朱孝輝

摘? 要：根據(jù)楊氏干涉實(shí)驗(yàn)的基本原理，在未經(jīng)任何理論近似的情況下，推導(dǎo)出明、暗干涉條紋所滿足的數(shù)學(xué)方程，并指出干涉條紋空間分布是一族雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面。在數(shù)學(xué)方程的基礎(chǔ)上，設(shè)置實(shí)際實(shí)驗(yàn)參數(shù)，利用Mathematica 12科學(xué)計(jì)算軟件對(duì)干涉條紋的三維空間分布進(jìn)行仿真。通過改變觀察屏的位置使屏上得到不同形狀的干涉條紋，對(duì)屏上干涉條紋的分析與傳統(tǒng)光學(xué)理論吻合的很好。對(duì)干涉條紋三維分布的仿真模擬可進(jìn)一步加深對(duì)楊氏干涉的認(rèn)識(shí)與理解。

關(guān)鍵詞：楊氏干涉實(shí)驗(yàn);Mathematica;計(jì)算機(jī)仿真

中圖分類號(hào)：O436? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ?文章編號(hào)：2095-2945（2019）23-0030-04

Abstract： According to the basic principle of Young's interference experiment， without any theoretical approximation， the mathematical equations satisfied by bright and dark interference fringes are deduced， and it is pointed out that the spatial distribution of interference fringes is a family of hyperboloid rotating hyperboloid. Based on the mathematical equation， the actual experimental parameters are set， and the three-dimensional spatial distribution of interference fringes is simulated by using Mathematica 12 scientific calculation software. By changing the position of the observation screen， the interference fringes of different shapes are obtained on the screen， and the analysis of the interference fringes on the screen is in good agreement with the traditional optical theory. The simulation of the three-dimensional distribution of interference fringes can further deepen the understanding and understanding of Young's interference.

Keywords： Young's interference experiment; Mathematica; computer simulation

引言

1802年，英國物理學(xué)家托馬斯·楊在研究人眼對(duì)顏色視覺效應(yīng)時(shí)，想出來一個(gè)巧妙的實(shí)驗(yàn)方法，演示了光的干涉現(xiàn)象，為光的波動(dòng)學(xué)說提供了堅(jiān)實(shí)的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)[1，3]。這個(gè)實(shí)驗(yàn)方法就是楊氏干涉實(shí)驗(yàn)，又名楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)，是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的重要實(shí)驗(yàn)之一，其實(shí)驗(yàn)思想在近代物理實(shí)驗(yàn)中也發(fā)揮了重要作用。但是大多數(shù)教材及相關(guān)文獻(xiàn)資料僅給出了實(shí)驗(yàn)的相關(guān)原理和干涉條紋的二維分布，很少有進(jìn)一步討論干涉條紋的三維空間分布。又因?yàn)樵搶?shí)驗(yàn)對(duì)實(shí)驗(yàn)儀器和環(huán)境有特定的要求，必須要在相關(guān)專業(yè)實(shí)驗(yàn)室內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。因此本文將推導(dǎo)出干涉條紋的三維分布數(shù)學(xué)表達(dá)式，通過具體實(shí)例利用科學(xué)計(jì)算軟件Mathematica 12對(duì)楊氏干涉實(shí)驗(yàn)條紋進(jìn)行三維仿真模擬，討論觀察屏上條紋隨觀察屏位置不同而產(chǎn)生的變化。這必將有利于更加全面的認(rèn)識(shí)楊氏干涉實(shí)驗(yàn)及干涉條紋的分布情況。

1 楊氏干涉實(shí)驗(yàn)

1.1 實(shí)驗(yàn)原理簡述

楊氏干涉實(shí)驗(yàn)是利用分波前法產(chǎn)生干涉的最著名的例子。經(jīng)典實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示，光源發(fā)出的光通過小孔S照射在光屏A上的兩個(gè)相距為d的對(duì)稱小孔S1、S2上，分出的兩束相干光波在空間傳播時(shí)產(chǎn)生相干疊加，在距離為D的觀察屏E上形成一定的干涉條紋圖樣[2]。

1.2 干涉條紋公式推導(dǎo)

干涉條紋實(shí)質(zhì)上就是屏幕與等光程差點(diǎn)的空間軌跡的交線[2]，因此可借助等光程差點(diǎn)的空間軌跡來研究干涉條紋的三維空間分布，且認(rèn)為空間軌跡與干涉條紋的概念在本文中基本等價(jià)。

假設(shè)光源為單色點(diǎn)光源，傳播介質(zhì)為空氣。為確定干涉條紋的空間分布，如圖2所示，選取直角坐標(biāo)系O-xyz，坐標(biāo)系原點(diǎn)為小孔S1、S2對(duì)稱中心，x軸方向?yàn)镾1、S2連線方向，與x軸垂直且豎直向上的方向?yàn)閥軸方向。

2 Mathematica仿真過程

2.1 參數(shù)選擇及仿真模擬

前面已經(jīng)指出，m不為零時(shí)，兩點(diǎn)光源干涉的等光程差點(diǎn)在空間的軌跡是雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面?，F(xiàn)考慮實(shí)際楊氏干涉實(shí)驗(yàn)情況，光波波長？姿取值在3.9×10-4mm-7.8×10-4mm，雙縫寬度d取值一般在0.1mm-1mm。在典型情況下[2]，取d=0.2mm，波長不妨?。孔?5.5×10-4mm。當(dāng)干涉級(jí)次m依次取值1到5時(shí)通過Mathematica計(jì)算可得到此時(shí)的雙曲面方程為：

（8）

從表達(dá)式的值可看出，x2的系數(shù)比y2+z2大很多，最小也相差500多倍。這是由于式（6）的形式所決定的，式（6）中波長與縫寬相差4到5個(gè)數(shù)量級(jí)且干涉級(jí)m取值一般不大，這必然導(dǎo)致x2和y2+z2項(xiàng)系數(shù)相差很多。由立體幾何知識(shí)可知，x2的系數(shù)越大，則雙曲面底部越靠近x=0的平面，y2+z2的系數(shù)越小，雙曲面彎曲程度越小。即在x=0平面附近區(qū)域內(nèi)雙曲面是非常“平坦”的，幾乎為一個(gè)個(gè)平面。式（8）中方程的圖像亦可由Mathematica畫出如圖3。

值得注意的是，圖3中雙曲面及很多書籍和文獻(xiàn)中所畫的雙曲面都僅僅是示意圖，它們的坐標(biāo)軸各比例并不是完全相同的。實(shí)際的圖像比例應(yīng)如圖4所示，圖中雙曲面成為緊緊靠近x=0平面的一族平面，這與前面從數(shù)學(xué)公式上的分析結(jié)果是一致的。

但是為了方便觀察分析，依然采用圖3中圖像比例進(jìn)行研究，這并不會(huì)對(duì)研究結(jié)果產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性影響。由于在觀察屏上看到的條紋就是雙曲面與屏幕的交線。那么將屏幕設(shè)置在不同方向上，將得到不同的干涉條紋。圖5中與雙曲面相交的不同平面即代表不同方向的觀察屏。下面將進(jìn)一步分析不同位置屏幕上的干涉條紋。

2.2 觀察屏垂直于z軸

當(dāng)觀察屏垂直z軸（如圖5（a））時(shí)，設(shè)屏與z=0平面的距離L，這是楊氏干涉實(shí)驗(yàn)常規(guī)放置屏幕的方式。圖6是利用Mathematica畫出不同L值時(shí)屏與雙曲面的交線。

2.3 觀察屏垂直于x軸

當(dāng)觀察屏垂直于x軸（如圖5（b））時(shí)，設(shè)屏與x=0平面的距離為H，圖7是利用Mathematica畫出不同H值時(shí)屏與雙曲面的交線。

2.4 觀察屏在其它位置

當(dāng)觀察屏不與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，屏與雙曲面的交線隨屏位置的不同有很大變化，也即干涉條紋會(huì)有不同的變化，但不難想象，條紋形狀仍為雙曲線或近似直線，只不過條紋間距會(huì)有所不同。例如圖8中表示觀察屏處于x-3z=0的平面上時(shí)，其上的條紋分布在y-z平面上的投影圖。

3 結(jié)束語

本文根據(jù)楊氏干涉實(shí)驗(yàn)的原理，在沒有采用任何近似條件的情況下，推導(dǎo)出干涉條紋三維分布的數(shù)學(xué)表達(dá)式。利用Mathematica畫出了明條紋的三維圖形，直觀的表現(xiàn)出干涉條紋的三維分布情況。并且根據(jù)觀察屏相對(duì)于雙孔不同位置，分析了屏幕上條紋的變化情況。借助于仿真圖像的分析與相關(guān)光學(xué)理論結(jié)果十分吻合。創(chuàng)新之處在于，不僅利用Mathematica強(qiáng)大的繪圖功能仿真了干涉條紋的三維分布，而且與實(shí)際相結(jié)合，所選用的參數(shù)以及由此計(jì)算出的曲面方程都是有實(shí)際意義的，仿真結(jié)果完全可以作為楊氏干涉相關(guān)實(shí)驗(yàn)的參考與指導(dǎo)。

結(jié)合相關(guān)物理教材關(guān)于楊氏干涉理論分析中的近似處理和條紋分布推導(dǎo)可知，一般物理教材是本文仿真中的一種特定條件下的情況（L？垌d，且觀察范圍不大）[5]。但是本文只是條紋三維分布做了直觀的仿真與簡要分析，并沒有詳細(xì)分析屏幕在任意位置時(shí)屏上條紋分布及強(qiáng)度和寬度隨各參數(shù)的變化規(guī)律。而一般物理教材中則詳細(xì)討論了條紋的變化規(guī)律。因此將本文與一般物理教材相關(guān)內(nèi)容結(jié)合，可對(duì)楊氏干涉實(shí)驗(yàn)及其條紋分布具有更加全面深入的認(rèn)識(shí)。

參考文獻(xiàn)：

[1]王高亮，孟明，王強(qiáng).基于Mathematica的楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)仿真[J].周口師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2018，35（05）：47-49.

[2]梁銓廷.物理光學(xué)[M].電子工業(yè)出版社，2012.

[3]趙近芳，王登龍，等.大學(xué)物理學(xué)（第4版）（下）[M].北京郵電大學(xué)出版社，2014.

[4]何坤娜，韓萍，朱世秋，等.楊氏雙縫干涉圖樣的理論模擬[J].物理通報(bào)，2016（3）：25-28.

[5]何坤娜，黃堅(jiān).楊氏雙縫干涉條紋的空間分布及理論模擬[J].物理與工程，2016，26（5）：12-15.

[6]吳玉泉.對(duì)“楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)”典型佯謬討論[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2003，32（4）：18-19.