鐘蘭花，陳靜元，劉家盈，凌彩寧，符栩銘，蔡馬趙，黃 貞

(嶺南師范學(xué)院 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，廣東 湛江 524048)

聲子晶體是20世紀(jì)90年代提出的新型聲學(xué)功能材料，一般由1種或幾種彈性材料(散射體)周期排列在另一種材料(基體)中所構(gòu)成，至今仍是聲學(xué)中的研究熱點(diǎn)之一[1-3]. 聲子晶體與傳統(tǒng)晶體和光子晶體類似，當(dāng)聲波(或彈性波)在其中傳播時(shí)，產(chǎn)生彈性波的分立能帶、禁帶和帶隙[4-5]. 禁帶是指聲波在聲子晶體中傳播時(shí)，由于受周期結(jié)構(gòu)的調(diào)制作用，在一定頻率范圍(帶隙)內(nèi)被禁止傳播. 而在具有周期結(jié)構(gòu)的聲子晶體中引入缺陷，如改變某些散射體的大小、形狀、材料等，則可能在原來無缺陷晶體的帶隙中出現(xiàn)聲子能帶，稱之為缺陷能帶，相應(yīng)的狀態(tài)稱為缺陷態(tài). 正如電子在含缺陷的天然晶體中傳播出現(xiàn)Anderson局域現(xiàn)象一樣，缺陷態(tài)聲波的分布也具有局域性，即聲波被限制在缺陷附近傳播[4-6]. 聲子晶體缺陷態(tài)的局域性有實(shí)用價(jià)值，如可用于聲波濾波器和聲波波導(dǎo)[6]. 如果聲子晶體中的缺陷分布在1條線上，則稱為線缺陷聲子晶體，此時(shí)可能存在聲波只沿線缺陷傳播的缺陷能帶，缺陷模的能量被局域在線缺陷中傳播，因而構(gòu)成聲波導(dǎo)[7-9].

本文采用同種規(guī)格的花崗巖柱體按周期排列在空氣中構(gòu)成二維聲子晶體，通過移除1排柱體產(chǎn)生線缺陷. 先通過數(shù)值模擬來確定最佳的實(shí)驗(yàn)參量以及缺陷帶的大致頻率范圍，然后測(cè)量通過聲子晶體的聲波，結(jié)果表明在缺陷帶的頻率范圍內(nèi)具有明顯的聲波導(dǎo)效果.

1 模型理論

對(duì)于無限多平行無限長(zhǎng)固體柱子放入氣體中所組成的二維周期結(jié)構(gòu)，由于固體與空氣兩者的聲學(xué)阻抗差異大，在交界處可發(fā)生全反射，因而可以只考慮縱波. 根據(jù)波在周期介質(zhì)中傳播的Bloch定理以及平面波展開法，聲波波動(dòng)方程可在波矢空間表示為本征值方程的形式[4-5,10]

(1)

圖1所示為一線缺陷聲子晶體橫截面示意圖，由方形散射體按正方晶格排列(晶格常量為a)構(gòu)成，移除中間1列柱體即形成了線缺陷. 該模型可采用5×5超元胞平面波展開法進(jìn)行數(shù)值求解，求解時(shí)將波矢k限制在第一Brillouin區(qū)(如圖2所示)，對(duì)無限多個(gè)倒格矢求和. 在計(jì)算中取了625個(gè)倒格矢代替，比較了取7×7的超元胞和一千多個(gè)倒格矢的計(jì)算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)此時(shí)已具有較好的收斂性，前20條能帶的相對(duì)誤差均小于3%. 此時(shí)，(1)式變?yōu)楹?25×625個(gè)矩陣元的標(biāo)準(zhǔn)本征值方程，解此方程可求出本征值頻率及其對(duì)應(yīng)的本征向量. 令波矢k掃描第一Brillouin區(qū)中不可約三角形的邊界，即可得出本征頻率ωkn,其中n為不同能帶的標(biāo)志. 從而可作出一系列以無量化綱頻率

(2)

為縱坐標(biāo)，以波矢k為橫坐標(biāo)的能帶圖，其中cl為基體材料中的縱波波速.

圖1 二維線缺陷聲子晶體5×5超元胞橫截面示意圖

圖2 第一Brillouin區(qū)圖

圖3 填充比F=0.4時(shí),花崗巖方柱體按正方晶格排列于空氣中的能帶結(jié)構(gòu)圖

(a)無缺陷聲子晶體

(b)線缺陷聲子晶體圖4 聲子晶體沿ΓX方向的能帶結(jié)構(gòu)圖

圖5 缺陷能帶的聲壓強(qiáng)分布圖

2 實(shí)驗(yàn)裝置

聲子晶體的左側(cè)放置發(fā)射聲波的聲源，右側(cè)放置聲波接收裝置. 聲源部分主要包括信號(hào)發(fā)生器(RIGOL，型號(hào)：DG4062)、功放(多媒體有源音箱，型號(hào)：GS-6000)、高頻喇叭(SIREN HORN，型號(hào)：ES-626)，接收裝置主要包括間隔1 cm均勻排列的8個(gè)微型麥克風(fēng)(咪頭)及其放大器模塊(Risym，型號(hào)：MAX9812)、USB數(shù)據(jù)采集器(研華USB-4716)、PC機(jī). 喇叭離聲子晶體約0.6 m，入射聲波可近似看作平面波，1排微型麥克風(fēng)盡量靠近聲子晶體.

圖6 實(shí)驗(yàn)裝置截面示意圖

圖7 實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物圖

3 測(cè)量結(jié)果

為了測(cè)量線缺陷聲子晶體的聲波導(dǎo)效果，取2個(gè)對(duì)照組進(jìn)行對(duì)比：空氣組(移走聲子晶體使聲波在空氣中傳播)和非缺陷組(方柱體按9×9完整排列). 當(dāng)聲波頻率取為6 440 Hz和7 300 Hz時(shí)，8個(gè)微型麥克風(fēng)(分別用M1～M8表示)的聲壓分布分別如圖8(a)和(b)所示，分別重復(fù)3次測(cè)量.

圖8中最明顯的區(qū)別是紅色線表示的缺陷組在圖8(a)中M4和M5麥克風(fēng)(對(duì)著線缺陷位置)的壓強(qiáng)特別大，甚至大于空氣組的聲壓. 這說明6 440 Hz頻率的聲波屬于缺陷帶頻率范圍，該聲子晶體對(duì)該頻率的聲波起聲波導(dǎo)作用，即聲波在其中傳播幾乎無衰減. 而在圖8中空氣組(綠色線)的聲壓基本為均勻分布(由于麥克風(fēng)的準(zhǔn)確度有限而帶來實(shí)驗(yàn)誤差)，非缺陷組(藍(lán)色線)在兩圖中的聲壓也都比較弱，說明上述2個(gè)頻率在無缺陷聲子晶體中都屬于禁帶范圍，聲波不能通過(但測(cè)量結(jié)果包含環(huán)境本底噪聲). 圖8(b)中的缺陷組和非缺陷組的聲壓同樣低，說明7 300 Hz在線缺陷的聲子晶體中也屬于禁帶范圍.

(a)缺陷頻率

(b)禁帶頻率圖8 聲波頻率為6 440 Hz和7 300 Hz時(shí)8個(gè)麥克風(fēng)的聲壓分布

為了找出缺陷帶的頻率范圍，即該線缺陷聲子晶體能起波導(dǎo)作用的頻率范圍，改變輸入聲波的頻率，從6 000～7 500 Hz每隔10 Hz測(cè)量1次. 由圖8可知，主要是中間M4和M5麥克風(fēng)采集缺陷處出射的聲壓，所以給出了3種情況下這2個(gè)麥克風(fēng)的的聲壓分布，如圖9所示，每種情況都重復(fù)測(cè)量了2次. 在圖9虛線框中部分，缺陷組的聲壓和空氣組的聲壓接近，而在其他頻率范圍缺陷組的聲壓明顯小于空氣組. 可以判斷，虛線框中頻率范圍(6 400～7 100 Hz)，為缺陷帶的頻率范圍，而非缺陷組的聲壓在此范圍內(nèi)都低，因?yàn)樘幵诜侨毕萋曌泳w的禁帶范圍.

(a)M4麥克風(fēng)

(b)M5麥克風(fēng)圖9 入射聲波頻率為6 000～7 500 Hz時(shí)M4和M5麥克風(fēng)的聲壓分布

可以看出，測(cè)得缺陷帶頻率范圍與仿真結(jié)果相比有一定的差距，主要是因?yàn)閿?shù)值計(jì)算的平面波展開法假設(shè)聲子晶體柱體無限長(zhǎng)、橫截面無限大、入射聲波為平面波的情況，而這些條件在實(shí)驗(yàn)中只是近似地滿足.

測(cè)量結(jié)果有較大的波動(dòng)、線不夠平直主要有兩方面的原因：

1)微型麥克風(fēng)的靈敏度、精確度和準(zhǔn)確度不夠高；

2)測(cè)量過程中環(huán)境噪聲的波動(dòng)干擾了測(cè)量結(jié)果.

另外，圖9中右邊緣的曲線數(shù)值明顯都偏高，主要是因?yàn)闇y(cè)量聲波的頻率接近麥克風(fēng)的特征頻率，出現(xiàn)了共振現(xiàn)象.

4 結(jié)束語

根據(jù)聲子晶體中缺陷態(tài)能量的分布主要局限在缺陷處這一特征以及數(shù)值模擬的結(jié)果，設(shè)計(jì)了由花崗巖柱體按周期排列在空氣中形成的二維線缺陷聲子晶體. 對(duì)比了不含缺陷的聲子晶體、線缺陷聲子晶體和聲波直接在空氣中傳播3種情況，發(fā)現(xiàn)線缺陷聲子晶體對(duì)缺陷態(tài)聲波明顯具有聲波導(dǎo)的效果. 設(shè)計(jì)的模型中花崗巖和空氣也可換為其他2種密度差異較大的固體和流體，而其聲波導(dǎo)效果和缺陷帶頻率范圍幾乎不受影響. 此模型不僅適用于可聞聲波，如果按比例縮小尺寸還適用于更短波長(zhǎng)的聲波，如超聲波.