模型沒有影響或影響不大。研究成果對巖石本構(gòu)關(guān)系的建立有較好的參考價值。

Drucker-Prager準則；損傷本構(gòu)模型；黏聚力；內(nèi)摩擦角；凍融實驗

自然界巖石隨著自身所處應(yīng)力場及其他環(huán)境的變化而變化，其內(nèi)部或多或少地出現(xiàn)損傷，利用損傷理論來研究含有缺陷的巖石材料，已被認為是最有效的研究方法之一。

目前，對巖石應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的描述成果眾多。單因素情況下，韓建新等[1]基于巖體強度參數(shù)隨最大塑性主應(yīng)變的增加而逐漸演化這一力學(xué)行為，采用廣義Hoek-Brown強度準則，通過理論推導(dǎo)給出巖體應(yīng)變軟化行為模型；黃海峰等[2]為了反映巖石應(yīng)變軟化現(xiàn)象，基于Weibull隨機分布，假定巖石微元強度服從Drucker-Prager準則，結(jié)合連續(xù)損傷理論，建立巖石統(tǒng)計損傷軟化模型；張德等[3]通過引入修正Mohr-Coulomb屈服準則來描述凍土微元強度破壞準則，假設(shè)微元強度服從Weibull隨機分布，并根據(jù)統(tǒng)計學(xué)和連續(xù)損傷力學(xué)理論，建立能反映破損全過程的損傷本構(gòu)模型；王蘇生等[4]基于Mohr-Coulomb破壞準則以及巖石微元強度服從Weibull函數(shù)隨機分布假設(shè)，構(gòu)建了統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型；房智恒[5]在Mohr-Coulomb準則及巖石微元強度服從對數(shù)正態(tài)隨機分布的基礎(chǔ)上，結(jié)合巖石三軸應(yīng)力應(yīng)變試驗曲線，建立了能反應(yīng)巖石破裂全過程的三維損傷本構(gòu)模型；熊良宵等[6]簡述了Mohr- Coulomb強度準則、拋物線型Mohr強度準則和雙曲線型Mohr強度準則，并采用3種高應(yīng)力下巖石的真三軸試驗結(jié)果對這3種強度準則進行對比分析；LI Xiang等[7]、CHEN Xin等[8]通過引進巖石微元強度，利用其服從隨機分布并根據(jù)Lemaitre應(yīng)變等價原理，建立了能反映巖石應(yīng)變軟化過程的損傷統(tǒng)計本構(gòu)模型。多因素情況下，虞松濤等[9]、張慧梅等[10]基于統(tǒng)計強度理論及損傷力學(xué)原理，分別以Hoek-Brown準則和Mises準則為巖石強度準則，構(gòu)建考慮溫度與荷載共同作用的巖石損傷演化；ZHOU Shuwei等[11]、HUANG Shibing等[12]和張慧梅等[13]采用靜態(tài)彈性模量法對巖石凍融損傷進行了表征，以Drucker-Prager準則為巖石強度準則，并假設(shè)微單元強度滿足Weibull分布，通過統(tǒng)計理論得到加載損傷，在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出凍融和載荷作用下的統(tǒng)計損傷本構(gòu)方程。

對以上巖石損傷本構(gòu)模型中微元強度準則的選取主要有Drucker-Prager準則、Mohr-Coulomb準則、Mises準則及Hoek-Brown準則，而Hoek-Brown是一種經(jīng)驗強度準則；Mises準則則是Drucker-Prager準則簡化形式；Mohr-Coulomb準則相對較為保守。在各種準則之中，大多涉及到內(nèi)摩擦角及黏聚力等參數(shù)的確定，內(nèi)摩擦角及黏聚力的準確性確定，影響準則的正確性，從而可能影響到損傷本構(gòu)模型的合理性；以往本構(gòu)模型并沒有對內(nèi)摩擦角等參數(shù)進行探討。基于此，筆者基于Weibull分布和損傷力學(xué)理論，選用Drucker-Prager準則，通過設(shè)定不同內(nèi)摩擦角，應(yīng)用于巖石微元強度準則，進而分析內(nèi)摩擦角對凍融巖石損傷本構(gòu)模型的影響。

1 凍融巖石受荷微元強度的度量

根據(jù)巖石在細觀結(jié)構(gòu)上的非均質(zhì)性，其內(nèi)部微元體力學(xué)性質(zhì)的分布具有隨機性，巖石未損傷部分連續(xù)加載時，導(dǎo)致其內(nèi)部受荷損傷也是一個連續(xù)過程，當(dāng)假定巖石微元強度服從Weibull隨機分布時，受荷損傷變量d可表示為：

式中為巖石微元強度隨機分布變量；0、為模型參數(shù)。

巖石受荷損傷變量能否更好地反映一定條件下巖石的損傷變形特征，其關(guān)鍵之處在于巖石微元強度的合理度量。

為此，假定凍融巖石受荷時微元強度隨機分布變量服從Drucker-Prager準則，則可表示為：

2 本構(gòu)模型及其模型參數(shù)的確定

2.1 本構(gòu)模型的建立

巖石應(yīng)變軟化變形全過程可分為壓密、線彈性、塑性硬化變形、應(yīng)變軟化、完全破壞5個階段，因此，在建立巖石損傷模型時要充分考慮巖石上述各個階段的變形特征。首先作如下假設(shè)：

①巖石內(nèi)部的微元破壞，其力學(xué)性質(zhì)在宏觀上為各向同性。

③未損傷部分服從廣義胡克定律，并依據(jù)巖石物理參數(shù)泊松比的意義以及巖石各部分的變形協(xié)調(diào)關(guān)系，等圍壓下可得：

基于上述假定，通過巖石各部分微觀受力與幾何條件分析可得：

式中、1、2分別為巖石總面積、未損傷面積和損傷面積，因此=1+2，其中損傷面積由凍融損傷面積n和受荷損傷面積d組成。

巖石微元破壞損傷是由凍融損傷、受荷損傷兩部分組成，此時定義巖石凍融、受荷總損傷變量表達式為：

單獨從巖石面積方面考慮，凍融損傷變量n可定義為凍融損傷面積與整體面積的比值；受荷損傷變量d可定義為受荷損傷面積與去除凍融損傷面積后整體面積(–n)的比值，因此可得：

由式(7)—式(8)并結(jié)合②、③假定可得軸向方向的損傷本構(gòu)模型：

2.2 模型參數(shù)的確定

將式(1)、式(8)代入式(9)可得：

將該條件代入式(10)得模型參數(shù)的一個表達式：

同時，應(yīng)力應(yīng)變峰值點處還應(yīng)該滿足條件

將該條件應(yīng)用于式(10)可得模型參數(shù)的另一個表達式：

本文假定了凍融巖石受荷時微元強度隨機分布變量服從Drucker-Prager準則，結(jié)合②、③假定，可得：

因此，由式(13)可得：

聯(lián)立式(11)、式(12)、式(14)可確定模型參數(shù)和0，即：

3 計算實例與討論

為了探討內(nèi)摩擦角對巖石損傷本構(gòu)模型是否有影響，先進行了紅砂巖凍融循環(huán)實驗和常規(guī)三軸壓縮力學(xué)特性試驗。試驗先將紅砂巖加工成直徑50 mm、高100 mm的圓柱體試樣，并對試件進行注水達到真空飽和；凍融循環(huán)溫度為–20~20℃，對飽和試樣進行凍融0次、5次、10次、20次及40次實驗，之后對紅砂巖進行圍壓0 MPa、2 MPa及4 MPa三軸壓縮試驗。試驗得到了不同圍壓及不同凍融作用下巖石的力學(xué)參數(shù)，如表1所示。

將式(13)、式(15)、式(16)代入式(10)之后，利用表1和表2試驗數(shù)據(jù)，可得基于Drucker-Prager準則凍融受荷巖石本構(gòu)模型理論曲線，如圖1所示，以此來證明基于Drucker-Prager準則建立的模型合理性。由圖1可知，基于Drucker-Prager準則建立的模型獲得的理論曲線和試驗曲線吻合較好，能夠較好的反映巖石各變形階段特征。

表1 不同凍融循環(huán)及圍壓下紅砂巖的力學(xué)參數(shù)

表2 不同凍融循環(huán)次數(shù)下的內(nèi)摩擦角和黏聚力

4 內(nèi)摩擦角的影響分析

將非凍融及凍融后砂巖內(nèi)摩擦角分別選取0°、45°、90°，分別獲得不同凍融循環(huán)情況下的分布變量曲線、不同圍壓和不同凍融循環(huán)次數(shù)與峰值點處分布變量值的關(guān)系曲線以及損傷本構(gòu)模型理論曲線，如圖2—圖5所示。由此可知：

圖2 內(nèi)摩擦角對分布變量F的影響

圖3 不同圍壓下內(nèi)摩擦角對分布變量值的影響(n=1)

a.內(nèi)摩擦角對分布變量的影響較大，且呈線性關(guān)系，同一應(yīng)變下，隨著內(nèi)摩擦角的增大，分布變量逐步增大，但增大的幅度有所減緩。

b.相同的內(nèi)摩擦角下，隨著圍壓的增大，峰值點處的分布變量值逐漸增大，但增大速率減緩；同一圍壓下，峰值點處的分布變量值隨著內(nèi)摩擦角的增大而增大，且增大速率減緩。說明了圍壓和內(nèi)摩擦角隨著自身的增大對分布變量值的影響度降低。

圖4 不同凍融循環(huán)下內(nèi)摩擦角對分布變量值的影響(σ3=2 MPa)

圖5 內(nèi)摩擦角對本構(gòu)模型的影響

c.相同的內(nèi)摩擦角下，隨著凍融循環(huán)次數(shù)的增大，峰值點處的分布變量值逐漸減小，曲線趨于平緩，說明凍融循環(huán)隨著次數(shù)的增大對分布變量值的影響度降低。

d.內(nèi)摩擦角的變動對基于Drucker-Prager準則確定的損傷本構(gòu)模型沒有影響，或影響不大。因此，為了能夠建立更好的反映巖石變形破壞全過程的本構(gòu)模型，可自由選取內(nèi)摩擦角的取值，或不考慮內(nèi)摩擦角的影響。

5 結(jié)論

a.采用彈性模量對巖石凍融損傷進行了表征，通過Drucker-Prager準則來描述凍融巖石微元強度破壞，以此建立了能反映凍融巖石破損全過程的損傷本構(gòu)模型。由凍融砂巖常規(guī)三軸壓縮試驗，運用Mohr應(yīng)力圓，獲得不同凍融循環(huán)下砂巖的黏聚力和內(nèi)摩擦角；模型理論曲線與凍融砂巖試驗曲線對比分析，基于Drucker-Prager準則獲得的理論曲線與試驗曲線吻合較好，驗證了模型的合理性。

b.內(nèi)摩擦角對分布變量的影響較大，且是線性關(guān)系，同一應(yīng)變下，隨著內(nèi)摩擦角的增加，分布變量逐步增大，但增大的幅度有所減緩；相同的內(nèi)摩擦角下，圍壓及凍融循環(huán)對峰值點處的分布變量值的影響度隨自身的增加有所弱化。

c.探討了不同內(nèi)摩擦角對巖石損傷本構(gòu)模型的影響。內(nèi)摩擦角的變動對基于Drucker-Prager準則確定的損傷本構(gòu)模型沒有影響，或影響不大。因此，為了能夠建立更好的反映巖石變形破壞全過程的本構(gòu)模型，可自由選取內(nèi)摩擦角的取值，或不考慮內(nèi)摩擦角。

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Influence of internal friction angle on damage constitutive model of freeze-thaw rock

YUAN Chao1, ZHANG Huimei2, MENG Xiangzhen1, YANG Gengshe1, WU Luyuan3

(1. College of Architecture and Civil Engineering, Xi’an University of Science and Technology, Xi’an 710054, China; 2. Department of Mechanics, Xi’an University of Science and Technology,Xi’an 710054, China; 3. State Key Laboratory for Geomechanics and Deep Underground Engineering, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, China)

Based on Weibull random distribution and damage mechanics theory, starting from the characteristics of rock deformation process, the Drucker-Prager criterion was used to establish a damage constitutive model that can reflect the characteristics of rock various deformation stages. Through the conventional triaxial compression test of frozen-thawed sandstone, the Mohr stress circle was used to obtain the cohesion and internal friction angle of the sandstone under different freeze-thaw cycles. The model theoretical curve and the test curve of freeze-thaw sandstone were compared to verify the model rationality. By varying the internal friction angle, whether the friction angle has an effect on the model was analyzed. The results showed that the theoretical curve obtained by the Drucker-Prager criterion agreed well with the experimental curve, which verified the rationality of the model. The internal friction angle had big influence on the distribution variable and was linear, but had no effect on the damage constitutive model or had little effect. The research results have a good reference value for the establishment of rock constitutive relations.

Drucker-Prager criterion; damage constitutive model; cohesion; internal friction angle; freeze-thaw test

TU443

A

10.3969/j.issn.1001-1986.2019.04.021

1001-1986(2019)04-0138-06

2019-01-22

國家自然科學(xué)基金資助項目(11172232，51774231，11872299，41772333)；陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計劃資助項目(2018JQ4026)；中國礦業(yè)大學(xué)未來科學(xué)家“雙一流”計劃資助項目(2019WLKXJ076)

National Natural Science Foundation of China(11172232，51774231，11872299，41772333)；Natural Science Basic Research Plan of Shaanxi Province of China(2018JQ4026)；Future Scientists Program of “Double First Rate” of China University of Mining and Technology(2019WLKXJ076)

袁超，1989年生，男，陜西銅川人，博士，研究方向為巖土力學(xué)與工程應(yīng)用. E-mail：yuanchao828@163.com

袁超，張慧梅，孟祥振，等. 內(nèi)摩擦角對凍融巖石損傷本構(gòu)模型的影響探討[J]. 煤田地質(zhì)與勘探，2019，47(4)：138–143.

YUAN Chao，ZHANG Huimei，MENG Xiangzhen，et al. Influence of internal friction angle on damage constitutive model of freeze-thaw rock[J]. Coal Geology & Exploration，2019，47(4)：138–143.

(責(zé)任編輯 周建軍)