張永香

數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂。但在很多小學數(shù)學課堂教學中，數(shù)學思想?yún)s沒有得到足夠的重視，也沒有得到真正的落實。究其原因，有以下三個方面：一是對數(shù)學思想的挖掘和滲透還不夠;二是新舊內(nèi)容的斷層;三是學生認知水平的限制。下面，結合實際教學案例，談談如何突破這一瓶頸。

一、深入挖掘，滲透數(shù)學思想

數(shù)學思想決定了數(shù)學知識的高度和定位。南京大學鄭毓信教授曾指出，小學數(shù)學知識看起來淺顯，其實蘊含著豐富的數(shù)學思想。比如，對一年級10以內(nèi)、20以內(nèi)的加減法，很多學生在幼兒園時就已經(jīng)爛熟于心了。教學中，如果教師依然停留在學生能準確、流利地算出正確答案就算達成教學目標的話，那么學生充其量只是一個算術計算的工具而已，而沒有獲得數(shù)學思想。實際上，在這些淺顯的加減法知識里蘊含著重要的函數(shù)思想，它為今后要學習的所有運算知識提供了教學依據(jù)。而對一年級的學生來說，一個簡單的暗箱魔術游戲就足以讓他們體驗到函數(shù)思想的魅力，如：一個數(shù)從箱子的一端進入，另一個數(shù)從箱子里面出來。在這樣不斷的變化中，學生們更樂于模擬實驗，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結論，找出三者之間的關系。在課堂教學中，如果教師從一年級的加減法計算開始，對函數(shù)思想進行高度立意，一點點滲透函數(shù)變換、一一對應的思想，那么學生就不會只盯著計算結果的正誤不放，而是能夠逐漸確立一種關系思維和結構化思維，打破固有的算術思維，這是后期學習代數(shù)的重要基礎。要真正幫助學生實現(xiàn)從低階思維向高階思維的平穩(wěn)過渡，就要從一年級的加減法教學開始，向?qū)W生滲透數(shù)學思想。

二、打通關聯(lián)，感悟數(shù)學思想

以數(shù)學的極限思想為例，很多教師認為，在小學無法滲透極限思想，其實不然。教師可以結合教學內(nèi)容讓學生去感悟這一數(shù)學思想。

1.揭示整數(shù)的計數(shù)規(guī)律與性質(zhì)

學完整數(shù)后，可讓學生思考一下，有沒有一個最小的整數(shù)？能不能找到一個最大的整數(shù)？假設先讓學生想象出一個很大的數(shù)，然后再加上1，就是它后面的一個數(shù)了。這樣一直找下去，永遠找不到一個最大的整數(shù)。可用數(shù)軸來表示數(shù)，而數(shù)軸是一條能向兩邊無限延展的直線，永遠沒有盡頭，給學生的感受就是這個數(shù)永遠也找不到。

2.揭示整數(shù)與小數(shù)的關系

學完小數(shù)后，可讓學生嘗試打通小數(shù)與整數(shù)之間的關聯(lián)。比如，無限循環(huán)小數(shù)0.99999……讓學生想辦法證明0.99999……=1。然后，展示證明過程：設0.99999……=x，0.99999……×10=10x， 9.9999……=10x，前兩個等式兩邊相減，得到9=9x，所以x=1。借助這個證明過程，讓學生在線段圖上用“逼近”的方法尋找這個數(shù)，從中體悟“逼近”的意思，感悟極限思想。

3.揭示從特殊到一般的認識規(guī)律

在教學三角形的內(nèi)角和時，教師可向?qū)W生提出這樣的問題：你是怎樣想到三角形的內(nèi)角和是180度的呢？為什么不是178度呢？教師可用極限思想引導學生先想象兩種特殊情況，邊想象邊利用多媒體幾何畫板進行演示。第一種情況是將三角形的一邊固定，不斷下壓此邊相對的頂點，讓其不斷逼近這條邊，使這條邊對應的內(nèi)角，逐漸接近一個平角，而另外兩個角也同時逐漸變小，直小到用量角器都量不出來。第二種情況是將一個頂點向上拔高，另外兩個頂點就會逐漸互相靠近，想象一下這時三個角的度數(shù)逼近了多少度？這樣的教學過程可為學生打開一扇發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題的窗口，讓他們找到從特殊到一般的認知規(guī)律。

也可引導學生經(jīng)歷“化直為曲”“化方為圓”的過程，揭示由多邊形到圓的變換關系，感悟極限思想。首先，讓學生動手剪一剪，把一張正方形紙片，依次剪出正八邊形、正十六邊形……直到無法操作。然后，通過觀察和想象繼續(xù)“剪”下去，看其結果怎樣。當操作受限無法印證想象的時候，可以利用信息技術，用電腦進行更直觀的演示，讓想象的畫面呈現(xiàn)在眼前。隨后，利用電腦演示割圓術，展示正多邊形逐步逼近圓的過程，幫助學生理解曲直、方圓之間的關系。這些活動經(jīng)驗的積累，可為學生后續(xù)學習圓的周長和面積奠定基礎。

還可讓學生經(jīng)歷立體圖形之間的變換過程，打通圖形間的相互聯(lián)系，感悟極限思想。比如，長方形與正方形的關系。當長方形的一邊不動，另一邊發(fā)生變化，直到兩邊長度相等時，就變成了正方形。由此，可以打通立體圖形與平面圖形的聯(lián)系，印證“點動成線，線動成面、面動成體”的構形原則，找到圖形各要素之間的位置、數(shù)量關系，從數(shù)學思想的高度幫助學生建立科學的空間觀念。

三、回歸本源，應用數(shù)學思想

小學生的數(shù)學思想，會受到認知水平的制約。要突破這一瓶頸，就要讓學生在運用數(shù)學思想的過程中不斷獲得和加強數(shù)學思想。比如，數(shù)學學習中常用的轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結合等。事實上，每一種數(shù)學思想都有其邏輯起點和思維起點，這就要求教學回到起點，追溯本源，進而提高學生的元認知能力。

以“平均數(shù)”的概念教學為例，有的教師往往把概念教學變成了計算教學，很難讓學生理解平均數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵。其根本原因在于教師對平均數(shù)的本源就不夠清楚。筆者通過研究文獻、分析教材、訪談教師和學生，對教學進行了調(diào)整。一是先弄清楚平均數(shù)概念的研究對象。作為統(tǒng)計量的平均數(shù)，需要研究三種狀態(tài)，即正常狀態(tài)、超常狀態(tài)和失常狀態(tài)。這三種狀態(tài)的任何一種，都不能代表其總體水平或整體水平。綜合這三種狀態(tài)的數(shù)據(jù)，利用“移多補少”的方法所產(chǎn)生的虛擬數(shù)據(jù)，可代表其整體水平。二是平均數(shù)是一個統(tǒng)計量，它是在統(tǒng)計過程中產(chǎn)生的，所以沒有統(tǒng)計過程的教學，就不會有統(tǒng)計觀念的形成，也不會產(chǎn)生統(tǒng)計思想。由此，在教學中，筆者補充了概念原型的素材，意在引導學生基于概念原型的分析，充分理解概念產(chǎn)生的必要性和合理性，再經(jīng)歷“移多補少”的操作過程，體驗平均數(shù)的形成過程，理解平均數(shù)的數(shù)學圖形樣態(tài)，最后將“平均分”和“平均數(shù)”進行對比，感受平均數(shù)的變化過程。這樣的教學設計，使平均數(shù)概念的建構過程變得有理有據(jù)、清晰透明。在這個過程中，學生找到了概念生發(fā)的原型，并由此開始應用建模思想，最終通過推理、抽象的概念形成過程，獲得了清晰的學習思路和可遷移的學習方法。

綜上所述，在教學中滲透數(shù)學思想需要教師對教材進行挖掘，根據(jù)學生的認知水平選擇適合的教學方式，開展體驗性、感悟性的教學活動，使學生受到數(shù)學思想的陶冶，感受數(shù)學思想的魅力。

（責任編輯? ?郭向和）